沪教版七年级数学下册满分冲刺卷特训04相交线平行线(题型归纳)(原卷版+解析)

特训04相交线平行线（题型归纳）目录：一、M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型；二、动态问题；三、三角板问题；四、情景探究类；五、传统解答证明题。解答题一、M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型1．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．2．已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）3．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．4．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．5．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．6．已知，点为平面内一点，于．（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；（2）点在两条平行线之间，过点作于点．①如图2，说明成立的理由；②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．7．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．8．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．9．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．10．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．二、动态问题11．如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．①当NOEF，PMEF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PMEF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．12．如图，已知射线，，，在上，且满足，平分．(1)求的度数．(2)若向右平行移动，其他条件不变，那么的值是否发生变化？若变化，请找出变化规律；若不变，请求出这个比值．(3)在向右平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由．13．请作答：(1)图，图均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．①如图，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；②如图，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由；(2)当点在，两点之间运动时，若，的角平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．14．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．①在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；②将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系（直接写出结果）．15．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．16．如图已知直线AB射线CD，∠CEB＝100°，P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．(1)若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数：②若∠EGC－∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．(2)在点P的运动过程中，当时，直接写出∠CPQ的度数．17．阅读情境：如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．(1)按小明的思路，易求得的度数为______，请写出解题过程；问题迁移：(2)如图②，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由．18．如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；(2)如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系19．如图，已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：，）．(1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，若，则_________．(2)如图2，将图1中的三角板绕点C顺时针旋转，试判断此时与的位置关系，并说明理由．(3)如图3，将图1中的三角板绕点C顺时针旋转，使得，此时和满足什么关系？请说明理由．(4)将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，恰好与直线重合，求t的值（用含的式子表示）．20．如图①，已知直线//，且和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上，，，．(1)若，，则______．(2)试找出，，之间的数量关系，并说明理由．(3)应用（2）中的结论解答下面的问题：如图②，点在的北偏东的方向上，在的北偏西的方向上，求的度数．(4)如果点在直线上且在线段外侧运动（点和，两点不重合），其他条件不变，试探究，，之间的关系．21．综合与实践问题情境：在数学实践课上，给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，在直线上，且三角板和三角板均可以点P为顶点运动．操作探究：(1)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分平分，求；(2)如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；拓广探究：(3)如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数．三、三角板问题22．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．(1)填空：∠1＝°，∠2＝°；(2)现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，①请直接写出∠2＝°（结果用含n的代数式表示）；②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值．(3)若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜180时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行？如果存在，请直接写出所有n的值；如果不存在，请说明理由．23．如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；(2)类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．24．如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起，交叉摆放．(1)如图1，若∠CBD=35°，则∠ABE=______；(2)如图1，若∠CBD：∠ABE=2：7，求∠CBD的度数；(3)如图2，若∠CBD=α，射线BM，射线BN分别是∠ABE和∠CBE的平分线，试判断当∠CBD的度数改变时，∠MBN的度数是否随之改变．