高考数学一轮复习考点探究与题型突破第39讲空间几何体及其表面积、体积(原卷版+解析)

第39讲空间几何体及其表面积、体积1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3考点1基本立体图形[名师点睛]空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.直观图(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形.[典例]1.(多选)(2023·潍坊调研)下面关于空间几何体的叙述正确的是()A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C.长方体是直平行六面体D.存在每个面都是直角三角形的四面体2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.eq\f(\r(2),4)a2 B.2eq\r(2)a2 C.eq\f(\r(2),2)a2 D.eq\f(2\r(2),3)a23.(2023·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq\r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)[举一反三]1.下列说法正确的是()A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体2.(2023·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（

）A． B． C． D．3.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4eq\r(3)m，则圆锥底面圆的半径等于______m.考点2表面积与体积[名师点睛]1.空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.2.求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.[典例]1.(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为eq\r(21)，则()A.正四棱锥的底面边长为6B.正四棱锥的底面边长为3C.正四棱锥的侧面积为24eq\r(3)D.正四棱锥的侧面积为12eq\r(3)2.(2023·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.3.(2023·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A.20＋12eq\r(3) B.28eq\r(2)C.eq\f(56,3) D.eq\f(28\r(2),3)4.(2023·新高考全国Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.[举一反三]1．(2023·重庆八中模拟预测）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（

）A．8π B．4π C．8 D．42．(2023·河北保定·一模）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（

）A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶33．(2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（

）A． B． C． D．4．(2023·广东佛山·二模）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（）A．2π B．4π C．16π D．5．(2023·河北衡水中学一模）已如A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．6．(2023·福建福州·模拟预测）如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积约为______．（精确到0.1，）7．(2023·广东·华南师大附中模拟预测）在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为______.考点3与球有关的切接问题[名师点睛](1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.[典例]1.(2023·湖南·长郡中学模拟预测）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．2.(2023·天津·南开中学模拟预测）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（

）A． B． C． D．3．(2023·湖北十堰·三模）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥外接球与内切球的表面积之比为（

）A． B．10 C． D．11[举一反三]1.(2023·天津和平·一模）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（）．A． B． C． D．2．(2023·天津·二模）已知在中，角所对的边分别为，且又点都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为（

）A． B． C． D．3．(2023·广东·大埔县虎山中学模拟预测）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．4．(2023·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为______．5．(2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体中，，，则该四面体的内切球表面积为___________.6．(2023·山东省实验中学模拟预测）在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为__________．第39讲空间几何体及其表面积、体积1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3考点1基本立体图形[名师点睛]空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.直观图(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形.[典例]1.(多选)(2023·潍坊调研)下面关于空间几何体的叙述正确的是()A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C.长方体是直平行六面体D.存在每个面都是直角三角形的四面体答案CD解析A中，当顶点在底面的投影是正多边形的中心才是正棱锥，不正确；B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确；C正确；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形.2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.eq\f(\r(2),4)a2 B.2eq\r(2)a2 C.eq\f(\r(2),2)a2 D.eq\f(2\r(2),3)a2答案B解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(2),2)·S＝eq\f(\r(2),4)S.可以提出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝eq\f(\r(2),4)S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积S＝eq\f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq\r(2)a2.3.(2023·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为eq\r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)[解析]设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为eq\r(2)，所以2π×eq\r(2)＝πl，解得l＝2eq\r(2)，故选B．[答案]B[举一反三]1.下列说法正确的是()A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体[解析]选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，正确．故选D．[答案]D2.(2023·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积为（

