《微积分（第4版）》 教案 5.2、5.3积分法

课题：5.2、5.3积分法一、教学目标识知目标掌握计算积分的两种换元积分法和分部积分法.能力目标重点：两种换元积分法和分部积分法的运用.难点：第一换元积分法.三、教学方法、教学手段和教学思想教学方法：以讲练结合教学为主.通过对具体问题的分析，归纳出积分法；通过对积分法基本过程及解决问题特征的分析和归纳，掌握不同积分法的特点；经过分层次的讲练，逐步掌握积分法，提高学生解题能力.教学手段：利用多媒体课件辅助教学..四、教学基本流程开始分部积分公式第一换元积分公式公式的提出第二换元积分公式第一换元法分析第二换元法分析分部积分法分析开始分部积分公式第一换元积分公式公式的提出第二换元积分公式第一换元法分析第二换元法分析分部积分法分析综合练习分部积分法强化第二换元法强化第一换元法强化归纳总结布置作业五、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图第一换元积分法公式提出用换元思想求解具体积分概括出第一换元积分方法教师用换元方法求解具体积分引导学生概括出换元积分方法通过逻辑演绎，从具体到一般，概括出凑微分法，提高学生概括能力，促进知识的迁移.换元公式一、第一换元积分法(凑微分法)教师讲解证明提高学生分析与逻辑推理能力方法分析第一换元积分法使用过程凑微分法解决问题特征教师讲解，引导学生对照微分公式，归纳常用凑微分形式把握换元法的基本过程，强化凑微分的典型形式方法强化第一组基本例题与习题第二组常用结论例题第三组综合例题与习题教师讲解与学生练习相结合分层次设计例题与练习，提高学生的解题能力第二换元积分法公式提出用换元思想求解具体积分概括出第一换元积分方法教师用换元方法求解具体积分引导学生概括出换元积分方法通过逻辑演绎，从具体到一般，概括出凑微分法，提高学生概括能力，促进知识的迁移.换元公式二、第二换元积分法教师讲解证明提高学生分析与逻辑推理能力方法分析第二换元积分法使用过程换元积分法解决问题特征教师讲解，引导学生归纳出常见的积分类型和换元公式把握换元法的基本过程，熟悉常见的积分类型和换元公式方法强化典型例题与练习教师讲解与学生练习相结合提高学生的解题能力分部积分法分部积分公式三、分部积分公式∫uv'dx=uv–∫vu'dx教师从乘积导数公式推出分部积分公式提高学生分析与逻辑推理能力方法分析分部积分法使用过程及解决问题的特征教师讲解，引导学生归纳出常见的积分类型及u和dv选取把握分部积分法的基本过程，熟悉常见的积分类型方法强化典型例题与练习教师讲解与学生练习相结合提高学生的解题能力综合练习四、综合例题与练习一题多解，多种方法的综合教师讲解与学生练习相结合通过例题分析、练习训练熟悉各类积分法的使用归纳总结五、归纳总结主要知识点，内容结构教师引导学生归纳总结把握教学内容结构，形成整体认识布置作业书面作业教师布置作业，学生课下练习巩固知识，反馈教学，提升认识教案：5-3积分法教案：5-3积分法教学内容设计说明第二节 积方法以设法把它变形使其成为能利用基本积分公式的形式再求出其积分本节介绍一些最常用的积分方法. 一、第一换元积分法（凑微分法）由特殊到一般归纳与概括注意强调凑微分法应用的基本过程实例分析一般概括引例求积分∫2exdx解∫2exdx=∫exx2（）=∫eudu （u=x2）=euC （求积分）=exC （还原变量）求积分∫fφ(x)φ'(x)dx解∫fφ(x)φ'(x)dx=∫fφ(x)dφ(x)（凑成微分形式）=∫fudu （u=φx）=F(uC （求积分）=FφxC （还原变量）概括出如下定理定理 设函数f(u)连续，u=φ(x)具有连续的导数，且∫fuduFuC，则∫fφx)φ'xdxFφxC证 因为∫f(u)du=F(u)+C，所以F'(u)=f(u)，于是F[φ(x)'=F'[φ(x)]φ'(x)=f(u)φ'(x)fφ(x)φ'(x)所以∫fφ(x)φ'(x)dx=F[φ(x)]+C应用该定理可以解决一些被积函数为复合函数的积分问题，其应用步骤为∫fφ(x)φ'(x)dx 凑微分∫fφ(x)dφ(x) 作变换 ∫f(u)du（1） （2）u=φ(x)求积分 还原变量 F(u)+C F[φ(x)]+C（3） （4）第一组例题：基本例题，使学生了解凑微分法的基本过程.例1求下列积分（1）∫os2xndx；（2）∫ dx （3）∫snxdxx1+ln2x x凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成dφ(x)，这需要记熟一些微分式.使学生掌握凑微分法的基本过程以凑微分为重点强调常用的凑微分形式，要求学生必须记熟.补充必要的积分公式强化解题能力训练x=1dax+；dx=1dx2；dxdx；dxdnexd=dex；a 2 x xsnd=–dos；osd=ds；sc2xd=dn；sc2xd=–do； dx dx1−x2 1+x2第二组例题：常用公式例题，推出一些常用的积分公式.例2求下列积分（1）∫ dx （2）∫dx ；（3）∫ndx；（4）∫scdx；a2−x2 a2+x2第三组例题：综合例题，训练和提高学生的解题能力.