专题06 二元一次方程组及应用期末真题汇编【十大题型+提升题】（解析版）-2023-2024学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（人教版）

专题06二元一次方程组及应用期末真题汇编之十大题型二元一次方程的定义例题：（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列方程中是二元一次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义，从而完成求解．二元一次方程必须满足以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含未知数的项的最高次数为一次；③方程是整式方程，根据依次判断即可．【详解】是二元一次方程，故选项A正确；，含未知数的项的次数是2，故选项B错误；含未知数的项的次数是2，故选项C错误；，只有一个未知数，故选项D错误；故选：A．【变式训练】1．（23-24八年级上·四川巴中·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为（

）A．1或 B．1 C． D．0【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义得出且，再求出即可．【详解】解：方程是关于，的二元一次方程，且，且，．故选：C．2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）若是关于的二元一次方程，则的值为（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】本题考查二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义（只含有两个未知数且未知数最高次数为1的整式方程叫做二元一次方程）是解答的关键．【详解】解：∵是关于的二元一次方程，，故选：D．二元一次方程的解例题：（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）已如是关于的二元一次方程的解，则a的值为（

）A． B．6 C． D．3【答案】B【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程中求出a的值即可．【详解】解：∵是关于的二元一次方程的解，∴，解得，故选：B．【变式训练】1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）下列4组数值中，不是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题科考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的值，即为二元一次方程的解，据此即可作答．【详解】解：A、把代入，则，故不是二元一次方程的解；B、把代入，则，故是二元一次方程的解；C、把代入，则，故是二元一次方程的解；D、把代入，则，故是二元一次方程的解；故选：A2．（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若是方程的一个解，则的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】把方程的解代入得，从而确定，整体代入计算即可．【详解】解：∵是方程的一个解，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义，即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键．解二元一次方程组例题：（23-24八年级上·山东济南·期末）解下列方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减法的运算方法是解题的关键．（1）运用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）整理为系数相同后，再运用加减消元法即可求解．【详解】（1）解：①②得，，把的值代入②得，，∴原方程组的解为；（2）解：得，，解得，，把的值代入①得，，∴原方程组的解为．【变式训练】1．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期末）解下列方程组：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握“代入法，加减法解二元一次方程组的步骤”是解本题的关键．（1）利用代入法解方程组即可；（2）直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】（1）解：把①代入②得：解得：，把代入①得：所以方程组的解：．（2）①②，得：，解得：，②①，得：，解得：，所以方程组的解为；2．（23-24八年级上·四川成都·期末）(1)解方程组：；(2)解方程组：．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了二元一次方程组，掌握二元一次方程组的代入消元法和加减消元法是解决本题的关键．（1）利用代入消元法求解方程组比较简便；（2）先化简方程组中的第二个方程，再利用加减消元法求解即可．【详解】（1），把②代入①，得，整理，得，解得，把代入②，得，解得，原方程组的解为．（2），由②得③，①③，得，解得，把代入①，得，解得，原方程组的解为．二元一次方程组的错解复原问题例题：（23-24八年级上·山东青岛·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：①得③………………第一步②③得……………第二步……………第三步将代入①得………………第四步所以，原方程组的解为………第五步(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________，其中第一步的依据是________；(2)第________步开始出现错误；(3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程．【答案】(1)加减消元法，等式的基本性质；(2)二；(3)见解析．【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解题关键．（1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可．（2）根据②③得，判断即可．（3）根据解方程组的基本步骤求解即可．【详解】（1）解：根据解方程组的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式性质变形得到，故答案为：加减消元法，等式的基本性质；（2）②③得，第二步错误，原因是合并同类项时出现错误；故答案为：二；（3）解：①，得③，②③得，，将代入①得，∴【变式训练】1．（23-24八年级上·山东青岛·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解方程组：解：得③．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步得．．．．．．．．．．．．．．．第二步．．．．．．．．．．．．．．．