大学《材力学》期末复习及试题课件

材料力学总复习题型范围：•

拉压变形•

扭转变形、剪切与挤压•

弯曲变形•

组合变形•

广义Hooke定律•

强度理论•

压杆稳定•内力图（尤其弯矩、剪力图）

•能量法•

静不定问题

•

动载荷材料力学主要研究构件的强度、刚度和稳

定性。工程构件的失效形式通常可以分为:

强度失效、刚度失效和稳定性失效。基本概念-

内力、应力、应变、许用应力（变）；-

抗拉（压）

/弯/扭刚度、截面系数；-

弹性极限、屈服极限、强度极限、弹性模量；-

惯性矩、静矩、惯性半径杆件变形的基本形式：

拉压、剪切、扭转、弯曲

（组合形式）轴向拉伸与压缩基本内容–

截面法–

内力（轴力）图–

应力的求取

–

求变形–

胡克定律–

强度条件–

拉压静不定问题的求解分布轴向力需要通过积分就伸长量σ

δuE

δxσ

=

FNAΔl

=

<[σ

]Δl

=

dxε

=

=

nnnQP连接处（1）假设剪切面上的切应力均匀分布，剪切强度

条件为：Pτ

=<

[τ]正确地确定剪切面的位置及剪力。剪力在两相邻

外力作用线之间，与外力平行剪切面Pnbsr

rσ

=1.正确地确定挤压面的位置及其上的

压力。挤压面即为外力的作用面，

与外力垂直；挤压面为半圆弧面时，可将构件的直径截面视为挤压

面。2.多个铆钉时按均分处理（剪切、挤

压），拉伸另计<

[σbs

]PAbsbsr/41

2

31

2

3A

=

dδ（2）假设挤压面上的挤压应力均匀分布，挤压强

度条件为：δdrb扭转圆轴或圆管扭转时，其截面上仅有切应力，两截

面间将产生相对的转动扭转。切应力互等定理：剪切胡克定律：

τ

'τ

=

τ=GYTmTxxnr/minτ

=刚度、强度：τPφ=

M

=

kW

9549

P

(N.m)作扭矩图扭矩转速关系扭转切应力公式：扭转变形公式：T=

IP

P强度条件：刚度条件：圆轴线性，圆管均匀τmaxQ=T=

WtTx180π<[Q]GIP2

π

R

δ02<

[τ]T弯曲梁弯曲时横截面上有两种内力：剪力和弯矩；对应

有：剪应力和正应力符号：

左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正；a

bMClB(+)(-)Mb

/

lA外力无外力均布载荷集中力处集中力偶处q

=

0q>0q<0

F

CMe

C

Q图

特

征水平直线斜直线向下突变无变化QxQ

>

0QxQ

<

0Qx增函数Qx减函数QFS2QS1–QS2QS1C

x=FQCxM图

特

征斜直线抛物线产生折点向下突变Mx增函数Mx减函数Mx开口向上Mx开口向下MC

xM

M1M1–M2=Me剪力、弯矩与分布载荷间的关系及特点：CM2

x剪力图和弯矩图（1）根据剪力方程和弯矩方程作图；（2）用叠加法作图；（3）根据内力图的规律作图；作图步骤（1）求支座反力；（2）分段；（3）列出各段梁剪力方程和弯矩方程（4）画剪力图和弯矩图（5）确定最大剪力和最大弯矩及其所在的截面正应力、剪应力：Myσ

=Iz

<[σ]<

[w]QSτ

=

Ibzτmax

=

<

[τ]θmax

<

[θ]z*强度条件：刚度条件：σmax

=maxw3Q

4Qτ

=2A

3AAπD4

bh3I

=

z

64

,

12,1

d

2

w

M

dM

d

2M

dQp

=

dx2

=

EIz

dx

=

Q

dx2

=

dx

=

q.

求梁变形的方法：积分法，叠加法，能量法.

用积分法求梁变形的方法和步骤：

求支座反力，列弯矩方程

列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其逐次积分；

利用边界条件、连续条件确定积分常数；

建立转角方程和挠度方程；

求最大转角、最大挠度或指定截面的转角和挠度。––––––––––梁弯曲变形：δ=

计算挠度、转角等的能量方法，静不定梁的求解：1.按约束处的已知条件，列四个边界条件即可解析求解。2.