）A． B． C． D．答案：B【详解】解：由题得,所以.故选：B．3.如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4eq\r(3)m，则圆锥底面圆的半径等于______m.答案eq\f(4,3)解析圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形，由题意OP＝4，PP′＝4eq\r(3)，则cos∠POP′＝eq\f(42＋42－（4\r(3)）2,2×4×4)＝－eq\f(1,2)，又∠POP′为△POP′一内角，所以∠POP′＝eq\f(2π,3).设底面圆的半径为r，则2πr＝eq\f(2π,3)×4，所以r＝eq\f(4,3).考点2表面积与体积[名师点睛]1.空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.2.求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解；(2)割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体；(3)等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积.[典例]1.(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为eq\r(21)，则()A.正四棱锥的底面边长为6B.正四棱锥的底面边长为3C.正四棱锥的侧面积为24eq\r(3)D.正四棱锥的侧面积为12eq\r(3)答案AC解析如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a(a＞0)，因为∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝eq\f(\r(3),3)a，SH＝eq\f(2\r(3),3)a，在Rt△SAH中，a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)×4＝24eq\r(3).故选AC.2.(2023·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________.答案39π解析设该圆锥的高为h，则由已知条件可得eq\f(1,3)×π×62·h＝30π，解得h＝eq\f(5,2)，则圆锥的母线长为eq\r(h2＋62)＝eq\r(\f(25,4)＋36)＝eq\f(13,2)，故该圆锥的侧面积为π×6×eq\f(13,2)＝39π.3.(2023·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A.20＋12eq\r(3) B.28eq\r(2)C.eq\f(56,3) D.eq\f(28\r(2),3)答案D解析连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝eq\r(22－（2\r(2)－\r(2)）2)＝eq\r(2)，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝eq\f(1,3)h(S1＋S2＋eq\r(S1S2))＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×(16＋4＋eq\r(64))＝eq\f(28\r(2),3).4.(2023·新高考全国Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.答案1解析如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得S△A1MN＝2×2－2×eq\f(1,2)×2×1－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(3,2)，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝eq\f(1,3)·S△A1MN·D1A1＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝1.5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.答案eq\f(\r(2),3)解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.依题意，三棱锥E－ADG的高EG＝eq\f(1,2)，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.则AG＝eq\r(AE2－EG2)＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).取AD的中点M，则MG＝eq\f(\r(2),2)，所以S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4)，∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).[举一反三]1．(2023·重庆八中模拟预测）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（

）A．8π B．4π C．8 D．4答案：A【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，其底面半径r=2，高h=2，故其侧面积为.故选：A2．(2023·河北保定·一模）圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（

）A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．2∶3答案：A【详解】设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积=，球的表面积为，其比例为1:1，故选：A.3．(2023·江苏·沭阳如东中学模拟预测）若圆锥的母线长为，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（

）A． B． C． D．答案：B【详解】设圆锥的高为，底面半径为，则，解得.所以.则圆锥的体积.故选：B4．(2023·广东佛山·二模）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（）A．2π B．4π C．16π D．答案：B分析：分析图中的几何关系，分别求出圆锥的底面半径和母线长即可.【详解】依题意，做球的剖面图如下：其中，O是球心，E是圆锥的顶点，EC是圆锥的母线，由题意可知球的半径计算公式：，由于圆柱的高为2，OD=1，DE=3-1=2，，母线，∴圆锥的侧面积为，故选：B.5．(2023·河北衡水中学一模）已如A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．答案：C【详解】解：设球的半径为，外接圆的半径为，在中，由，，则得，所以，因为球O的表面积为，则，解得，所以球心到的距离，即三棱锥的高为，，所以三棱锥的体积.故选：C.6．(2023·福建福州·模拟预测）如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积约为______．（精确到0.1，）答案：【详解】边长为10的正六边形的面积为所以表面积为故答案为：7．(2023·广东·华南师大附中模拟预测）在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，则四面体的体积为______.答案：【详解】解：在四面体中，为等边三角形，边长为6，，，，，，分别取、的中点、，连结、、，则，，，且，，，，，，平面，平面，平面，四面体的体积为：．故答案为：．考点3与球有关的切接问题[名师点睛](1)求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.[典例]1.(2023·湖南·长郡中学模拟预测）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（

）A． B． C． D．答案：C分析：根据题意作出轴截面图，求出圆台母线长，利用侧面积公式求解.【详解】因为圆台下底面半径为5，球的直径为，所以圆台下底面圆心与球心重合，底面圆的半径为，画出轴截面如图，设圆台上底面圆的半径，则所以球心到上底面的距离，即圆台的高为3，所以母线长，所以，故选：C.2.(2023·天津·南开中学模拟预测）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（

）A． B． C． D．答案：C分析：先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径即可.【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，为的中心，易知面，为中点，球和球分别与面相切于和.易得，，，由，可得，又，，故，，，又由和相似，可得，即，解得，即球的最大半径为.故选：C.3．(2023·湖北十堰·三模）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥外接球与内切球的表面积之比为（

）A． B．10 C． D．11答案：C分析：判断出为外接球直径即可求出外接球半径，由得即可求出内切球半径，即可求出表面积之比.【详解】设四棱锥外接球与内切球的半径分别为R，r，由底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，则即为外接球直径，则.设内切球球心为，因为，又，，四棱锥的表面积，所以，故四棱锥外接球与内切球的表面积之比为.故选：C.[举一反三]1.(2023·天津和平·一模）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（）．A． B． C． D．答案：A分析：先根据鳖牖的体积为l，求得，再根据阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积．【详解】由题意，因为平面，四边形为正方形，，，又由鳖牖的体积为，所以，解得，而阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线，所以，即，球的表面积为．故选A