《微积分（第4版）》 课件 第2章 极限与连续

1线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分高等学校经济管理学科数学基础第二章极限与连续第一节数列的极限第二节函数的极限第三节无穷小与无穷大第四节极限的运算法则第五节两个重要极限第六节无穷小的比较第七节函数的连续性

第一节数列的极限一、数列的概念二、数列的极限三、数列极限存在准则问题导言——极限思想方法的历史渊源第一节数列的极限

自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化的过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限思想和极限概念产生的客观基础.

极限思想的渊远流源,早在2500年前就已产生.

古希腊伟大数学家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用穷竭法解决过曲边三角形的面积.

公元三世纪,我国古代数学家刘徽在其所著的《九章算术》中增用割圆术解决了圆的面积.这些方法中都已渗透着极限的思想.刘徽割圆术阿基米德穷竭法xoy一、数列的概念定义按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列.通常称为数列的第一项,为第二项，将第n项称为通项或一般项.数列可以简记为.例数列可以理解为关于正整数n的函数，因此,数列又称为整变量函数,其定义域是正整数集.数列的几何表示(1)用数轴上的点列表示数列.数列与函数的关系(2)用坐标面上的点表示数列.单调增加的.单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.单调减少的.例定义在数轴上,单调增加的数列是自左向右依次排列的点列.单调减少的数列是自右向左依次排列的点列.

定义对于数列,若存在正数M,使得对于一切的n都有成立,则称数列是有界的,否则称是无界的.例为有界数列.在数轴上,对有界数列表示的点列全部落在某一区间[－M，M]之内,表示无界数列的点列,无论区间[－M，M]多么长,总有落在该区间之外的点.圆内接正多边形的面积数列

1.割圆术我国古代数学家刘徽在九章算术关于圆的面积计算中提到:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”圆内接正六边形的面积圆内接正十二边形的面积圆内接正边形的面积二、数列极限问题引例2.截丈问题我国古代著名的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论断,就是数列极限思想的体现.变化趋势观察下列数列的变化趋势.三、数列的极限数列的变化趋势,可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.(3)当n无限增大时，没有确定的变化趋势.

(2)当n无限增大时，无限接近于0.(1)当n无限增大时，无限接近于1.数列的变化趋势(4)当n无限增大时，无限增大.

定义设数列,若当n无限地增大时,

无限趋近于某一确定常数A,则称常数A为数列在n趋于无穷大时的极限.记为观察几何图形可知下述数列的极限四、收敛数列的性质定理(唯一性)

若数列收敛,则其极限唯一.定理

(有界性)

收敛数列必有界.

例数列是有界的,而是发散的.说明:(1)无界数列一定是发散的.(2)数列有界是数列收敛的必要条件,但非充分条件.定理

（单调有界原理）

单调有界数列必有极限.例

设

观察数列的极限

由数据和图形观察数列的变化趋势123510100100010000…22.252.372.4882.5942.7052.7172.718…可以看出，当时，数列变化的大致趋势是单调递增，且，可以证明

数e是一个无理数18线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分高等学校经济管理学科数学基础中国人民大学出版社第二章极限与连续第一节数列的极限第二节函数的极限第三节无穷小与无穷大第四节极限的运算法则第五节两个重要极限第六节无穷小的比较第七节函数的连续性

第一节数列的极限一、数列的概念二、数列的极限三、数列极限存在准则问题导言——极限思想方法的历史渊源第一节数列的极限

自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化的过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限思想和极限概念产生的客观基础.

极限思想的渊远流源,早在2500年前就已产生.

古希腊伟大数学家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用穷竭法解决过曲边三角形的面积.

公元三世纪,我国古代数学家刘徽在其所著的《九章算术》中增用割圆术解决了圆的面积.这些方法中都已渗透着极限的思想.刘徽割圆术阿基米德穷竭法xoy一、数列的概念定义按一定顺序排列起来的无穷多个数称为数列.通常称为数列的第一项,为第二项，将第n项称为通项或一般项.数列可以简记为.例数列可以理解为关于正整数n的函数，因此,数列又称为整变量函数,其定义域是正整数集.数列的几何表示(1)用数轴上的点列表示数列.数列与函数的关系(2)用坐标面上的点表示数列.单调增加的.单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.单调减少的.例定义在数轴上,单调增加的数列是自左向右依次排列的点列.单调减少的数列是自右向左依次排列的点列.