功能原理3.

卡氏定理

4.

莫尔积分W=VεW

=FjδjVε

=

)

dx

+

2

)

dx

+

dx))(x(x2EIM2GIT2(xx)2EAFN2(δ=FN

(

N

(x)

dx

+

T(

(x)

dx

+

M(x

(x)

dxEI)MIpTGx)AFEx)τc

=

sin

2c

+τx

cos

2c最大主应力，最小主应力，最大切应力：〈

=

±

(

）2

+

τmax

=

σ1

之

σ2

之

σ3xyτ2inaxmσmσl(应力状态

强度理论任意斜截面上的正应力和切应力(应力圆)σc

=

+cos

2c

-τx

sin

2cC

=30oC

=45oεx

=

εy

=

ε30o

=

ε45o=

平面应力状态下的应力-应变关系σ1

=

ε1

+

vε2

)σ2

=

ε2

+

vε1

)Yxy

=

τxy

/

G强度分析时1.

找危险面，2.

找危险点，3.是否属基本变形，是直接用单向强度理论；否（即组合加载时），找危险点处单元体的

主应力；4.选用强度理论，确定相应的相当应力；5.建立强度条件，进行强度校核、设计、计算。-

(

)

(

)

(

)

σ1

-

σ2

+221232σ

-

σ

+第四强度理论

:σr4

=第一强度理论

:σr1

=

σ1第二强度理论

:σr2

=

σ1

-

vσ3第三强度理论

:σr3

=

σ1

-

σ3σr

<

[σ

]σ3

-

σ1

2zA

Ψ斜弯组合变形组合变形M

y,max

Wy(

M

M)σc,max

=

-

|（

+

)|axaxWyy,mzmWz,M

z,max Wz+Fσ

=

t,maxσr4

=

<

[σ

]<

[σ

]<

[σ

]σ2

+

4τ2tσ2

+

3τ2t<

[σ

]M

2

+T2弯扭组合变形F注意拉压弯扭组合时强度公式的应用区别σ

=σ

=或3σ

=Wr4r3<<[σt

][σc

]P

PRr

τ=

+

A

GIpN

M=

+

max

A

WzN

M

max=

-A

Wz弯拉（压）、扭剪组合变形σ=

σN

+

σM

=土土

σc

maxσt

max压杆稳定临界力计算及安全校核：Pcr/P>nstλ=

μL

,

i

=

I

,

μ

=

0.5,

0.7,1,

2比较几何柔度与λp,λs的大小关系对于大柔度杆，用欧拉公式计算，即：临

界

力

:

Pcr

=

临

界

应

力

:

σ

cr

=

=

Pcr

对于中柔度杆，用经验公式计算，即：临界力

:临界应力Pcr

=

(a

-b

λ)A

:

σ

cr

=

a

-

b

λiAλ

A短粗杆细长杆中长杆λs安全系数法，其稳定条件为：nst

=>

[nst

]λ=

,

i

=

,

λp

=

π,

λs

=

π

大柔度杆：λ≥λp

，σcr

≤σp

，

按欧拉公式计算；中柔度杆：λs

≤λ<λp

，σcr>σp

，按直线型经验公式计算；小柔度杆：λ<

λs，σcr=σs

，

按强度问题处理。（1）根据压杆约束条件，确定长度系数μ（=1，0.5，0.7，2）（2）确定惯性矩，计算惯性半径（3）计算柔度值，选择Euler公式或直线或屈服/强度

极限等基本步骤：对于其它与上面相关的几何截面，可以通过

1.截面加减法计算；2.平行移轴定理计算；3.转轴定理计算πD4

bh3

I

=

z

64

,

12对于对称图形，

Ixy=0x

=IxC

+b2

AA

BdOIx1

=

Ix

cos2

C

+

Iy

sin2

C

一

Ixy

sin

2C惯性矩的平行移轴定理和转轴定理yIx图示结构中，水平梁为刚性梁，杆1和杆2的抗拉刚度相同，

均为EA，试求在力作用下杆1和杆2的轴力.F

2

lA

B

C

Dl

1

a

a

a

Δl2FN2FB

FΣMB=0FN1

·a

–F·a+FN2

·2a=0解：

1)计算各杆轴力(受力图如图)2)变形几何关系(超静定问题)

