2024年高考数学第一轮复习讲义第九章9.6　双曲线(学生版+解析)

§9.6双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________________等于常数(______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点焦距范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：______；对称中心：______顶点轴实轴：线段______，长：______；虚轴：线段B1B2，长：________，实半轴长：____，虚半轴长：______渐近线离心率e＝eq\f(c,a)∈________a，b，c的关系c2＝________(c>a>0，c>b>0)常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a).4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.5．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(3)双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).()教材改编题1．已知曲线C的方程为eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是()A．－1<k<5 B．k>5C．k<－1 D．k≠－1或52．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)x3．设P是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.题型一双曲线的定义及应用例1(1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,5)＝1(x>3)C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1(0<x<2)D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(0<x<3)听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．跟踪训练1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq\r(2)，eq\r(3))，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)－y2＝1C．x2－eq\f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq\f(\r(3)x2,3)－y2＝1听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1听课记录：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2eq\r(3)，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋eq\f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则m＝________.听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，eq\r(3))，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq\f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.命题点2离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7)D.eq\r(13)听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值______．听课记录：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1(0<k<1)，则下列结论正确的是________．(填序号)①双曲线C的焦点在x轴上；②双曲线C的焦距等于4eq\r(2)；③双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于eq\r(1－k)；④双曲线C的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),3))).(2)(2022·怀化模拟)已知F是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．§9.6双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为eq\f(2b2,a).4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.5．与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq\r(2).(√)教材改编题1．已知曲线C的方程为eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,5－k)＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是()A．－1<k<5 B．k>5C．k<－1 D．k≠－1或5答案C解析若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋1<0，,5－k>0，))解得k<－1.2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±2xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)x答案C解析依题意知，双曲线eq\f(y2,\f(1,2))－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝eq\f(\r(2),2)，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±eq\f(\r(2),2)x.3．设P是双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.答案17解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.题型一双曲线的定义及应用例1(1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,5)＝1(x>3)C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1(0<x<2)D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1(0<x<3)答案A解析如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x>2)．(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．答案2eq\r(3)解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin60°＝2eq\r(3).思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．跟踪训练1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,8)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1) D．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1)答案C解析设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)．(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.答案4解析如图所示，延长F2M交PF1于Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，所以|MO|＝eq\f(1,2)|QF1|＝4.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq\r(2)，eq\r(3))，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A．x2－eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,3)－y2＝1C．x2－eq\f(\r(3)y2,3)＝1 D.eq\f(\r(3)x2,3)－y2＝1答案A解析由e＝eq\f(c,a)＝2，得c＝2a，b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(3)a，则双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3a2)＝1，将点(eq\r(2)，eq\r(3))的坐标代入双曲线的方程可得eq\f(2,a2)－eq\f(3,3a2)＝eq\f(1,a2)＝1，解得a＝1，故b＝eq\r(3)，因此双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1答案D解析由方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，不妨设A在直线y＝eq\f(b,a)x上，由△OAF是边长为2的等边三角形，可得c＝2，直线y＝eq\f(b,a)x的倾斜角为60°，即eq\f(b,a)＝eq\r(3)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)a，,a2＋b2＝c2＝4，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\r(3)，,a＝1，))故双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2eq\r(3)，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1答案A解析易知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ay＝±bx，由C的左焦点(－c,0)到其渐近线的距离是2eq\r(3)，可得eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b＝2eq\r(3)，则b2＝12，由双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，得e＝eq\f(c,a)＝2，又c2＝a2＋b2，解得a＝2，c＝4，则双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1答案D解析由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．