定义对于数列,若存在正数M,使得对于一切的n都有成立,则称数列是有界的,否则称是无界的.例为有界数列.在数轴上,对有界数列表示的点列全部落在某一区间[－M，M]之内,表示无界数列的点列,无论区间[－M，M]多么长,总有落在该区间之外的点.圆内接正多边形的面积数列

1.割圆术我国古代数学家刘徽在九章算术关于圆的面积计算中提到:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”圆内接正六边形的面积圆内接正十二边形的面积圆内接正边形的面积二、数列极限问题引例2.截丈问题我国古代著名的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论断,就是数列极限思想的体现.变化趋势观察下列数列的变化趋势.三、数列的极限数列的变化趋势,可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.(3)当n无限增大时，没有确定的变化趋势.

(2)当n无限增大时，无限接近于0.(1)当n无限增大时，无限接近于1.数列的变化趋势(4)当n无限增大时，无限增大.

定义设数列,若当n无限地增大时,

无限趋近于某一确定常数A,则称常数A为数列在n趋于无穷大时的极限.记为观察几何图形可知下述数列的极限数列极限定义的精确化数列极限定义用逻辑语言表述为：注：正数具有任意性和给定性，它是用于衡量与A接近程度的.极限定义的几何意义当时，所有点全部落在区间内，只有有限多个（最多N个）点落在区间之外.当n无限增大时，区间向点A无限收缩，介于区间

内的点就向A无限趋近.例

证明分析

因为对于任意给定，要使，只要即即可.证明对于任意给定，取所以例

证明证明由于所以因此，要使只要即，于是对于任意给定，取四、收敛数列的性质定理(唯一性)

若数列收敛,则其极限唯一.定理

(有界性)

收敛数列必有界.

例数列是有界的,而是发散的.说明:(1)无界数列一定是发散的.(2)数列有界是数列收敛的必要条件,但非充分条件.定理

（单调有界原理）

单调有界数列必有极限.单调有界准则

单调有界数列必有极限.准则的几何解释:在数轴上,对应于单调数列的点列只能从开始向一个方向排列,所以只有两种可能情况：或者点列沿数轴移向无穷远处(此时发散)；或者点列无限趋近于某一个定点a(常数)，也就是以A为极限.因此,对有界数列必有极限.例

设

观察数列的极限

由数据和图形观察数列的变化趋势123510100100010000…22.252.372.4882.5942.7052.7172.718…可以看出，当时，数列变化的大致趋势是单调递增，且可以证明

数e是一个无理数第二章极限与连续第二节函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、单侧极限四、函数极限的性质在此可理解为一、自变量趋于无穷大时函数的极限对比数列极限的定义，给出下面函数极限的定义.

自变量趋于无穷大时的几种形式第二节函数的极限定义设函数f(x)在上有定义,A为一个常数.若当

无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.记为xyO几何意义类似的可以定义极限定理设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限减小时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.由图形可知下列基本初等函数的极限

定义

若当（或）时，（C

为常数），即，则称曲线有水平渐近线.例由知为曲线的水平渐近线.二、自变量趋向有限值时函数的极限

自变量趋于有限值时的几种形式自变量趋向有限值分为以下几种形式考察函数当自变量

时的变化趋势.函数变化数据表如下从上述图表中可以看出,当自变量时,x0.50.90.991.011.11.5f

(x)1.51.91.992.012.12.5再考察函数当自变量

的变化趋势.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5从上述图表中可以看出,当自变量时,上述两例说明：处没有定义.处有定义.而当时，都有相同的变化趋势.通常称当存在极限值2.