Δl2=2Δl13)物理关系

Δl

=

=

2

1l1AN1EF2lA2E2FNΣFy=0FB

+FN2–F·a-FN1

=0FN1

=1

F525N2F

=

FF

lE

AN2

N1F

=

2FN11

1FN1Δl11一螺栓将拉杆与厚为8㎜的两块盖板相连接。各零件材料相同，

许用应力均为[σ

]=80MPa

，[τ

]=60MPa

，

[σbs

]=

160MPa

。

若拉杆的厚度δ=16mm，拉力F=120kN，试设计螺栓直径d及拉

杆宽度b。解：

1)按拉伸强度要求设计拉杆的宽度轴力FN

=F,

强度条件为

σ

=

=

<

[σ

]b

=

δ

]

=

m

=

93.75mm2)按剪切强度要求设计螺栓的直径[σ

bs

]d

之螺栓所承受剪力Fs=F/2,

π

[τ

]=

m

=

35

.7mm2Fd

之

δ

bs

]

=

16

x

1

x

106

m

=

46.875mmd=47mm,b=94mm600311xx30013)按挤压强度要求FF

/

2

τ

=

s

=

A

πd

2

/4σ

bs

=

=

<设计螺栓的直径<

[τ

]空心圆轴的外径:d

之<

[τ

]1π

[τ

]316T=

3

16

x

71

.2

)m

=

46mm

π

[τ

](1

一

C4

)316T实心圆轴的直径:πD

(1

一

C4

)23解：轴所传递的扭矩τ

max

=

=

<

[τ

]=

3

.

6

m

=

45mm02160x714xx6π1实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转

速每分钟100转，传递的功率7.5kW，材料的许用应力40MPa。

试选择实心轴的直径和内外径比值为1/2的空心轴的外径.16T空心圆轴的强度条件T=

9549

=

9549x

=

716.2(N.

m)实心圆轴的强度条件π

x

40

x

106

x

1

一

0.54τmax

=D

之WTt

2=2xF

0y=+

FD

一

qa

一

q根

2a

=

0根

3a

一

qa

根

a

一

2qa

根

a

=

0解得：FA

=

qa

FD

=

2qaΣΣ=MD

0

FA解：

(1)

约束力FA

、FBFAqa32qa22qaQFAMqaqa2FDx作图示简支梁的剪力图和弯矩图.Σ

MA

=

0解得：

FAy解：

(1)

作M图，

确定危险截面a.先求支反力FA

+

FB

一

F1

一

F2

=

0F1

X

1一

FB

X

2+

F2

X

3

=

0=

3.75

kN

F

=

12.75

kNzb.作弯矩图如图示FBΣ

Fy

=

0y2

y1-最大正弯矩在截面C

M

C

=

3.75kN

.

m最大负弯矩在截面B

=

4.5kN

.

mM(kN·m)xA/

C

B

DA

C

B

DF21m1m1mT形截面铸铁梁受力如图，许用拉应力[σt]=40MPa

，许用压应力[σc]=160MPa，已知：

F1=12kN,F2=4.5kN,Iz=765cm4,y1=52mm,y2=88mm

。试校核梁的弯曲正应力强度.F1

F2MBFA3.75F14.5+ByFA

FBF1

F2Iz=765cm4,y1=52mm,y2=88mmA

C

B

D-z=

43.14MPa

>

[

σ

t

]4.5xM

B

y1Iz=

51.76MPa

<

[

σ

c

]1m1m1mσ

t

max

=σ

c

max

=σ

c

max

=M

c

y1Iz综上:梁在C截面处不安全B截面（上拉下压）C截面（上压下拉）σ

t

max

==

30

.59

MPa<

[

σ

t

]M

B

y2IzM

C

y

2Iz=

25.49MPa

<

[

σ

c

]M(kN·m)(2)校核梁的强度y2

y13.75+图示钢制实心圆轴,其齿轮C上作用铅直切向力5KN,径向力1.82KN,

齿轮D上作用有水平切向力10KN，径向力3.64KN。齿轮C的直径dC=400mm，齿轮D直径dD=200mm。圆轴的许用应力

试按第四强度理论求轴的直径。[σ

]

=

100MPa受力简图求出支座反力解：载荷的简化，作受力图T内力分析画出内力图如图从内力图分析，

B截面为危险截面。

B截面上的内力为：扭矩：

T

=

1KN

.