第三步将代入①得．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步所以，原方程组的解为．．．．．．．．．．．．．．．．．第五步(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________，其中第一步的依据是_________；(2)第_________步开始出现错误；(3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程．【答案】(1)加减消元法，等式的基本性质(2)二(3)．【分析】本题考查了二元一次解方程组的基本步骤，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键．（1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可．（2）根据②③得，判断即可．（3）根据解方程组的基本步骤求解即可．【详解】（1）解：根据解方程组的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式性质变形得到，故答案为：加减消元法，等式的基本性质；（2）解：②③得，第二步错误，原因是合并同类项时出现错误；故答案为：二；（3）解：解：①，得③，②③得，，将代入①得，所以原方程组的解为．2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）下面是小华同学解二元一次方程组的过程，请仔细观察回答下面问题．解：，得（1），得（2）将代入，得（3）所以原方程组的解是（4）(1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在步（填序号），第二次出错在步（填序号）；(2)请你帮小华同学写出正确的解题过程．【答案】(1)（1），（2）(2)【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，关键是键是能熟练运用加减消元法．（1）根据加减消元法的步骤判断即可；（2）利用加减消元法正确求解即可．【详解】（1）解：第一次出错在（1）步，第二次出错在（2）步，故答案为：（1），（2）；（2）解：正确的过程为：解方程组：，，得，，得，解得：，将代入，得，所以原方程组的解为．二元一次方程组的特殊解法例题：（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）材料：解方程组将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请解方程组【答案】【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．利用整体代入法解方程组即可．【详解】解：由①得：③，将③代入②得：，解得：，将代入①得：，解得：，∴方程组的解为．【变式训练】1．（22-23七年级下·山东济宁·期末）阅读下列材料，解答问题：材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法．问题：请你用上述方法解方程组．【答案】【分析】设，，方程变形后，利用加减消元法求出与的值，进而确定出与的值即可．【详解】解：设，，方程组变形得：，整理得：，得：，即，把代入得：，，解得：．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组解：设，原方程组可变为解得：．所以，解得．此种解方程组的方法叫换元法．【拓展提高】运用上述方法解下列方程组：【能力运用】已知关于的方程组的解为，直接写出关于的方程组的解为______．【答案】拓展提高：；能力运用：【分析】本题考查了换元法解方程组，正确理解换元法的意义是解题的关键．拓展提高：设，，原方程组可变为，求解即可．能力运用：设，，原方程组可变为，求解即可．【详解】拓展提高：设，，原方程组可变为，解方程组，得，∴，解方程组，得．能力运用：设，，原方程组可变为，∵关于，的方程组的解为，∴，解得，故答案为：．构造二元一次方程组求解例题：（23-24八年级上·江西九江·期末）已知，则为．【答案】1【分析】本题考查代数式的求值，二元一次方程组的应用，绝对值的非负性质，根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，列出方程组，求出的值，再进行计算即可．【详解】解：根据题意有；，解得：，∴，故答案为：1．【变式训练】1．（23-24七年级上·全国·期末）已知与互为相反数，则．【答案】【分析】本题考查的知识点是：互为相反数的两个数的和为0；如果两个非负数的和为0，那么每一个数都为0，根据相反数及非负数的性质列出方程，求出x、y的值，再代入即可．【详解】解：∵与互为相反数，∴，∴，解得，∴，故答案为：．2．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）“※”是一种新运算，它是这样规定的：，其中a，b为常数，且，，则．【答案】10【分析】根据已知条件得出，求出方程组的解，再求出答案即可．【详解】解：∵，且，，∴，，得，解得：，把代入①，得，解得：，∴故答案为：10．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出关于a、b的方程组是解此题的关键．二元一次方程组中同解方程组例题：（23-24八年级上·甘肃张掖·期末）已知方程组和方程组的解相同，求的值．【答案】1【分析】本题主要考查了二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据方程组与方程组的解相同可组成方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，最后求的值即可求解．【详解】解：∵方程组与方程组的解相同，∴，解得，将代入得：，解得，∴．【变式训练】1．（22-23七年级下·福建厦门·期末）已知方程组和方程组的解相同求、的值．【答案】【分析】求出方程组的解为，再根据二元一次方程组解的定义得出求解即可．【详解】解：方程组的解为，由于方程组和方程组的解相同，所以，解得．【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的解法是正确解答的前提．2．（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的方程组与有相同的解．(1)求这个相同的解；(2)已知实数的一个平方根是，的立方根是n，求的算术平方根．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据题意，联立，解方程组可求得x，y的值，即为所求．（2）将代入，可得关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n，进而可求a和b的值，然后代入求解即可．【详解】（1）解：根据题意，联立，①+②，得，解得，把代入①，得，解得．∴这个相同的解为．（2）将代入，得，③+④，得，把代入③，得，解得．∴，∴；∴，即，∴，∴，∵4的算术平方根是2．∴的算术平方根为2．【点睛】本题考查同解方程组、解二元一次方程组及平方根和立方根，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．