若改变，请说明理由；若不改变，求它的度数；(4)如图1，若保持三角板ABC不动，绕直角顶点B顺时针转动三角板DBE，当∠CBD的度数为______时，BE∥AC．25．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：1＝_____°，2＝_____°；（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，①请直接写出2＝_____°（结果用含n的代数式表示）②若1与2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值（3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．26．将两块三角板按如图置，其中三角板边，，，．（1）下列结论：正确的是_______．①如果，则有；②；③如果，则平分．（2）如果，判断与是否相等，请说明理由．（3）将三角板绕点顺时针转动，直到边与重合即停止，转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时，请直接写出所有可能的度数．27．知直线，一块直角三角板的顶点A在直线a上，B，C两点在平面上移动，其中，．请解答下列问题：（1）如图1，若点C在直线b上，点B在直线b的下方，，求的度数：（2）如图2，若三角板的位置绕着点A进行转动，使得点C在直线a，b之间，点B在直线b的下方．①请说明和的数量关系；②若图中两个角的度数和之间满足关系式，求x，y的值．28．已知，将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，，，，．（1）若三角板如图1摆放时，则______，______．（2）现固定的位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点G，作和的角平分线交于点H，求的度数；（3）现固定，将绕点A顺时针旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出的度数．四、情景探究问题29．综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，EF∥MN，点A、B分别为直线EF、MN上的一点，点P为平行线间一点，请直接写出∠PAF、∠PBN和∠APB之间的数量关系；【问题迁移】（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM、ON于点A、D，直线n分别交OM、ON于点B、C，点P在射线OM上运动．①当点P在A、B（不与A、B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A、B、O三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系．30．问题情境（1）如图1，已知，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得；问题迁移（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合与相交于点，有一动点在边上运动，连接，记．①如图2，当点在两点之间运动时，请直接写出与之间的数量关系；②如图3，当点在两点之间运动时，与之间有何数量关系？请判断并说明理由．31．[阅读•领会]如图①，为了判断两直线的位置关系．我们添加了直线c为“辅助线”．在部分代数问题中，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．【实践•体悟】（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．（2）若关于x、y的方程组的解是的解是，则关于x、y的方程组的解为．【创造•突破】（3）已知直线ABCD．如图2，请写出∠ABE、∠E、∠CDE的数量关系，并添加适当的辅助线说明理由．（4）已知直线ABCD．如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，若∠F＝m°，则∠E=．（用含m的代数式表示）32．课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC＋∠B＋∠C的度数．（1）阅读并补充下面推理过程解：过点A作ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝

又∵∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．方法运用：（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B＋∠BCD＋∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB）深化拓展：（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．33．已知，如图①，∠BAD=50°，点C为射线AD上一点（不与A重合），连接BC．（1）[问题提出]如图②，AB∥CE，∠BCD=73°，则：∠B=．（2）[类比探究]在图①中，探究∠BAD、∠B和∠BCD之间有怎样的数量关系？并用平行线的性质说明理由．（3）[拓展延伸]如图③，在射线BC上取一点O，过O点作直线MN使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于E点，OF平分∠BON交AD于F点，交AD于G点，当C点沿着射线AD方向运动时，∠FOG的度数是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个不变的值．五、传统解答证明题34．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，．（1）将直角如图1位置摆放，如果，则______；（2）将直角如图2位置摆放，N为AC上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由．（3）将直角如图3位置摆放，若，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论．35．如图1，已知，，点在上，点，在上，点在，之间，连接，，，．(1)求证：；(2)如图2，平分交于，，平分，，①若，时，求的度数；②如图3，平分，，交于点，若，求的值．36．已知，，、分别为直线、上的点，为平面内任意一点，连接、．(1)如图（1），请直接写出、与之间的数量关系．(2)如图（2），过点作、交直线上的点、，点在上，过作，求证：．(3)如图（3），在（2）的条件下，若，，求的度数．特训04相交线平行线（题型归纳）目录：一、M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型；二、动态问题；三、三角板问题；四、情景探究类；五、传统解答证明题。解答题一、M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型1．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．【解析】（1）解：如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，；故答案为：；（2）解：如图1，分别过点，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（3）解：如图2，过点作，由（2）知，，设，则，平分，平分，，，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．2．已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．【解析】解：（1）如图1，过点作，则有，，，，；（2）①如图2，过点作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为；②如图3，过点作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度数为．