设该双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝4，,\f(42,a2)－\f(32,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\r(3)，))故该双曲线的标准方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋eq\f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则m＝________.答案－3解析方法一依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－eq\f(x2,－m)＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±eq\f(1,\r(－m))＝±eq\f(\r(3),3)，解得m＝－3.方法二依题意得m<0，令y2－eq\f(x2,－m)＝0，得y＝±eq\f(1,\r(－m))x，则±eq\f(1,\r(－m))＝±eq\f(\r(3),3)，解得m＝－3.(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，eq\r(3))，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．答案4x2－y2＝1解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\f(1,a2)－eq\f(3,b2)＝1且eq\f(b,a)＝2，联立解得a＝eq\f(1,2)，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq\f(3,a2)－eq\f(1,b2)＝1，且eq\f(a,b)＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.方法二由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，eq\r(3))，∴λ＝4×12－(eq\r(3))2＝1，∴双曲线方程为4x2－y2＝1.思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝±\f(b,a)x)).(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq\f(b,a)，满足关系式e2＝1＋k2.命题点2离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A.eq\f(\r(7),2)B.eq\f(\r(13),2)C.eq\r(7)D.eq\r(13)答案A解析设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，|F1F2|＝eq\r(m2＋9m2－2×3m×m×cos60°)＝eq\r(7)m，所以C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(|F1F2|,|PF1|－|PF2|)＝eq\f(\r(7)m,2m)＝eq\f(\r(7),2).(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．答案2((1，eq\r(5)]内的任意值均可)解析双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥eq\f(b,a)，∴eq\f(b2,a2)≤4，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)≤5，又e＞1，∴e∈(1，eq\r(5)]，∴填写(1，eq\r(5)]内的任意值均可．思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq\f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3(1)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－1)＝1(0<k<1)，则下列结论正确的是________．(填序号)①双曲线C的焦点在x轴上；②双曲线C的焦距等于4eq\r(2)；③双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于eq\r(1－k)；④双曲线C的离心率的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),3))).答案①③④解析对于①，因为0<k<1，所以9－k>0，k－1<0，所以双曲线C：eq\f(x2,9－k)－eq\f(y2,1－k)＝1(0<k<1)表示焦点在x轴上的双曲线，故①正确；对于②，由①知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝eq\r(10－2k)，所以双曲线C的焦距等于2c＝2eq\r(10－2k)(0<k<1)，故②错误；对于③，设焦点在x轴上的双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其焦点坐标为(±c,0)，渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，所以双曲线C：eq\f(x2,9－k)－eq\f(y2,1－k)＝1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于eq\r(1－k)，故③正确；对于④，双曲线C的离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(1－k,9－k))＝eq\r(2－\f(8,9－k))，因为0<k<1，所以1<2－eq\f(8,9－k)<eq\f(10,9)，所以e＝eq\r(2－\f(8,9－k))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(10),3)))，故④正确．(2)(2022·怀化模拟)已知F是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．答案y＝±eq\f(4,3)x解析设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于点D，如图所示，易知F1D∥OA，在双曲线C中，易知|FA|＝b，又3|FA|＝|AB|，则|DB|＝2b，则D为线段FB的中点，所以△F1BF为等腰三角形，又|FB|＝4b，|F1B|＝4b－2a＝|F1F|＝2c，即c＋a＝2b，又b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)，将b＝eq\f(c＋a,2)代入得eq\f(c＋a2,4)＝(c＋a)(c－a)，得c＋a＝4(c－a)，则c＝eq\f(5,3)a，又c2＝a2＋b2，所以b＝eq\f(4,3)a，则渐近线方程为y＝±eq\f(4,3)x.课时精练1．(2022·宜昌模拟)双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝λ(λ>0)的离心率为()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\r(3)C.eq\r(3)或eq\f(\r(6),2)D.eq\r(2)答案B解析因为λ>0，所以eq\f(x2,2λ)－eq\f(y2,4λ)＝1，所以双曲线焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋b2＝6λ，所以离心率为eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(6λ,2λ))＝eq\r(3).2.“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1答案D解析设双曲线方程为eq\f(x2,2m)－eq\f(y2,m)＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cosθ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为()A．两条直线 B．圆C．椭圆 D．双曲线答案B解析因为θ∈(0，π)，所以cosθ∈(－1,1)，所以当cosθ∈(－1,0)时，方程x2＋(cosθ)y2＝1表示双曲线；当cosθ＝0时，方程x2＋(cosθ)y2＝1表示两条直线x＝±1；当cosθ∈(0,1)时，方程x2＋(cosθ)y2＝1可化为x2＋eq\f(y2,\f(1,cosθ))＝1，因为eq\f(1,cosθ)>1，所以方程表示焦点在y轴上的椭圆．5．(2023·唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：eq\f(y2,3)－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则下列结论中正确的个数是()①|PF1|－|PF2|＝2eq\r(3)；②双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x；③双曲线C的离心率为eq\f(2\r(3),3)；④|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|≥2eq\r(3).A．