定义对于函数在附近有定义(在处可以有定义也可以无定义）若在的过程中,对应的函数值f(x)无限趋近于确定的数值A,则称A

是函数当时的极限.说明：由定义知极限与函数在点的状况（是否有定义;或有定义时,是否等于A）是无关的.xy由基本初等函数图像可知下列极限成立.在的定义中,若只考虑x从的某一侧(从小于的一侧或从大于的一侧)趋近于时f(x)的变化趋势,则有左极限和右极限的概念.类似可定义左极限定义设函数f(x)在内有定义，A为常数.若当x从的右侧(大于的一侧)趋近于时,f(x)无限趋近常数A,则称f(x)在处的右极限为A.记为三、单侧极限左极限和右极限统称为单侧极限.根据时函数f(x)的极限定义、左极限和右极限的定义,可以得到下面的结论.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左极限右极限对于分段函数在分段点处是否存在极限通常用此定理进行讨论.函数f(x)在点x=0处的左、右极限都存,在但不相等.所以极限不存在.例解四、函数极限的性质定理(唯一性)定理(局部有界性)定理（保号性）定理（保序性）第二章极限与连续第二节函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、单侧极限四、函数极限的性质在此可理解为一、自变量趋于无穷大时函数的极限对比数列极限的定义，给出下面函数极限的定义.

自变量趋于无穷大时的几种形式第二节函数的极限定义设函数f(x)在上有定义,A为一个常数.若当

无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.记为定义

极限定义的几何意义：对任意给定的正数，在直线的上、下方各作一直线，则存在使得在区间与内函数的图形全部落在这两条直线之间.xyO59例

证明证明所以对于任意给定，由于即取则当有类似的可以定义极限定理设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限增大时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.设f(x)在内有定义,A为常数.若当x无限减小时,函数f(x)无限趋近常数A,则称函数f(x)当以A为极限.由图形可知下列基本初等函数的极限

定义

若当（或）时，（C

为常数），即，则称曲线有水平渐近线.例由知为曲线的水平渐近线.二、自变量趋向有限值时函数的极限

自变量趋于有限值时的几种形式自变量趋向有限值分为以下几种形式考察函数当自变量

时的变化趋势.函数变化数据表如下从上述图表中可以看出,当自变量时,x0.50.90.991.011.11.5f

(x)1.51.91.992.012.12.5再考察函数当自变量

的变化趋势.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5从上述图表中可以看出,当自变量时,上述两例说明：处没有定义.处有定义.而当时，都有相同的变化趋势.通常称当存在极限值2.

定义对于函数在附近有定义(在处可以有定义也可以无定义）若在的过程中,对应的函数值f(x)无限趋近于确定的数值A,则称A

是函数当时的极限.记为说明：由定义知极限与函数在点的状况（是否有定义;或有定义时,是否等于A）是无关的.xy66函数极限定义的精确化定义函数极限定义可以简述为68

极限定义的几何意义：对任意给定的正数，在直线的上、下方各作一直线，则存在使得在区间与内函数的图形全部落在这两条直线之间.xyxy69例

证明证明所以对于任意给定，当时，为使即取则当时，有由基本初等函数图像可知下列极限成立.在的定义中,若只考虑x从的某一侧(从小于的一侧或从大于的一侧)趋近于时f(x)的变化趋势,则有左极限和右极限的概念.类似可定义左极限定义设函数f(x)在内有定义，A为常数.若当x从的右侧(大于的一侧)趋近于时,f(x)无限趋近常数A,则称f(x)在处的右极限为A.记为三、单侧极限左极限和右极限统称为单侧极限.根据时函数f(x)的极限定义、左极限和右极限的定义,可以得到下面的结论.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左极限右极限对于分段函数在分段点处是否存在极限通常用此定理进行讨论.函数f(x)在点x=0处的左、右极限都存,在但不相等.所以极限不存在.例解四、函数极限的性质定理(唯一性)证明定理(局部有界性)证明定理（保号性）证明类似的可以证明情形定理（保序性）证明第二章极限与连续第三节无穷小与无穷大一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小量第三节无穷小与无穷大注意无穷小量是在某一过程中,以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数.0是可以作为无穷小量的唯一的一个数.定义若则称