二元一次方程组解决方案问题例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位．(1)求A，B两种车型各有多少个座位？(2)若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案．【答案】(1)A型车有45个座位，B型车有60个座位．(2)共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．（1）设A型车有x个座位，B型车有y个座位，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n，根据题意可得：，则有：，然后列举m确定n即可解答．【详解】（1）解：设A型车有x个座位，B型车有y个座位，根据题意得：，解得：．答：A型车有45个座位，B型车有60个座位．（2）解：设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n，根据题意可得：，则有：当时，；当时，．所以，共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆．【变式训练】1．（23-24八年级上·广东深圳·期末）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震后，深圳市某集团为灾区献爱心捐赠物资，若用2辆型车和3辆型车载满一次可运走18吨物资：1辆型车和2辆型车载满一次可运走11吨物资．该集团现有捐赠物资31吨，计划同时租用型车辆，型车辆，将物资一次性运往甘肃省积石山县灾区，且恰好每辆车都载满物资．(1)1辆型车和1辆型车都载满物资一次可分别运送多少吨？(2)请你帮该集团设计租车方案．【答案】(1)1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨．(2)该集团共有3种租车方案，①租用9辆型车，1辆型车；②租用5辆型车，4辆型车；③租用1辆型车，7辆型车．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方．（1）设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，根据用2辆型车和3辆型车载满一次可运走18吨物资；1辆型车和2辆型车载满一次可运走11吨物资．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据该集团现有捐赠物资31吨，计划同时租用型车辆，型车辆，将物资一次性运往甘肃省积石山县灾区，且恰好每辆车都载满物资．列出二元一次方程，求出正整数解即可．【详解】（1）设1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送吨，依题意得：，解得：，答：1辆型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆型车载满蔬菜一次可运送4吨．（2）依题意得：，、均为非负整数，或或，该集团共有3种租车方案，①租用9辆型车，1辆型车；②租用5辆型车，4辆型车；③租用1辆型车，7辆型车．2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元．(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来；(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？【答案】(1)A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元(2)共有以下3种购买方案：方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆；方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆；方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆．(3)方案3获利最大，最大利润是12.1万元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程整数解，有理数混合运算的应用；（1）等量关系式：购买2辆A型汽车的费用购买3辆B型汽车的费用110万元，购买3辆A型汽车购买2辆B型汽车的费用115万元；据此列出方程组，即可求解；（2）设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，等量关系式：购买a辆A型号的汽车的费用购买b辆B型号的汽车的费用400万元，列出方程，求出正整数解，即可求解；（3）根据（2）的购买方案，求出每种方案的获利情况，进行比较，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．【详解】（1）解：设A型号的汽车每辆进价为x万元，B型号的汽车每辆进价为y万元，依题意得：，解得：，答：A型号的汽车每辆进价为25万元，B型号的汽车每辆进价为20万元．（2）解：设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆，依题意得：，即：，因为两种型号的汽车均购买，所以a、b均为正整数，所以或或，所以共有以下3种购买方案：方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆；方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆；方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆．（3）解：方案1可获利：（万元）方案2可获利：（万元）方案3可获利：（万元）因为所以方案3获利最大，最大利润是12.1万元．二元一次方程组解决销售、利润问题例题：（23-24七年级上·浙江·期末）随着北京冬奥会的开展，带火了玩具市场．已知某玩具小商店，销售“冰墩墩”与“雪容融”两种玩具．以下是该商店两天的进货情况：冰墩墩（件）雪容融（件）总费用（元）第一天1010140第二天2030330根据上表提供的信息，请回答下列问题：(1)“冰墩墩”与“雪容融”每件进价各为多少元？(2)如果进两种玩具的总费用是100元，有几种不同的进货方式？写出每种进货方式．(3)在第（2）小题的基础上，已知“冰墩墩”的售价为16元，“雪容融”的售价为10元，如果全部卖出，应选择哪种方式进货才能使收益最大？最大收益为多少？【答案】(1)“冰墩墩”每件进价为9元，“雪容融”每件进价为5元；(2)共有2种进货方式：①“冰墩墩”5件，“雪容融”11件；②“冰墩墩”10件，“雪容融”2件；(3)应选择方式①进货才能使收益最大，最大收益为90元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（3）正确列式计算．（1）设“冰墩墩”每件进价为x元，“雪容融”每件进价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设“冰墩墩”的进货数量为m件，“雪容融”的进货数量为n件，根据题意得到，然后由m和n都是正整数求解即可；（3）根据题意分别求出两种方式的收益，进而比较即可．