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．3．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解．【解析】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．4．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．【解析】解：（1）如图，作CP//a，∵a//b，CP//a，∴CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，∴∠BCP=180°-∠CEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：如图，作CP//a，则CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，∵∠NEF+∠CEF=180°，∴∠BCP=∠NEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，∴∠GOP=135°-∠POQ，∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．5．AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案．【解析】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：如图2所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，∴∠APC＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝110°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝110°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH＝∠FEG−∠BEG＝∠BEF＝55°．【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.6．已知，点为平面内一点，于．（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；（2）点在两条平行线之间，过点作于点．①如图2，说明成立的理由；②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解析】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．7．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．【解析】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如图（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法．8．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【解析】解：（1）过E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EMAB，过F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）过P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．9．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．【解析】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)设PD交AN于O，如图，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．10．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【解析】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．二、动态问题11．如图，直线ABCD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一个含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．(1)小安将直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，证明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；(2)若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，点N、M分别在直线AB、CD上，如图②．①当NOEF，PMEF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PMEF并向左平移，请直接写出在平移的过程中∠MON的度数：∠MON=______（用含α的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)①60°；②或【分析】（1）过P点作PQAB，根据平行线的性质可得∠PNB=∠NPQ，∠PMD=∠QPM，进而可求解；（2）①由平行线的性质可得∠ONM=∠PMN=60°，结合角平分线的定义可得∠ANO=∠ONM=60°，再利用平行线的性质可求解；②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．（1）证明：过P点作PQAB，∴∠PNB=∠NPQ，∵ABCD，∴PQCD，∴∠PMD=∠QPM，∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN；（2）解：①∵NOEF，PMEF，∴NOPM，∴∠ONM=∠NMP，∵∠PMN=60°，∴∠ONM=∠PMN=60°，∵NO平分∠MNO，∴∠ANO=∠ONM=60°，∵ABCD，∴∠NOM=∠ANO=60°，∴α=∠NOM=60°；②点N在G的右侧时，如图②，∵PMEF，∠EHD=α，∴∠PMD=α，∴∠NMD=60°+α，∵ABCD，∴∠ANM=∠NMD=60°+α，∵NO平分∠ANM，∴∠ANO=∠ANM=30°+α，∵ABCD，∴∠MON=∠ANO=30°+α；点N在G的左侧时，如图，∵PMEF，∠EHD=α，∴∠PMD=α，∴∠NMD=60°+α，∵ABCD，∴∠BNM+∠NMO=180°，∠BNO=∠MON，∵NO平分∠MNG，∴∠BNO=[180°-（60°+α）]=60°-α，∴∠MON=60°-α，综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°-α．故答案为：30°+α或60°-α．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，画出图形，分类讨论是解题的关键．12．如图，已知射线，，，在上，且满足，平分．(1)求的度数．(2)若向右平行移动，其他条件不变，那么的值是否发生变化？若变化，请找出变化规律；若不变，请求出这个比值．(3)在向右平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)30°(2)不变化，(3)存在，45°【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=∠AOC，计算即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；（3）设∠BOA=x°，表示出∠OBA，再根据∠OEC=∠OBA，列出方程求解．