例3求下列积分（1）∫dx （2）∫3+xdx；（3）∫dx（4）∫os2xx；x2−a2 4−x2 1+ex课堂练习：求下列积分（1）∫dx （2）∫3+xdx；（3）∫dx（4）∫os2xx；x2−a2 4−x2 1+ex二、第二换元积分法第一换元积分法是选择新的积分变量u=φ(x)将积分化为可求积分，但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令x=φ(t)，把t作为新积分变量，才能积出结果.实例分析一般概括引例求积分∫ x dxx+3解作变换t=x+3，即x=t2+3则dx=2tdt，所以∫ x dxx+32∫t2+dt （xt3）t3 =23+3t+C（求积分） 1=2x+6x−32+C（还原变量）3求积分∫f(x)dx解作变换x=φ(t)，t=φ−1(x)，则dx=φ'(t)dt，所以∫f(x)dx=∫fφtφ'tdt作变换x=φt）=F(tC （求积分）=Fφ−1xC （还原变量）由特殊到一般归纳与概括定理 若x=φ(t)单调可导，φ'(t)≠0，并有∫fφ(t)φ'(t)dt=F(t)+C，则∫f(x)dx=F[φ−1(x)]+C证 利用复合函数与反函数的求导公式，有F[φ−1(x)'=f[φ(t)]φ'(t)1 =fφ(t)==f(x)φ'(t)所以∫f(x)dx=F[φ−1(x)]+C该定理称为第二换元积分法，应用的基本过程为∫f(x)dx 作变换 ∫fφ(t)φ'(t)dt 求积分F(t)+C（1）x=φ(t) （2）还原F[φ−1(x)]+C（3）t=φ(x)x=φtx=φt)，要求其φ't0t=φ−1x存在，下面通过一些例子来说明.注意强调换元法应用的基本过程例 求下列积分（1）∫ x dx；（2）∫a2−x2dx；（3）∫ dx+ x a2+x2第二换元积分法概括——常见的换元形式常用换元公式的归纳两个换元法应用过程的比较与归纳一题多解训练\微分公式与积分公式间的转化分部积分法解决问题特征与使用过程的强调被积函数特征换元函数被积函数特征换元函数Ra2−x2x=asintRx±ax=t2∓aRx2+a2x=atantRnx±ax=tn∓aRx2−a2x=asect R x+a x−at= x+ax−a第一换元积分法与第二换元积分法之间比较F[φ−1(u)]+C=∫fφ(x)φ'(x)dx φ(x)=→∫f(u)du=F[φ(x)]+C←u=φ(x)第一换元法 第二换元法练习：（1）用不同的变换求积分∫ dx (作变换x=asect；x=1= x2−1)xx2−1 t（2）分别用第一换元积分法与第二换元积分法求积分∫a2−x2dx；三、分部积分法 分部积分法是与乘积微分法则相对应的，也是一种基本积分法则.乘积函数的微分公式乘积函数的积分公式设u=u(x)，v=v(x)具有连续导数设u=u(x)，v=v(x)具有连续导数∫d(v)=∫du+∫udv即 ∫udv=uv−∫du或 ∫uvdx=uv−∫u'dxd(uv)=vdu+udv即 udv=d(uv)−vdu或 uv'dx=d(uv)−vu'dx分部积分法：设函数u=u(x)，v=v(x)具有连续导数，则 ∫udvuv∫du或∫uvdxv∫u'dx该公式称为分部积分公式，其作用是它可以将求∫u'x的积分问题转化为求∫u'dx的积分，当后面积分较容易求时，分部积分公式就起到了化难为易的作用.分部积分法使用的过程：∫uvdx 凑分∫udv 用式v−∫du 化简 uv−∫u'dx（1） （2） （3）分部积分法解决问题特征：主要解决乘积函数的积分，尤其是多项式与基本初等函数的乘积积分问题.运用好分部积分法关键是恰当地选择好u和dv，一般要考虑如下两点：（1）v要容易求得）；2）∫du要比∫udv.第一组例题：基本题例 求下列积分∫xcosxdx；∫xe−2xdx；∫x2cosxdx；∫；∫x2e−xdx；∫ndx；∫exndx；练，提高解题能力积分类型u与dv的选择∫xneaxdx；∫xncosaxdx；∫xnsinaxdx；u=xn；dv=eaxdx；dv=sinaxdx，dv=cosaxdx∫xnndx,∫xnrcsnxx,∫xnrcndxu=lnx；u=arcsinx；u=arctanx；dv=xndx∫exsnbdx；∫exosbdx；u=eax；或u=sinbx，u=cosbx均可注：将xn改为常数，以及将xn换为多项式Px时仍成立.n组例题与练习：综合题型例 求下列积分（1）∫osndx；（）∫rnxd；（3）∫nnxx；（）∫snnxdxcos2x四、综合例题与练习例 用多种方法求积分∫ x dx1+x解1分项，凑分∫ x d=∫x1−1d=∫ x1x−∫dx ；1+x 1+x 1+x解2元，令x=u–1；∫ x dx=∫u−1du=∫udu−∫du；1+x u u3换元令x1=t；∫ x x=∫u−1du=2∫u2−du2解1+x u解4换元，令x=tan2t，则dx=2tantsec2tdt∫ x d=∫ntatsctdt=2∫sc2t−set21+x sect解5分部积分法∫ x d2∫d+x=2x+x–∫+xdx1+x由上例可以看出，不定积分思路比较开阔，方法多，各种解法都有自己的特点，学习中要注意不断积累经验.练习：求下列积分arctanx xcosx+sinx 1+lnx x2−9(1)∫ dx；(2)∫ dx；(3) dx；(4) dxx(1+x) (xsinx)2 ∫(xlnx)2 ∫ x2(5)∫ 1 dx；(6)∫snxdx；(7)∫nnxdx；(8)∫os(nx)dx；x21+x2 x五、积分法总结积分法解决问题特征第一换元法∫fφ(x)φ'(x)dx=∫f