【详解】（1）设“冰墩墩”每件进价为x元，“雪容融”每件进价为y元，根据题意得，解得∴“冰墩墩”每件进价为9元，“雪容融”每件进价为5元；（2）设“冰墩墩”的进货数量为m件，“雪容融”的进货数量为n件，根据题意得，∵m和n都是正整数∴当时，；当时，；∴共有2种进货方式：①“冰墩墩”5件，“雪容融”11件；②“冰墩墩”10件，“雪容融”2件；（3）方式①：收益为（元）；方式②：收益为（元）；∵∴应选择方式①进货才能使收益最大，最大收益为90元．【变式训练】1．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表：类型进价（元/个）售价（元/个）A款m120B款n90若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元．(1)求m和n的值；(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？【答案】(1)m的值为80，n的值为60(2)该商场可获利1200元(3)该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．（1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出，再将其代入中即可求出结论；（3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润=每个足球的销售利润×销售数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．【详解】（1）依题意得：，解得：．答：m的值为80，n的值为60．（2）依题意得：，∴，∴．答：该商场可获利1200元．（3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，依题意得：，又∵a，b均为正整数，b为3的倍数，∴或．答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个．2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进个甲种型号头盔和个乙种型号头盔需要元；购进个甲种型号头盔和个乙种型号头盔需要元．(1)甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？(2)若该商场分别以元/个、元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔共个，请写出销售收入（元）与销售的甲种型号头盔的数量（个）之间的函数关系式；(3)在（2）的条件下，商场销售该批头盔的利润能否为元？若能，请写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【答案】(1)甲，乙两种型号头盔的进货单价分别元和元(2)与之间的函数关系式为(3)能，采购甲，乙两种型号头盔分别为个和个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程组和函数关系式是解题的关键．（1）设甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；（2）根据销售收入售价数量，分别计算甲、乙两种型号的头盔销售收入并求和即为；（3）根据销售利润(售价进价)数量，分别计算甲、乙两种型号的头盔销售利润并求和就是总的销售利润，令其值为，若解得的值符合题意，说明商场销售该批头盔的利润可以达到元，并求出此时的值，否则，则不能．【详解】（1）解：设甲，乙两种型号头盔的进货单价分别是元和元．根据题意，得，解得，甲，乙两种型号头盔的进货单价分别元和元；（2）销售的乙种型号头盔的数量为个，根据题意，得，与之间的函数关系式为；（3）能．采购方案如下：设商场销售该批头盔的利润为元，则，当时，，解得：，(个)，当采购甲，乙两种型号头盔分别为个和个．二元一次方程组中的新定义型问题例题：（23-24八年级上·江西吉安·期末）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”.(1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：______(2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值.【答案】【小题1】【小题2】，．【分析】（1）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解，理解概念即可解题．（2）本题考查对题干中“反对称二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“反对称二元一次方程”，再将m，n代入这两个二元一次方程求解，即可解题．【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，故答案为：．（2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，，解得，，．【变式训练】1．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题：(1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”．(2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值．【答案】(1)(2)的值为，的值为【分析】（1）解方程组，可得出关于，的二元一次方程组的解为，进而可得出关于，的二元一次方程组的“梦想点”为；（2）解方程组，可得出关于，的方程组的解为，进而可得出关于，的方程组的“梦想点”为，再将代入中，解之即可求出，的值．【详解】（1）解：，得：，将代入得：，解得：，关于，的二元一次方程组的解为，关于，的二元一次方程组的“梦想点”为；（2），得：，将代入得：，解得：，关于，的方程组的解为，关于，的方程组的“梦想点”为．将代入得：，解得：，的值为，的值为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组以及点的坐标，熟练掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．2．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点，，的横坐标x值与纵坐标y值的有序实数对，都是方程的解，则称，，三点共线．（如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解．）(1)已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？，，，．请写出判断过程．(2)已知方程，①对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解：②以①的解中x值为点M的横坐标，y值为点M的纵坐标，若点，与点M三点共线，求a与t的值．【答案】(1)A，B，D三点共线，见解析(2)①；②，【分析】（1）根据共线的条件判断即可；（2）①法一：任取a的2个值代入，得到2个关于x、y的方程，联立求解即可；法二：去括号，合并关于a的同类项，令a的系数等于零求解即可；②将3个点的坐标分别代入，然后解方程组即可．【详解】（1）对于，；

