2025届新高考数学冲刺突破复习正弦定理和余弦定理

2025届新高考数学冲刺突破复习正弦定理和余弦定理课程标准通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．CONTECT内容索引01教材梳理强基固本02考点探究精准突破教材梳理强基固本理清主干知识1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径．2RsinB2RsinCsinA:sinB:sinC

b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC2．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式记牢常用结论1．三角形中的边角关系在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC.(2)cos(A＋B)＝－cosC.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.练透教材典题1．[多选题]下列结论错误的是A．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比B．在△ABC中，若sinA>sinB，则A>BC．在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素D．当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形√√√√3．在△ABC中，已知B＝45°，b＝2，c＝，则C＝________.30°4．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cosA＝________，△ABC的面积为________．返回√考点探究精准突破考点一利用正、余弦定理解三角形综合练例1(10分)(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)设AB＝5，求AB边上的高．思路分析(1)

(2)

规律方法应用正弦、余弦定理解题的技巧3．利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab的形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．√对点练1.(1)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是A．有一解 B．有两解C．无解 D．有解，但解的个数不确定2(1)求角A；考点二判断三角形的形状综合练例2(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定√因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sin2A，又0<A<π，故sinA＝1，即A＝，因此△ABC是直角三角形．故选A.(2)在△ABC中，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为_________________________．由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sin(A＋B)－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，故cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinA＝sinB，即A＝或A＝B，故△ABC为直角三角形或等腰三角形．直角三角形或等腰三角形变式探究1．(变条件)若将本例(1)中的条件改为“2sinAcosB＝sinC”，试判断△ABC的形状．解：法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－π<A－B<π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．故△ABC为等腰三角形．所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．规律方法判断三角形形状的两种常用途径提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．√对点练3.在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．钝角三角形考点三与三角形面积有关的问题综合练例3

△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C＋cos(A＋B)＝0.(1)求角C；规律方法三角形面积问题的常见类型1．求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式等，求出角与边，再求面积．2．已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已知角求出角的两边间的关系．3．已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公式中的角，化为三角