经济预测与决策（第2版）课件 第4、5章 传统时间序列预测、随机时间序列预测

1第四章传统时间序列预测

时间序列是以时间顺序记录下来的一系列数据。因为时间单位不同，在一年中记录的数据频次不同。通常以年、季、月记录的数据，在一年的时间里出现的次数不多，称为低频数据；以周、日等记录的数据为高频数据；日内记录的数据，如分钟或小时，为超高频数据。2

传统时间序列模型的基本形式

长期趋势(SecularTrend)，事物在一段时间内表现的一种变动倾向；季节变动(SeasonalVariation)，事物被季节性规律作用产生的周期性变化。季节性规律可能是自然的，也可能是人为的。周期通常为一年(4个季或12个月)；循环变动(CyclicalVariation)，事物周期长短不固定的一种变化，周期通常为数年；不规则(IrregularVariation)，无规律可循的一种变化，也被称为随机变动或残差变动。数据=f(趋势，季节，循环)+误差3

一、趋势外推预测

趋势模型一般形式

其中，t是时间顺序号，取自然数，如时间从1952年开始，则t以1952年为1，1953年为2，按顺序依次赋值。

时间序列呈现某种上升或下降的趋势，且无明显的季节波动时，可以用时间t综合替代所有影响因素，即以时间t为自变量，时序数值Y为因变量，建立趋势模型。Y=f(t)4

（一）模型形式

直线趋势

非线性趋势

有增长上限的曲线趋势模型

修正指数曲线模型

龚珀兹曲线模型

皮尔曲线模型6（二）模型识别

——

图形识别法

从实际数据出发，选择模型的方法。将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的曲线图，观察其变化并与各类函数曲线模型的图形进行比较，选择较为适宜的模型。一般初选几个模型，通过模型分析后再确认合适的模型。7

（三）参数计算

——最小二乘法

直线模型本身就是反映序列与时间t的线性关系，将自变量Ｘ换为时间t即可估计。对于曲线形式的模型，类似前一章，可以通过变换使其线性化，也可以运用最小二乘估计。

8

（四）模型分析与评价

1.模型检验

采用最小二乘法估计参数，必须按照回归分析中的要求，对模型进行检验，包括参数的显著性检验、回归方程显著性检验、残差独立性检验、拟合优度检验。

2.对历史数据拟合的分析直观判断法

图、表误差分析法MAPE3.对未来趋势反映的分析

对序列近期趋势的反映

试预测

例4.1

9

（四）模型分析与评价

1.模型检验

采用最小二乘法估计参数，必须按照回归分析中的要求，对模型进行检验，包括参数的显著性检验、回归方程显著性检验、残差独立性检验、拟合优度检验。

2.对历史数据拟合的分析直观判断法

图、表误差分析法MAPE3.对未来趋势反映的分析近期趋势的反映

直观判断

误差分析试预测预测结果的可能性分析10

二、平滑预测（一）移动平均预测

1.简单平均法选择前期作为试验数据，计算平均值用以测定+1期数值，即

式中，为前期的平均值，为+1期的估计值，也就是预测值。

特点

不足=/=11

2.简单移动平均法

移动平均法是对简单平均法加以改进的预测方法。它保持平均的期数不变，总是为期，而使所求的平均值随时间变化不断移动。

这是一个递推形式，是平均的期数亦即移动步长。

的作用:平滑数据====12

从上面的式子可以看出下面的关系

也可以改写成

式中就是T+1时刻的实际值与预测值之差即误差。所以，简单移动平均预测实际上是通过当期预测误差修正当期预测值得到下一期的预测值。

特点不足例4.2===++

13

3.加权移动平均法

简单移动平均法将被平均的各期数值对预测值的作用同等看待。实际上，近期的数值往往影响较大，远离预测期的数值作用会小些。加权移动平均法正是基于这一思想，对不同时期给以不同的权数来进行预测。

式中，权重；权重确定===1

14

（二）指数平滑法

1.一次指数平滑法

一次指数平滑也称作单指数平滑，简记为SES(SingleExponentialSmoothing)。

预测模型平滑常数的作用和选择

取值接近于1时，各期历史数据的作用迅速衰减，近期数据作用最大。15

=0.1=0.3=0.5=0.90.1

0.09

0.081

0.0729

(0.1)·(0.9)4┇0.3

0.21

0.147

0.1029

(0.3)·(0.7)4┇0.5

0.25

0.125

0.0625

(0.5)·(0.5)4┇0.9

0.09

0.009

0.0009

(0.9)·(0.1)4┇不同值的作用

16

无论平滑常数

（0<<1）取值为多大，其随时间的变化呈现为一条衰减的指数函数曲线，即随着时间向过去推移各期实际值对预测值的影响按指数规律递减。

初始值的选取

一次指数平滑预测模型是一个递推形式，因此需要有一个开始给定的值。这个值就是指数平滑的初始值。一般可以选取第一期的实际观测值或前几期观测值的平均值作为初始值。特点适用于较为平稳的序列

不足滞后例4.317

2.二次指数平滑法二次指数平滑也称作双重指数平滑（doubleexponentialsmoothing），它是对一次指数平滑值再进行一次平滑。二次指数平滑是用平滑值对时序的线性趋势进行修正，建立线性平滑模型进行预测。二次指数平滑也被称为线性指数平滑。