【解析】（1）∵CB∥OA，∴∠COA=180°－∠C=60°，∠FBO=∠BOA，∵，∴，∴，∵OE平分∠COF，∴，∴；（2）∵CB∥OA，∴∠OFC=∠FOA=∠FOB+∠BOA=∠OBC+∠OBC=2∠OBC，∴=1：2=；（3）存在，∠BOA=45°，理由如下：设∠BOA=x°，则∠FBO=∠FOB=x°，∵CB∥OA，∴∠CBA=180°－∠OAB=60°，∠OEC=∠EOA=∠EOB+∠BOA=(30＋x)°，∴∠OBA=∠CBA－∠FBO=(60－x)°∵∠OEC=∠OBA，∴，解得x=15，∴∠OBA=(60-15)°=45°．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的和差运算，涉及方程思想，灵活运用这些性质是解题的关键．13．请作答：(1)图，图均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．①如图，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；②如图，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由；(2)当点在，两点之间运动时，若，的角平分线，相交于点，请直接写出与，之间的数量关系．【答案】(1)①；②，理由见解析(2)【分析】（1）①过点作，先根据平行线的性质可得，再根据即可得；②过点作，先根据平行线的性质可得，，再根据即可得；（2）先根据角平分线的定义可得，过点作，再根据平行线的性质可得，，然后根据即可得．（1）解：①，理由如下：如图，过点作，如图所示：，，，，；②，理由如下：如图，过点作，，，，，．（2）解：，理由如下：，分别平分，，，，如图，过点作，，，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，过拐点作平行线，利用平行线的判定与性质是解题关键．14．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．①在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；②将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系（直接写出结果）．【答案】(1)∠CON＝150°(2)①18s或54s②5∠AOM=6∠NOC【分析】（1）根据邻补角的定义求出∠BOC=120°，再根据角平分线的定义求出∠COM，然后根据∠CON=∠COM+90°解答；（2）①根据∠COM=30°或∠CON=30°时是可以满足MNOC，即（90°+60°-60°）÷（6°-1°）=18s或（180°+60°+30°）÷（6°-1°）=54s．②设运动的时间为t，则∠AOM=180°-6t=6（30°-t），∠NOC=60°+t-（90°-180°+6t）=5（30°-t），即可得出结论．【解析】（1）解：∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOC＝60°，∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；（2）解：①∵∠OMN＝30°，∴∠COM=30°或∠CON=30°时是可以满足MNOC，即（90°+60°-60°）÷（6°-1°）=18s，（180°+60°+30°）÷（6°-1°）=54s，故答案为：18s或54s．②设运动的时间为t，则∠AOM=180°-6t=6（30°-t），∠NOC=60°+t-（90°-180°+6t）=5（30°-t），故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：5∠AOM=6∠NOC．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键，难点在于（2）要分情况讨论．15．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．(1)判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．①当点G在点F的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】(1)AB∥CD，理由见详解；(2)①；②当点G在点F的右侧时，；当点G在点F的左侧时，；理由见详解【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEF=∠FME，根据∠FEM=∠FME，可得∠AEF=∠FEM，进而得出AB∥CD；（2）①依据平行线的性质可得∠AEG=124°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH=∠AEG=62°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°；②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，．当点G在点F的左侧时，．【解析】（1）解：∵EM平分∠AEF，∴∠AEM=∠MEF，又∵∠FEM=∠FME，∴∠AEM=∠EMF，∴AB∥CD；（2）解：①如图2，∵AB∥CD，β=56°，∴∠AEG=124°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，∴∠MEH=∠AEG=62°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°，即α=28°；②分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，α=β．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG=180°-β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，∴∠MEH=∠AEG=（180°β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH=90°（180°β）=β，即α=β；如图3，当点G在点F的左侧时，α=90°β．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG=∠EGF=β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，∴∠MEH=∠MEF-∠HEF=（∠AEF-∠FEG）=∠AEG=β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH，即α=90°β．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．16．如图已知直线AB射线CD，∠CEB＝100°，P是射线EB上一动点，过点P作PQEC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF．(1)若点P，F，G都在点E的右侧．①求∠PCG的度数：②若∠EGC－∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数．(2)在点P的运动过程中，当时，直接写出∠CPQ的度数．【答案】(1)①40°；②60°(2)60°或15°【分析】（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根据PQCE，即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；（2）设∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，则∠GCF=3x°-2x°=x°，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．