对于，；

对于，；

对于，．∴A，B，D三点共线；（2）①法一：因为a为任意实数，不妨取和，当时得，当时得，联立，

解得．

所以固定的解为．法二：得，即．因为对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解，所以，

解得．

所以固定的解为．

②由①得，因为，与点M三点共线，所以，得，

解得．所以，．【点睛】本题考查了知识拓展-三点共线，解二元一次方程组，正确理解三点共线的条件是解答本题的关键．一、单选题1．（22-23六年级下·上海静安·期末）下列方程中，二元一次方程是（

）A． B． C． D．．【答案】C【分析】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义可得答案．【详解】解：A．不是等式，故不属于二元一次方程，不符合题意；B．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；D．含有3个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．故选：C．2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）若关于x、y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是（）A． B．3 C．1 D．2【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程组的解和相反数的概念，根据x与y互为相反数，结合方程组中式子可求出、的值，再代入方程组第一个式子即可求．【详解】解：x与y互为相反数，，x、y是方程组的解，，，，．故选：A．3．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（

）A．6 B．1 C． D．【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是熟知方程组无解的含义．由第二个方程可得，将此式代入第一个方程可以得到一个关于解的方程，当分母为零时原方程组无解，即可得的值．【详解】解：原方程组，由（2）式得，代入（1）式得：，解得，当时原方程组无解，．故选：D4．（23-24八年级下·江西九江·期末）若方程组的解满足，则k的值为（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【分析】本题考查二元一次方程的解以及解二元一次方程．利用加减消元法，得到，再根据已知条件，得出，即可求出的值．【详解】解：①②得，，即，又，，，故选：D．5．（22-23八年级上·贵州毕节·期末）如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为和，则可列方程组为（）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根据大长方形的对边相等，列出关于、的二元一次方程组即可，本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据长方形对边相等的性质，列出等量关系式．【详解】解：根据图题意得：，故选：．6．（23-24八年级上·广东梅州·期末）已知关于，的方程组和有相同的解，那么的平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据已知条件，知，的值适合四个方程，故可以联立解方程组，求得，的值后，再联立解方程组，从而求解．【详解】解：根据题意得，解得，把代入含有，的两个方程得，解得，则，2的平方根是．故选：B．二、填空题7．（22-23七年级下·辽宁大连·期末）已知方程，用含的代数式表示，则【答案】【分析】本题考查解二元一次方程，掌握等式的性质是正确解答的关键．根据等式的性质进行变形即可．【详解】解：，，故答案为：．8．（22-23七年级下·云南昆明·期末）已知满足方程组，则．【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将原方程组中的两个方程相加得到，即，再整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键．【详解】解：将方程组中的两个方程相加得，，即，∴，故答案为：．9．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）若是二元一次方程，那么a、b的值分别是．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的定义和利用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．根据未知数的次数是1列方程组求解即可．【详解】解：由题意，得，解得．故答案为：2，1．10．（22-23七年级下·四川凉山·期末）若关于x，y的二元一次方程组，求，．【答案】2【分析】本题本题考查了二元一次方程的定义，代入法解二元一次方程组，掌握含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程是解题的关键，注意未知项的次数都为1次．根据二元一次方程的定义列出二元一次方程组进行解答即可．【详解】解：由题意得，且，∴且，∴，故答案为：2，．11．（23-24七年级上·广西梧州·期末）定义运算“*”，规定，其中为常数，且，，则．【答案】17【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，得出关于a、b的方程组是解题的关键．根据已知定义得出方程，，整理后得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，再根据定义得出算式，最后求出答案即可．【详解】解：根据题中的新定义化简已知等式，得，解得，所以，则．故答案为：17．12．（23-24七年级上·福建莆田·期末）某社区出资100元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本6元，B种每本5元，C种每本4元，其中A种图书只能买5或6本（三种图书都要买），此次采购的方案有种．【答案】6【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．当购买5本种图书时，设购买本种图书，本种图书，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出当购买5本种图书时，有3种采购方案；当购买6本种图书时，设购买本种图书，本种图书，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，可得出当购买6本种图书时，有3种采购方案，进而可得出此次采购的方案有6种．【详解】解：当购买5本种图书时，设购买本种图书，本种图书，根据题意得：，，又，均为正整数，或或，当购买5本种图书时，有3种采购方案；当购买6本种图书时，设购买本种图书，本种图书，根据题意得：，，又，均为正整数，或或，当购买6本种图书时，有3种采购方案．此次采购的方案有（种．故答案为：6三、解答题13．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）解方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．