中考数学二轮复习重难点与压轴题型专项突破训练专题17 二次函数中几何存在性的问题（重点突围）(原卷版)

专题17二次函数中几何存在性的问题【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一二次函数中构成等腰三角形存在性问题】 1【考向二二次函数中构成直角三角形存在性问题】 8【考向三二次函数中构成三角形相似存在性问题】 16【考向四二次函数中构成矩形存在性问题】 23【考向五二次函数中构成菱形存在性问题】 33【考向六二次函数中构成正方形存在性问题】 42【直击中考】【考向一二次函数中构成等腰三角形存在性问题】例题：（2022秋·青海西宁·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的对称轴及顶点坐标(3)在坐标轴是否存在一点SKIPIF1<0．使得SKIPIF1<0是等腰三角形，若存在，请直接写出点SKIPIF1<0的坐标，若不存在，请说明理由；【变式训练】1．（2023秋·陕西商洛·九年级校考期末）如图，已知抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式及点SKIPIF1<0的坐标；(2)若SKIPIF1<0为抛物线上一点，连接SKIPIF1<0，是否存在以SKIPIF1<0为底的等腰SKIPIF1<0？若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022秋·广西南宁·九年级校考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当SKIPIF1<0的周长最小时，求点P的坐标以及这个最小周长；(3)在直线l上是否存在点M，使SKIPIF1<0为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考向二二次函数中构成直角三角形存在性问题】例题：（2022秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点SKIPIF1<0，使得以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2023秋·山东枣庄·九年级统考期末）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线SKIPIF1<0，顶点为D，点B的坐标为SKIPIF1<0．(1)求出点A点、点D的坐标及抛物线的解析式；(2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使SKIPIF1<0是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0的顶点坐标为SKIPIF1<0，并与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是对称轴与SKIPIF1<0轴的交点，直线SKIPIF1<0与抛物线的另一个交点为SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0是什么特殊三角形，并说明理由；(3)在坐标轴上是否存在一点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0为以SKIPIF1<0为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点SKIPIF1<0坐标；若不存在，说明理由．3．（2023秋·广东广州·九年级统考期末）抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，与y轴交于点C，连接SKIPIF1<0．点P是线段SKIPIF1<0下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交SKIPIF1<0于M，交x轴于N．(1)求该抛物线的解析式；(2)过点C作SKIPIF1<0于点H，SKIPIF1<0，①求点P的坐标；②连接SKIPIF1<0，在y轴上是否存在点Q，使得SKIPIF1<0为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考向三二次函数中构成三角形相似存在性问题】例题：（2022秋·广西百色·九年级统考期中）如图，抛物线经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和坐标原点SKIPIF1<0，顶点为SKIPIF1<0．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：SKIPIF1<0是直角三角形；(3)若点SKIPIF1<0是抛物线上第一象限内的一个动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴，垂足为SKIPIF1<0，是否存在点SKIPIF1<0，使得以P，M，A为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似？若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2023秋·湖南株洲·九年级统考期末）如图，以D为顶点的抛物线SKIPIF1<0交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线SKIPIF1<0的表达式为SKIPIF1<0．(1)求抛物线的表达式；(2)在直线SKIPIF1<0上存在一点P，使SKIPIF1<0的值最小，求此最小值；(3)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023秋·湖南邵阳·九年级统考期末）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于点SKIPIF1<0、B两点，顶点SKIPIF1<0，过点A的直线与抛物线相交于点C，与抛物线对称轴DF交于点E，SKIPIF1<0．(1)求该抛物线解析式；(2)在对称轴SKIPIF1<0上是否存在一点M，使以点A、E、M为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P是线段SKIPIF1<0上一动点，过点P作直线SKIPIF1<0轴交抛物线于点Q，当线段SKIPIF1<0的长度最大时，求P点坐标与SKIPIF1<0的最大值．【考向四二次函数中构成矩形存在性问题】例题：（2023秋·贵州遵义·九年级统考期末）已知抛物线与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0.(1)求抛物线解析式；(2)如图①，若点SKIPIF1<0是第一象限内抛物线上一动点，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0长的最大值(3)如图②，若点SKIPIF1<0是抛物线上另一动点，点SKIPIF1<0是平面内一点，是否存在以点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为顶点，且以SKIPIF1<0为边的矩形，若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由【变式训练】1．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称．(1)求直线SKIPIF1<0的解析式；(2)如图，直线SKIPIF1<0上方的抛物线上有一点F，过点F作SKIPIF1<0于点G，求线段SKIPIF1<0的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以SKIPIF1<0为边的矩形，求点Q的坐标．2．（2023秋·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线SKIPIF1<0交x轴于SKIPIF1<0、B两点，交y轴于点C，其对称轴为SKIPIF1<0，(1)求该抛物线的函数解析式；(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接SKIPIF1<0，过点C作SKIPIF1<0交x轴于点Q，连接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）的条件下，将抛物线SKIPIF1<0向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【考向五二次函数中构成菱形存在性问题】例题：（2022秋·辽宁沈阳·九年级沈阳市广全学校校考阶段练习）如图，抛物线SKIPIF1<0与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)点C的坐标为______；抛物线的函数表达式为______；(2)点D是SKIPIF1<0上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交SKIPIF1<0于点F，当SKIPIF1<0时，求点E的坐标；(3)设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练】1．（2022秋·广东汕头·九年级统考期末）如图：已知直线SKIPIF1<0与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线SKIPIF1<0经过点B，且与x轴交于点SKIPIF1<0．(1)求该抛物线的解析式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设点M的横坐标为m，四边形SKIPIF1<0的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；(3)若点P在平面内，点Q在直线SKIPIF1<0上，平面内是否存在点P使得以O，B，P，Q为顶点的四边形是菱形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线SKIPIF1<0与抛物线在第一象限交于点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点SKIPIF1<0在抛物线上，当SKIPIF1<0时，直接写n的取值范围；(3)连接SKIPIF1<0，点Q是直线SKIPIF1<0上不与A、B重合的点，若SKIPIF1<0，请求出点Q的坐标；(4)在x轴上有一动点H，平面内是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【考向六二次函数中构成正方形存在性问题】例题：（2022秋·辽宁抚顺·九年级校考阶段练习）如图，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于A，B两点，其中点B的坐标是SKIPIF1<0(1)求直线SKIPIF1<0及抛物线的解析式；(2)C为抛物线上的一点，SKIPIF1<0的面积为3，求点C的坐标；(3)P在抛物线上，Q在直线SKIPIF1<0上，M在坐标平面内，当以A，P，Q，M为顶点的四边形为正方形时，直接