（1）解：①∵ABCD，∴∠CEB+∠ECQ=180°，∵∠CEB=100°，∴∠ECQ=80°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCF=∠QCF，∠ECG=∠FCG=∠FCE，∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°；②∵ABCD，∴∠QCG=∠EGC，∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，∴∠EGC+∠ECG=80°，又∵∠EGC-∠ECG=40°，∴∠EGC=60°，∠ECG=20°，∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF=∠PCQ=×（80°−40°）=20°，∵PQCE，∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=80°-20°=60°；（2）解：设∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，①当点G、F在点E的右侧时，∵ABCD，∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，则∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，∴∠PCF=∠PCQ=∠FCQ=∠EFC=x°，则∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，∵∠ECD=80，∴4x=80°，解得x=20，∴∠CPQ=∠ECP=3x°=60°；②当点G、F在点E的左侧时，反向延长CD到H，∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，∴∠ECH=∠GCH+∠GCE=4x°，∴4x+80=180，解得x=25，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=25°×2+80°=130°，∴∠PCQ=∠FCQ=65°，∴∠CPQ=∠ECP=80°-65°=15°．故∠CPQ的度数为60°或15°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．17．阅读情境：如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．(1)按小明的思路，易求得的度数为______，请写出解题过程；问题迁移：(2)如图②，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由．【答案】(1)110°，过程见解析(2)∠APC=α+β，理由见解析【分析】（1）过P作，通过平行线性质求∠APC即可；（2）过P作交AC于E，推出，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．（1）解：过点P作，∵，∴，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案为：110．（2）∠APC=α+β，理由是：如图2，过P作交AC于E，∵，∴，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．18．如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为度；(2)如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系【答案】(1)120(2)∠APC=∠α+∠β(3)当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α【分析】（1）过P作PM∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC的度数；（2）过P作PE∥AE交AC于E，推出AB∥PE∥CD，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）画出图形，分两种情况：①点P在BD的延长线上，②点P在DB的延长线上，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【解析】（1）解：如图1，过P作PM∥AB，∴∠APM+∠PAB=180°，∴∠APM=180°-125°=55°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠CPM+∠PCD=180°，∴∠CPM=180°-115°=65°，∴∠APC=55°+65°=120°；故答案为：120；（2）如图2，∠APC=∠α+∠β，理由如下：过P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如图3，当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；理由：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE-∠CPE=∠α-∠β；如图4，当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α；理由：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．19．如图，已知和互为邻补角，，将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：，）．(1)如图1，使三角板的短直角边与射线重合，若，则_________．(2)如图2，将图1中的三角板绕点C顺时针旋转，试判断此时与的位置关系，并说明理由．(3)如图3，将图1中的三角板绕点C顺时针旋转，使得，此时和满足什么关系？请说明理由．(4)将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，恰好与直线重合，求t的值（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)，理由见详解(3)(4)或【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由旋转的性质可得，然后问题可求解；（3）由选项的性质可得，然后可得，则有，进而分类讨论求解即可；（4）由题意可分当射线CA与射线CF互为反向延长线和当射线CA与射线CF重合时，然后进行分类讨论求解即可．(1)解：由三角板的短直角边与射线重合，且，可得：；故答案为；(2)解：，理由如下：由旋转的性质可得：，∴；(3)解：，理由如下：由旋转可知：，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，若，则，即；若，则，即；∵，∴不符合题意；∴和满足的关系是；(4)解：将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，恰好与直线重合，∴当射线CA与射线CF互为反向延长线，如图，则，∴此时AC旋转了，∴；当射线CA与射线CF重合时，如图所示：则AC旋转了，∴；综上所述：AC恰好与直线CF重合时，t的值为或．【点睛】本题主要考查旋转的性质、角的和差关系、平行线的判定及一元一次方程的应用，熟练掌握旋转的性质、角的和差关系、平行线的判定及一元一次方程的应用是解题的关键．20．如图①，已知直线//，且和，分别交于，两点，和，分别交于，两点，点在线段上，，，．(1)若，，则______．(2)试找出，，之间的数量关系，并说明理由．(3)应用（2）中的结论解答下面的问题：如图②，点在的北偏东的方向上，在的北偏西的方向上，求的度数．(4)如果点在直线上且在线段外侧运动（点和，两点不重合），其他条件不变，试探究，，之间的关系．【答案】(1)∠3=55°(2)(3)(4)点在的延长线上时，；点在的延长线上时，【分析】（1）过点作，由平行线的性质可得，，即可得，代入计算可求解的度数；（2）过点作，由平行线的性质可得，，即可求解；（3）根据（2）的结论，再代入即可求解；（4）分两种情况：①当点在点的上方时，②当点在点的下方时，利用平行线的性质可求解．（1）解：过点P作，∵，∴，∴，，∵，∴；（2）解：由（1）知．理由如下：过点P作，∵，∴，∴，，∵，∴；（3）解：由（2）可知；（4）解：当点在的延长线上时，如图①所示，过作，交于，则．∵，∴．∴．∵，∴．故当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，如图②所示，过作，交于，则，∵，∴．∴．∵，∴．