材料力学：第五章 弯曲应力

1第五章弯曲应力材料力学2§5–1引言§5–2平面弯曲时梁横截面上的正应力§5–3梁横截面上的剪应力§5–4梁的正应力和剪应力强度条件

梁的合理截面§5–5非对称截面梁的平面弯曲

开口薄壁截面的弯曲中心§5–6如何提高梁的承载能力第五章弯曲应力§5–7考虑材料塑性时的极限弯矩§5－１引言弯曲应力1、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q

剪应力t弯矩M

正应力s平面弯曲时横截面s纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)弯曲应力2、研究方法纵向对称面P1P2例如：

某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。弯曲应力PPaaABQMxx纯弯曲(PureBending):PPPa§5－2平面弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验

横向线(ab、cd）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：一、

纯弯曲时梁横截面上的正应力弯曲应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM

横截面上只有正应力。

平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。

（可由对称性及无限分割法证明）3.推论弯曲应力2.两个概念

中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。

中性轴：中性层与横截面的交线。A1B1O1O4.几何方程：

弯曲应力abcdABdqrxy)))OO1)

（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。弯曲应力sxsx（三）静力学关系：弯曲应力（对称面）……(3)EIz杆的抗弯刚度。（四）最大正应力弯曲应力……(5)（五）公式的应用1.可用于非纯弯曲的情况，条件是：2.应用时一般按各量的绝对值计算出结果，再根据梁的变形情况和点在截面的位置，确定应力的符号。

zxIMy=s弯曲应力如例1受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径。弯曲应力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：

画M图求截面弯矩30弯曲应力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy

求应力18030（压应力）

求曲率半径弯曲应力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax121201803016弯曲应力maxyIWzz=已知悬臂梁由28a槽钢制成，P=0.5kN，q=1kN/m，L=2m，求梁的最大拉应力和最大压应力。弯曲应力（六）惯性矩、抗弯截面模量的计算①按定义：maxyIWzz=②查表：③组合截面法：18弯曲应力①按定义：

例

求图示矩形截面对于对称轴x和y的惯性矩。dA=bdy

同理，

取微面积

19弯曲应力

例

求图示圆形截面对于对称轴x和y的惯性矩。取微面积

利用圆的对称性

20弯曲应力

例

求图示圆形截面对于对称轴x和y的惯性矩。利用圆的对称性

还可以怎样求？②查表：21弯曲应力③组合截面法：

工程中常遇到由几个简单图形组成的组合截面。根据惯性矩的定义可推知，这种截面对某轴的惯性矩应等于各部分对该轴的惯性矩之和，即22弯曲应力平行移轴公式y=yC+a23弯曲应力

例

求图示槽形截面对水平形心轴x的惯性矩。

(1)确定形心位置：=317mm

(2)计算惯性矩Ix：yCⅠ=450mm，yCⅡ=200mmaⅠ=yCⅠ-yC=450-317=133mmaⅡ=yCⅡ-yC=200-317=-117mm24弯曲应力

(2)计算惯性矩Ix：(Ix)Ⅰ=(IxC

)Ⅰ+aⅠ2AⅠ=648×106mm4

(Ix)Ⅱ=(IxC

)Ⅱ+aⅡ2AⅡ

=541×106mm4

最后可得

Ix=648×106+2×541×106=1730×106mm425弯曲应力课堂练习弯曲应力DdDd=abBhH矩形－常见图形§5－3梁横截面上的剪应力一、

矩形截面梁横截面上的剪应力1、两点假设：

①剪应力与剪力平行；

②矩中性轴等距离处，剪应力

相等。2、研究方法：分离体平衡。

①在梁上取微段如图b；

②在微段上取一块如图c，平衡弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c弯曲应力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c由剪应力互等弯曲应力Qt方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它截面梁横截面上的剪应力1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；2、几种常见截面的最大弯曲剪应力

弯曲应力Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b

为y点处截面宽度。①工字钢截面：;»maxAQtf结论：翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。

铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字钢最大剪应力Af—腹板的面积。;»maxAQtf31

②圆截面：③薄壁圆环：弯曲应力

④槽钢：弯曲应力exyzPQeQeh33

弯曲应力

例

由三块木板胶合而成的悬臂梁如图所示。试求胶合面上的总的剪力。S

=100×50×(75－)=25×104mm3=25×10-5m3=0.267MPaQ′=0.267×106×100×10-3×1000×10-3=26700N=26.7kN§5-4

梁的正应力和剪应力强度条件•

梁的合理截面1、危险面与危险点分析：①一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。弯曲应力QtsssMt一、梁的正应力和剪应力强度条件2、正应力和剪应力强度条件：②带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）弯曲应力3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：sMQtts4、需要校核剪应力的几种特殊情况：②铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。①梁的跨度较短，M

较小，而Q较大时，要校核剪应力。③各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：①校核强度：②设计截面尺寸：③设计载荷：弯曲应力解：

画内力图求危面内力例2矩形(b

h=0.12m0.18m）截面木梁如图，[

]=7MPa，[

]=0.9MPa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。弯曲应力q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x

求最大应力并校核强度

应力之比弯曲应力q=3.6kN/mxM+Q–+x39弯曲应力

例

简支梁AB如图所示。l=2m，a=0.2m。梁上的载荷为q=10kN/m，FP=200kN。材料的许用应力为[σ]=160MPa，[τ]=100MPa。试选择适用的工字钢型号。

解：计算梁的约束力，作剪力图和弯矩图。先根据最大弯矩选择工字钢型号。

查型钢表，选用22a工字钢，其。40弯曲应力。校核梁的切应力。

由表中查出

腹板宽度d=0.75cm。现以25b工字钢进行试算。

应选用型号为25b的工字钢。

y1y2GA1A2A3A4解：

画弯矩图并求危面内力例3T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[

L]=30MPa，[

y]=60MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？4弯曲应力

画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM

校核强度

T字头在上面合理。弯曲应力y1y2GA1A2x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4A4A3⊕○43二、提高梁的承载能力的措施a.强度：正应力：剪应力：b.刚度：c.稳定性：都与内力和截面性质有关。弯曲变形44弯曲变形1.选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著«营造法式

»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b)为1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义

»一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为Rbh45一般的合理截面弯曲变形①在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zD1zaa46弯曲变形zD0.8Da12a1z47弯曲变形工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z48弯曲变形②根据材料特性选择截面形状sGz如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：49弯曲变形2.采用变截面梁最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时Px50弯曲变形3.合理布置外力（包括支座），使M

max

尽可能小。PL/2L/2Mx+PL/4P=qLL/54L/5对称PL/43L/4Mx3PL/16+MxqL2/10+51弯曲变形qLL/5qL/5qL/2L/2Mx+402qL502qL-Mx-+-322qL-Mx++-524.梁的侧向屈曲①.矩形纯弯梁的临界载荷弯曲变形LMMxyz53②.工字钢形截面纯弯梁的临界载荷弯曲变形LMMxyzh

由上可见，Iy过小时，虽然强度和刚度较高，但侧向失稳的可能性却增大了，这点应引起注意。§5-5

非对称截面梁的平面弯曲•

开口薄壁截面的弯曲中心几何方程与物理方程不变。弯曲应力PxyzO依此确定正应力计算公式。剪应力研究方法与公式形式不变。弯曲应力弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。（如前述坐标原点O）PxyzO槽钢：弯曲应力非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。exyzPPsMQe弯曲中心的确定:(1)双对称轴截面，弯心与形心重合。(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。(3)若截面