m弯矩：〈

.

m合成弯矩为：MB

=

M

+

M=

1.06KN

.

my2z2mKN=

1KN=

0.364yzMMCA0.567KN·mT0.364KN·mD解出：

d=51.9mmMyD1[σ

]D1D2可得：M、M

2

+

0.75T2按第四强度理论求所需直径σr4

=

M

2

+

0.75T2

<[σ

]=

W

之讨论：危险点的位置（合成弯矩）MzD2πd332铸铁T型梁的载荷及横截面尺寸如图所示，

C为截面形心。已知Iz=60125000mm4，yC=157.5mm，材料许用压应力[σc]=100MPa

，

许用拉应力[σt]=40MPa。试求：①画梁的剪力图、弯矩图。②按

正应力强度条件校核梁的强度。解：①求支座约束力，作剪力图、弯矩图ΣMB

(F)

=

0

:

10根

2根1一

20根3

+

FD

根

4

=

0Σ

Fy

=

0

:

FB

+

FD

一

10根2

一

20=

0解得：

FB

=

30kN

FD

=

10

kNC截面tmax

I

60125000会10-12

tzσ

=

MCy1

=

10会10

会157.5会10

=

26.2MPa

<[σ

]3-3压应力强度校核（经分析最大压应力在B截面）σcmax

=

y1

=2

5

=

52.4MPa<[σc

]所以梁的强度满足要求-3200-1会100会1157.50会20311600会IzMBσtmax

=

y2

=

2

=

24.1MPa

<[σt

]3120-0-会10125000会1会103会72.560②梁的强度校核y1

=157.5m

m

y2

=

230-157.5

=

72.5mm拉应力强度校核B截面A

BB10

mFAY

=

72

kN

FCY

=

148kN2

m2

m

8

mF

AY

=72

kNFAY

=

72kNCkN

.

m16020

kNkN

.

m20kN2

m160ADC

2m

2m

EMe=2kN

·mCq=2kN/m2mAB如图所示结构，杆AB横截面面积A=21.5cm2

，抗弯截面模量Wz=102cm3

，材料的许用应力[σ]=180MPa。圆截面杆CD，其直径d=20mm，材料的弹性模量E=200GPa

，σs=250MPa，σp=200MPa

，λ

1=100

，λ2=50，如果压杆不为细长杆时采用直

线拟合。A

、C

、D三处均为球铰约束，若已知：

l1=1.25m，l2=0.55m

，F=25kN，稳定安全系数[n]st=1.8，校核此结构是否安全。π2

E=

σ

A=

A==5mm1会

0.55=

5会10-3解：

（1）

计算CD杆的临界压力π2

Eσcr

=

λ2

=

110所以

CD杆为大柔度杆用欧拉公式计算临界压应力和临界压力1cr

λ2会

43.142

会

200

会1091102,3.14

会

202λ>

λdi

=

4λ=

=51KN会10

-6PcrMF125根103

253根103Zσ=

max

+

N

=

+=163.2MPa

max

WA

8根102

根10一6

2

根

21.5根10一4σmax

=

163.2MPa<[σ]

=

180MPa梁强度足够

压杆稳定性足够=2.05>[nst

]

=1.8ΣMA

=

0Fsin

30根

2l1

=

TCl1TC

=25KN2.AB杆平衡有得AB杆拉弯组合变形，弯矩图和轴力图下图所示AB杆最大拉应力P

51cr=T

25c3

．校核梁的静位移为：Δst

=

I

∫

Qxxdx+

I

l

Qx

xdx+

=

动荷系数C点的动挠度EIQl3959EIQl33131E132320lE12h

1+ΔstK

=

1+5Ql3

+18EIh5Ql3解：弹簧引起的静位移为重为Q的物体从高度h处自由落下，若已知梁的抗弯刚度为EI，支座的弹簧刚度为k（产生单位长度变形所需的力），且

k=EI/l3

，试求C点冲击挠度=1+δ

=

1

根

Q

=

Ql3

3

3K

9EIΔ

d

=Kd

Δst

=

||（(1+

5Ql

EIh

38Ql+153EIQl395d

d

ABr45Mea如果F换成拉伸呢？已知圆轴直径d=20mm，在其上边缘A点处测得纵向线应变ε0o=400x10-6

，在水平