18

1．布朗(Brown)单一参数线性指数平滑

2．霍特(Holt)双参数指数平滑

例4.419

三、季节模型

季节变动，是指客观事物由于自然条件、生产条件和生活习惯等因素的影响，随着季节的转变而呈现的周期性变动，这种周期通常为1年，或说12个月、4个季度。

时间序列的季节变动往往并不单独存在，而是伴随趋势变动存在。对于含有季节变动的时间序列，可以建立季节模型加以预测。20

（一）季节趋势乘法模型1.模型形式

=（a+bt）*（i=1，2，……，T）

式中，

=（a+bt）为趋势部分，可以是线性也可以是非线性；

为季节指数；

T为季节周期的长度212.适用条件：适用于既有季节变动，又有趋势变动且波动幅度不断变化的时间序列

3.建模：建立趋势方程求各期趋势值求样本季节指数求理论季节指数

例4.522

（二）季节趋势加法模型1.模型形式

=（a+bt）+

（i=1，2，……，T）

式中，=（a+bt）为趋势部分，可以是线性，也可以非线性； 为季节增量；

T为季节周期的长度。

232.适用条件适用于既有季节变动，又有趋势变动且波动幅度基本不变化的时间序列

3.建模建立趋势方程求各期趋势值求样本季节增量求理论季节增量例4.6

24第五章随机时间序列预测

一、概述（一）模型的引进多元线性回归自回归移动平均模型简单平均：序列平稳围绕均值波动

==

==25移动平均：近期数据对预测的影响更重要

加进新数据，则删除远离现在的数据

==

==T的作用：平滑数据T的取值：自然数

数值大小对结果的影响

26=+（）

=+

以均值替代有

特点：利用误差修正，调整前期预测值

跟踪数据变化时间序列可以用过去的误差项表出

=++……++

27（二）自相关函数

1.

自相关含义时间序列诸项之间的简单相关

2.自相关系数计算公式式中：n为样本数据个数；k为滞后期；

为样本数据平均值。28自相关系数与简单相关系数一样，取值范围为[-1,+1]。其绝对值越接近于1，表明自相关程度越高。

最大滞后阶数k取、、，n为观测数据的个数。

3.自相关分析图29时序编号(t)原序列

滞后一阶序列

滞后二阶序列

YtYt-1Yt-212345678910平均值()13--813-1581341584415124411124711121471112147

1030r1=-0.188,r2=-0.201,说明序列每相邻两项之间，每隔一项之间有极弱的负相关，甚至可以忽略，认为他们几乎无关。31

（三）偏自相关

含义：时间序列，在给定了，，……，的条件下，与之间的条件相关。

偏自相关系数：

32计算公式其中，

取值同自相关系数，在正负1之间

33如已知某时间序列滞后四期的自相关系数分别为r1=0.8674，r2=0.7728,r3=0.7157,r4=0.6478,计算偏自相关系数。34结果表明，序列Yt和Yt-1有较强的关系，滞后期加大，相关程度迅速减弱。35

二、时序特性的分析

1.随机性的测定

若一个时间序列由完全随机的数字构成，那么这个序列的各项之间不会有任何相关关系，序列为纯随机序列，即完全随机的序列。纯随机序列中不会存在任何模型。

测定时序的随机性，可以根据经验方法也可以运用统计检验。

经验方法是依据时序的自相关系数。时序的自相关系数基本落入随机区间，该时间序列为纯随机序列；有较多自相关系数落入随机区间外，时间序列就是非纯随机序列。362.时序的平稳性（1）平稳的含义和判定

描述性定义：如果一个时间序列的统计特征不随时间推移而变化，即满足下面两个条件：

对于任意的时间t，其均值恒为一常数；

对于任意的时间t和s，其自相关系数只与时间间隔t-s有关，而与t和s的起始点无关,则被称为平稳时间序列。

自相关的特点：自相关系数在K等于2或3后迅速趋于零。37平稳时间序列曲线图非平稳时间序列曲线图39时序趋势的消除

非平稳性能够被消除的时间序列称为齐次非平稳时间序列。

一阶差分（逐期、短差）二阶差分

▽Yt=Yt-Yt-1(t＞1)▽(▽Yt)=▽2Yt=▽(Yt-Yt-1)=▽Yt-▽Yt-1=Yt-2Yt-1-Yt-2(t＞2)403.时序的季节性识别

含义：季节性是指时间序列在某一固定时间间隔上，重复出现前面的某种特性。这种规律通常由于季节变化所引起，称具有这种特性的时间序列为季节性序列。时间序列的季节周期常用的时间单位是月、季。

识别：自相关系数与0的显著性差异

查看时滞k=12，24，36，···时的自相关系数；

k=4，8，12，···时的自相关系数。

41汗衫背心零售量时序图42季节性消除：时序的季节性也可以通过差分的方法加以消除。注意差分步长

一阶季节差分（月度）二阶季节差分

43我国社会消费品零售总额序列曲线图44一阶差分后序列曲线图一阶季节差分后序列曲线图46

三、ARMA模型及其改进

1.自回归模型

AR（p）模型的一般形式模型参数约束条件=0的所有根都在单位园外。

==047AR(p)序列的自相关和偏自相关

：拖尾性：48：截尾性

49

2.移动平均模型

MA(q)

模型的一般形式

=50

MA(q)序列的自相关和偏自相关

截尾性：

51

：拖尾性523.自回归移动平均混合模型

ARMA(p,q)

模型的一般形式

53

ARMA(p,q)序列的自相关和偏自相关

544.ARMA模型的改进

ARIMA（p，d，q）模型模型形式或ARIMA（1，1，1）也可以写成

55

模型

模型形式其中，是季节自回归算子，P是季节自回归阶数；是季节移动平均算子，Q是季节移动平均阶数；D是季节差分阶数；s是季节周期长度。ARIMA（1，1，1）也可以写成

56

模型模型形式或ARIMA（1，1，1）