是极限过程下的无穷小量，简称无穷小.1.无穷小量的定义

1.要指明自变量的变化过程(如)；说明:在确定一个量是否为无穷小量应注意2.在这个过程中,函数f(x)以0为极限.例例2.极限与无穷小量的关系证(必要性)定理

例

当时，将函数写成其极限值与一个无穷小量之和的形式．解所以，为所求极限值与一个无穷小量之和的形式．

无穷小与微积分无穷小量在建立微积分时具有基础性的地位，早期的微积分常称为无穷小分析.在17世纪下半叶微积分创立以后，微积分在解决过去无法解决的许多实际问题中显示了巨大的威力，但由于当时还没有建立起严密的极限理论，在实际应用中常常将无穷小时而变成0，时而又说不是0，显得很“神秘”，难以捉摸，甚至微积分的主要创立者牛顿，也难以摆脱由无穷小引起的概念上的混乱，因此，微积分的“神秘性”受到了唯心主义哲学家们的猛烈攻击，嘲笑无穷小是“逝去的鬼魂”.引起了数学史上著名的“第二次数学危机”.为了微积分的健康发展，也为了摆脱这种危机，以及克服由于没有严格的极限理论而导致的一些混乱，许多数学家在为微积分建立严密的理论基础方面做出了许多工作.性质1

有限个无穷小的代数和仍为无穷小.性质2

有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.推论常量与无穷小之积为无穷小.性质3

有限个无穷小之积为无穷小.3.无穷小的性质注意:无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.注意：两个无穷小之商未必是无穷小.解例定义设函数f(x)在的某去心邻域内有定义.若当时,无限增大,则称f(x)当时为无穷大量，简称无穷大，并且记为二、无穷大

若当时,(或)无限增大,则称f(x)当时为正无穷大(或负无穷大),记为

无穷大的几点说明：

1.函数f(x)当时为无穷大,则极限是不存在的.简记为

2.无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量,不是绝对值很大很大的固定数.类似地可以给出x的其他趋向下的无穷大量定义.无穷大的图形特征例三、无穷小与无穷大的关系定理即无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一趋向下,无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.需要指出的是无穷大与无穷小不同的是：在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差与商是没有确定结果的，需具体问题具体考虑.第二章极限与连续第四节极限的运算法则一、极限的四则运算法则二、复合函数极限运算法则定理一、极限的四则运算第四节极限的运算法则证明定理中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论.结论(2)还有如下常用的推论.推论1

设存在，则对于常数c，有推论2

设存在，则对于正整数n，有例解例解

多项式(有理整函数)的极限则有即有理分式函数的极限例解例解例解例解有理分式函数的极限其中m，n为正整数.此结论可以作为公式使用.例求极限解例解先变形再求极限.二、复合函数极限运算法则

定理设函数与的复合函数为

,若，，且在点的某一去心邻域内，则复合函数在点处极限存在，且特殊地，若则（变量代换）（位置互换）例求极限

解当时分子分母极限均为零，为型未定式，不能直接用商的极限法则.作变换令，则当时，，从而第二章极限与连续第五节极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则二、两个重要极限第五节极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则定理定理xy例证明极限证

在作圆的内接正多边形求圆面积时,当边数无限增多时弦与弧将无限接近,因此弦与弧比的极限.二、两个重要极限问题的提出:圆的弦与弧之比的极限ABO所以xOy如图.设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作重要极限一

证则sinx=BC，tanx=AD，DABCO又因为和都是偶函数，所以，由函数极限夹迫准则得该极限是微积分中的重要极限之一，后续内容中有关三角函数的一些重要公式可由该公式推得，应该熟练掌握该公式，重要极限的应用说明

1.重要极限的一般形式

2.重要极限解决问题的特征：重要极限解决含有三角函数的型极限.