故当点在的延长线上时，．【点睛】本题主要考查平行线的性质，方向角，掌握平行线的性质是解题的关键．21．综合与实践问题情境：在数学实践课上，给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，在直线上，且三角板和三角板均可以点P为顶点运动．操作探究：(1)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分平分，求；(2)如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；拓广探究：(3)如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数．【答案】(1)30°(2)15秒或秒(3)30°或210°．【分析】（1）结合角平分线的定义，利用各角之间的关系可求解；（2）分三种情况讨论，建立与时间t有关的方程求解即可；（3）分两种情况，结合平行线的判定与性质讨论求解即可．【解析】（1）∵平分∠∴设∠则∠∠∴∴∴∠（2）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，∵当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，∴秒，分三种情况讨论：①当PD平分∠BPC时，根据题意可列方程，解得，，符合题意；②当PC平分∠BPD时，根据题意可列方程,解得，，符合题意；③当PB平分∠CPD时，根据题意可列方程,解得，，不符合题意舍去，所以，旋转时间为15秒或秒时，三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角；（3）①如图①，∵与关于PB对称，∴若，则∴∴∴旋转角度数为：；②如图②，若，则∴∴旋转角度数为：；综上，当时，旋转角的度数为30°或210°．【点睛】本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义及角的和与差，图形的旋转.掌握图形旋转的特征，找出等量关系列出方程式是解答本题的关键三、三角板问题22．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．(1)填空：∠1＝°，∠2＝°；(2)现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，①请直接写出∠2＝°（结果用含n的代数式表示）；②若∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的倍，求n的值．(3)若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜180时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行？如果存在，请直接写出所有n的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)120，90(2)①②或(3)【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答即可；（2）①根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；②根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，再利用∠1与∠2恰好有一个角是另一个角的倍，分两种情况列方程，计算可求解；（3）结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺平行讨论求解．（1）解：∠1＝180°﹣60°＝120°，∠2＝90°；故答案为：120，90．（2）解：①如图2，∵DG//EF，∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）＝（90+n）°；故答案为：（90+n）．②∵∠ABC＝60°，∴∠ABE＝180°﹣60°﹣n°＝120°﹣n°，∵DG//EF∴∠1＝∠ABE＝120°﹣n°，当∠1＝∠2时，120﹣n＝（90+n），解得n＝；当∠1＝∠2时，（120﹣n）＝90+n，解得n＝；综上所述，n值为或．（3）解：当n＝60°时，AB//DE；当n＝90°时，BC//DE；当n＝150°时，AC//DG；综上所述，当n＝60°，90°，150°时，会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线平行．【点睛】本题主要考查了领补角、直角的性质，平行线的性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解答本题的关键．23．如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．(1)观察猜想，∠BCD与∠ACE的数量关系是________；∠BCE与∠ACD的数量关系是________；(2)类比探究，若按住三角板不动，顺时针绕直角顶点转动三角形，试探究当∠ACD等于多少度时CE//AB，画出图形并简要说明理由；(3)拓展应用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．【答案】(1)，(2)当或时，CE//AB(3)，或AC//DE【分析】（1）由三角板的特点可知，即可求出．再根据，，即可求出；（2）分类讨论结合平行线的性质即可求解；（3）由（1），即可求出，再分类讨论结合平行线的判定和性质即可得出DE与AC的位置关系．（1）∵，∴，即．∵，，∴．故答案为：，；（2）分类讨论：①如图1所示，∵CE//AB，∴，∴；②如图2所示，∵CE//AB，∴，∴．综上可知当或时，CE//AB；（3）根据（1）可知，∴，∴．分类讨论：①如图3所示，∵，∴，∴BC//DE．∵，即，∴；②如图4所示，∵，∴，∴AC//DE．【点睛】本题考查三角板中的角度计算，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．24．如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起，交叉摆放．(1)如图1，若∠CBD=35°，则∠ABE=______；(2)如图1，若∠CBD：∠ABE=2：7，求∠CBD的度数；(3)如图2，若∠CBD=α，射线BM，射线BN分别是∠ABE和∠CBE的平分线，试判断当∠CBD的度数改变时，∠MBN的度数是否随之改变．若改变，请说明理由；若不改变，求它的度数；(4)如图1，若保持三角板ABC不动，绕直角顶点B顺时针转动三角板DBE，当∠CBD的度数为______时，BE∥AC．【答案】(1)145(2)∠CBD=40°(3)不变，(4)60°或120°【分析】（1）根据进行计算即可．（2）由比例关系设∠CBD=2x，∠ABE=7x，再利用计算即可．（3）用（1）的方法可得，根据角平分线的性质求解即可．（4）旋转过程中有两种情况，画出图分别进行求解即可．（1）解：∠ABE＝∠ABC＋∠DBE−∠CBD＝90°＋90°−35°＝145°；故答案为：145．（2）∵∠CBD∶∠ABE=2∶7，设∠CBD=2x，则∠ABE=7x，∵∠ABC+∠DBE=90°＋90°=180°，∴∠ABC+∠CBE+∠CBD=180°，∴∠ABE+∠CBD=180°，∴7x+2x=180°，∴x=20°，∴∠CBD=2x=40°；（3）不变，理由如下：∵∴∠ABE＝∠ABC＋∠DBE−∠CBD＝90°＋90°−α＝180°-α；∵BM平分，∴，∵BN平分，∴，∴；（4）有如下两种情况：，，，，，，，，．或者．【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，余角定义和性质，角平分线性质，平行线性质；灵活运用角的和差关系进行计算是关键．25．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．（1）填空：1＝_____°，2＝_____°；（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，①请直接写出2＝_____°（结果用含n的代数式表示）②若1与2恰好有一个角是另一个角的倍，求