1B．2C．3D．4答案B解析双曲线C：eq\f(y2,3)－x2＝1的焦点在y轴上，a＝eq\r(3)，b＝1，c＝eq\r(a2＋b2)＝2.对于①，||PF1|－|PF2||＝2a＝2eq\r(3)，但P点在双曲线C的哪支上并不确定，故①错误；对于②，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(a,b)x＝±eq\r(3)x，故②错误；对于③，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，故③正确；对于④，设P(x，y)(x∈R)，O为坐标原点，则|PO|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(x2＋3x2＋3)＝eq\r(3＋4x2)≥eq\r(3)(当且仅当x＝0时取等号)，因为O为F1F2的中点，所以|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝|2eq\o(PO,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PO,\s\up6(→))|≥2eq\r(3)，故④正确．6．(2023·湖南长郡中学模拟)F1，F2分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C右支上的一点，PF1与C的左支交于点Q.已知eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF1,\s\up6(→))，且|PQ|＝|PF2|，则正确的结论是()①△PQF2为直角三角形；②△PQF2为等边三角形；③C的渐近线方程为y＝±eq\r(6)x；④C的渐近线方程为y＝±eq\r(7)x.A．①② B．①③C．②③ D．③④答案C解析因为|PQ|＝|PF2|，所以由双曲线的定义知，|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，所以|QF2|＝4a，又eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF1,\s\up6(→))，所以|PQ|＝|PF2|＝4a，故△PQF2是等边三角形，故①错误，②正确；在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(36a2＋16a2－4c2,48a2)＝eq\f(1,2)，则eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝7，即eq\f(b,a)＝eq\r(6)，故C的渐近线方程为y＝±eq\r(6)x，故③正确，④错误．7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．答案y＝±eq\r(3)x解析因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，所以eq\f(b2,a2)＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x.8．(2022·晋中模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在双曲线的右支上，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))解析设∠F1PF2＝θ，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝4|PF2|，,|PF1|－|PF2|＝2a，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝\f(8,3)a，,|PF2|＝\f(2,3)a，))∵|PF2|≥c－a，∴eq\f(2,3)a≥c－a，即eq\f(5,3)a≥c，即eq\f(c,a)≤eq\f(5,3)，∴双曲线离心率的取值范围是1<e≤eq\f(5,3).9．已知双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)．(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值．解(1)因为双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝2x，所以b＝2，所以双曲线C的标准方程为x2－eq\f(y2,4)＝1.(2)因为PF1⊥PF2，所以＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|，因为△PF1F2的面积为9，所以|PF1|·|PF2|＝18，又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3.10.如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的eq\r(2)倍，双曲线过点(4，－eq\r(10))．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积．(1)解设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，双曲线焦距为2c，实轴长为2a，则2c＝2eq\r(2)a，即c＝eq\r(2)a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程为x2－y2＝a2，将(4，－eq\r(10))代入得，a2＝16－10＝6，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)证明由(1)知，F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)，∵M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，∴M在以F1F2为直径的圆上．(3)解由(2)知，点M坐标为(3，eq\r(3))或(3，－eq\r(3))，∵点M在第一象限，∴M的坐标为(3，eq\r(3))，直线MF2的方程为y－eq\r(3)＝eq\f(－\r(3),2\r(3)－3)(x－3)＝－(2＋eq\r(3))(x－3)，即y＝(－2－eq\r(3))x＋(6＋4eq\r(3))，代入双曲线方程整理可得(6－4eq\r(3))y2－4eq\r(3)(2－eq\r(3))y＋6＝0，∵M的纵坐标为eq\r(3)，∴N的纵坐标为eq\f(6,6－4\r(3)×\r(3))＝eq\f(1,\r(3)－2)＝－(eq\r(3)＋2)，∴△F1MN的面积为S＝eq\f(1,2)|F1F2|·(eq\r(3)＋eq\r(3)＋2)＝2eq\r(3)×(2＋2eq\r(3))＝12＋4eq\r(3).11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－eq\r(3)y＝0，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)－y2＝1或y2－eq\f(x2,3)＝1B．x2－eq\f(y2,3)＝1或y2－eq\f(x2,3)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1或eq\f(y2,3)－x2＝1D．x2－eq\f(y2,3)＝1或eq\f(y2,3)－x2＝1答案A解析在椭圆eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,6)＝1中，c＝eq\r(10－6)＝2，∴焦距2c＝4.∵C的一条渐近线方程为x－eq\r(3)y＝0，∴设C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为eq\f(x2,3λ)－eq\f(y2,λ)＝1.当λ>0时，c＝eq\r(λ＋3λ)＝2，解得λ＝1，则C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1；当λ<0时，c＝eq\r(－λ－3λ)＝2，解得λ＝－1，则C的方程为y2－eq\f(x2,3)＝1.综上，C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1或y2－eq\f(x2,3)＝1.12．(2022·徐州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0，e>\f(\r(6),2)))的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之比是eq\r(3)∶eq\r(2)，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(5)B.eq\f(3\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(5),2)答案C解析过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c，由渐近线的方程y＝eq\f(b,a)x可知y2＝eq\f(b,a)x2，在Rt△OBE中，xeq\o\al(2,2)＋eq\f(b2,a2)xeq\o\al(2,2)＝c2，解得x2＝a(舍负)，由已知得x1∶x2＝eq\r(3)∶eq\r(2)，即x1＝eq\f(\r(6),2)a，即|AF|2＝c2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a))2＝c2－eq\f(3,2)a2，因为离心率e>eq\f(\r(6),2)，所以c2－eq\f(3,2)a2>0，则点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)a，\r(c2－\f(3,2)a2)))，代入双曲线方程可得eq\f(\f(3,2)a2,a2)－eq\f(c2－\f(3,2)a2,b2)＝1，化简得2a2＝c