3.应用重要极限求极限时,既要注意比值的结构特征,又要注意极限过程.（极限变形）例解例解例解例解重要极限二观察如下数据表1231010010001000022.252.372.5942.7052.7172.718

从表中可以看出当x无限增大时,函数无限逼近确定的数值,此值为无理数e=2.718281828.自然界中植物、人口的增长，物体的冷却放射元素衰变等现象都与指数函数及无理数e密切相关.重要极限的应用说明

1.重要极限的变形2.重要极限解决问题的特征重要极限主要解决幂指函数的型极限.3.应用重要极限求极限时,既要注意比值的结构特征,又要注意极限过程.例解例解

例设有本金1000元,若用连续复利计算,年利率为8%,问5年末可得本利和为多少？解设复利一年计算一次，则一年未本利和为若复利三个月为一期计算，则x年末本利和为同理，若复利一年计算n次，则x年末本利和为现设想n无限增大，以致复利接连不断地计算，则

当时，称之为连续复利，其极限为第二章极限与连续第六节无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小的性质第六节无穷小的比较

一、无穷小的比较两个无穷小的和、差、积都是无穷小.但两个无穷小的商确会出现不同情况.例这些情形表明,同为无穷小,但它们趋于0的速度有快有慢.为了比较不同的无穷小趋于0的速度,引入无穷小量阶的概念.这些无穷小的商为定义

同阶无穷小.例二、等价无穷小的性质定理证明因为即由极限与无穷小之间的关系知其中即所以无穷小等价代换定理证用此定理求两个无穷小之比的极限时,若极限难求,可用分子、分母各自的等价无穷小来代替,以简化运算.应用无穷小等价代换定理求极限，需要预先知道一些等价无穷小.常用等价无穷小的有：例解例解例解所以例解所以例解

注意：相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换,但是相加(减)的无穷小的项不能作等价代换.第二章极限与连续第七节函数的连续性一、连续与间断的直观描述二、函数连续与间断概念三、连续函数的运算四、闭区间上连续函数性质问题导言——连续与间断第四节函数的连续性

自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等都是随时间连续地变化的.这种现象在反映在函数关系上就是函数的连续性.连续性描述了自然界的渐变现象.除了渐变现象，自然界还存在突变现象，突变现象则反映的是函数的间断特征.连续与间断问题举例

在此，从函数连续与间断的矛盾关系出发，展开对函数连续与间断特征的研究.放射性元素铀的衰变的数学模型火箭飞行中的质量变化函数图形一、连续与间断举例与描述连续与间断点特征分析间断点特征连续点特征定义设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量的增量趋向于零时，相应的函数增量也趋于零，即则称函数y=f(x)在点x0处连续.定义1.连续函数的概念二、连续与间断概念函数连续性的判别函数f(x)在点x0处连续的几何意义是：f(x)的图形在点(x0,f(x0))处是联结在一起的，没有断隙.函数f(x)在区间I上连续，其图形是一条连接不断的曲线.函数的单侧连续若则称函数f(x)在点x0左连续.若则称函数f(x)在点x0右连续.

定理函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是f(x)在点x0处既左连续又右连续.即函数的单侧连续主要用于分段函数分断点及区间端点处函数连续特征的讨论.若函数f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续,则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且称它是开区间(a,b)上的连续函数.若函数f(x)在(a,b)内连续,并且在左端点a处右连续，右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.且称它是闭区间[a,b]上的连续函数.区间上的连续函数结论

基本初等函数在其定义域内为连续函数.例解因此f(x)在x=0点连续.例设函数，问当a为何值时，在处连续？解函数在处有定义，且因为要使在处连续，应满足即当时，在处连续.2、函数的间断点定义但是极限不存在，所以x=0是函数f(x)的间断点.例例函数在x=1处无定义，因此x=1是该函数的间断点.间断点分类震荡间断无穷间断第二类间断点跳跃间断可去间断第一类间断点各类间断点图形特征震荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点解即x=0是函数f(x)的可去间断点.函数f(x)的间断点.例在x=0是否为故x=0是函数f(x)的跳跃间断点.在x=0处的连续性.例解故x=0是函数f(x)的无穷间断点.在x=0处的连续性.例解三、连续函数运算与初等函数的连续性定理（连续函数的四则运算）

定理（复合函数连续性）设函数y=f(u)在点u0处连续,函数在x0处连续,且,则复合函数在点x=x0处连续.且1.连续函数的运算此定理表明：在求复合函数的极限时，函数符号与极限符号可以交换顺序.

定理设函数y=f(u)在点u0处连续，函数当时极限存在，且则复合函数当时的极限也存在，且或对于复合函