（1）方程组利用代入消元法求解即可；（2）方程组利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：，将①代入②得：，解得：，将代入①得：．解得：，原方程组解为；（2）解：，由得：，解得：，将代入①得：．解得：，原方程组解为．14．（23-24八年级上·山东青岛·期末）解方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．（1）方程组利用代入消元法求解即可；（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．【详解】（1）解：，把①代入②，得，解得，把代入①，得，故原方程组的解为；（2）解：原方程组整理，得，，得，解得，把代入①，得，故原方程组的解为．15．（23-24七年级上·山东滨州·期末）解方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．（1）用加减消元法解二元一次方程组；（2）用加减消元法解二元一次方程组．【详解】（1）解：，得：，解得：，把代入②得：，解得：，∴二元一次方程组的解为：．（2）解：原方程组可变为，得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴原方程组的解为．16．（23-24八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．解：，由①得③，第一步把③代入②，得，第二步整理得，第三步解得，即．第四步把代入③，得，则方程组的解为第五步任务一：①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”）②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．任务二：该方程组的正确解为______．任务三：请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议．【答案】任务一：①代入；②三，不符合去括号法则（或不符合乘法分配律）；任务二：；任务三：移项时，要注意变号（答案不唯一）【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握代入消元法解二元一次方程组．仔细考查小林的解题步骤即可得出答案；给予本题小林出现的错误是去括号出现的错误，根据括号法则可给出建议．【详解】任务一：①小林用了代入消元法，故答案为：代入．②小林从第三步开始出现了错误，错误的原因是去括号错误．故答案为：三，不符合去括号法则（或不符合乘法分配律）．任务二：由①得：③．将③代入②得：，去括号得：，整理得：，即：，将代入③得：，原方程的解为：，故答案为：．任务三：移项时，要注意变号（答案不唯一）．17．（22-23八年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题浅显有趣．其中下卷“雉兔同笼”流传尤为广泛．“雉兔同笼”题为：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?上述“雉兔同笼”问题中，鸡和兔各有多少只?（请用两种方法解答）【答案】鸡23只，兔12只【分析】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组，找到等量关系并列出方程或方程组是解题的关键．方法一：用一元一次方程求解：设鸡x只，则兔有只，根据脚数列出一元一次方程即可求解；方法二：用二元一次方程组求解：设鸡x只，兔y只，根据头数与脚数列出二元一次方程组即可求解．【详解】解：方法一：设鸡x只，则兔有只，由题意得：，解得：，，答：鸡23只，兔12只；方法二：设鸡x只，兔y只，由题意得：，解方程组得：，答：鸡23只，兔12只．18．（23-24八年级上·河南郑州·期末）某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位．(1)求A，B两种车型各有多少个座位．(2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？【答案】(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位(2)需租用A型车4辆，B型车2辆【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．（1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解；（2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案．【详解】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位，依题意，得：，解得：．答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位．（2）设需租A型车m辆，B型车n辆，依题意，得：，∴．∵m，n均为正整数，∴．答：需租用A型车4辆，B型车2辆．19．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）同学们，本学期我们学完《数的开方》一章，结识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．但是任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：(1)如果，其中a、b为有理数，那么，；(2)如果，其中a、b为有理数，求的算术平方根．【答案】(1)；2(2)的算术平方根为【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．（1）根据题意可得：，，然后进行计算即可解答；（2）将已知等式进行整理可得：，从而可得，进而可得：，然后代入式子中进行计算，即可解答．【详解】（1）解：，其中、为有理数，，，解得：，，故答案为：；2；（2）解：，，，、为有理数，，解得：，，的算术平方根是．20．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）【阅读感悟】已知实数、满足，求和的值．本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”．【解决问题】(1)已知二元一次方程组，求和的值；(2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？【答案】(1)，(2)1根丙种钢条长米．【分析】本题考查解二元一次方程组和三元一次方程组．熟练掌握整体思想，利用整体思想进行求解，是解题的关键．（1）利用整体思想进行求解即可；（2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，根据题意，列出三元一次方程组，利用整体思想进行求解即可；【详解】（1）解：，，得：；，得：；（2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，由题意，得：，，得：；∴丙种钢条长米．21．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