《微积分（第4版）》 教案 4.1中值定理

定理的分析与证明课题：4.1中值定理定理的分析与证明一、教学目标识知目标理解罗尔定理和拉格朗日定理及其几何意义，了解柯西定理，了解拉格朗日定理的作用及其证明方法，会用拉格朗日定理进行简单的证明.能力目标通过对罗尔定理和拉格朗日定理的几何特征分析，提高学生数形结合的分析问题、解决问题的能力，以及由一般到特殊的转化思想，培养学生转化能力.二、教学重点与难点三、教学方法、教学手段和教学思想教学方法：以数形结合教学为主，通过对罗尔定理和拉格朗日定理的几何特征分析，揭示几何图形所反映出的内在数量特征，发现和归纳出定理；通过对定理几何特征的探究，揭示定理证明的思路，促进学生数形结合能力的提高.教学手段：利用多媒体课件辅助教学.教学思想：定理的分析论证中渗透数形结合、由一般到特殊的思想.四、教学基本流程开始柯西定理开始柯西定理拉格朗日定理罗尔定理问题几何特征探究定理间的关系定理的应用归纳总结布置作业五、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图罗尔定理问题探究一、罗尔定理观察图形特征，明确罗尔定理的几何意义通过几何特征的观察，提出待(图形动画)通过探究式教学，数形结合，让学生体验定理发现的过程，提高观察、发现问题的能力.罗尔定理提出罗尔定理(定理的条件和结论)师生归纳概括，用数学语言表述罗尔定理（课件）通过抽象概括提炼出问题的数量结构特征，提高学生抽象概括和数学表达能力定理证明定理证明的几何分析定理的证明教师启发讲解（课件）提高学生分析与逻辑推理能力拉格朗日定理问题探究二、拉格朗日定理观察图形特征，明确拉格朗日定理的几何意义通过几何特征的观察，提出待研究的问题：拉格朗日定理(图形动画)通过探究式教学，数形结合，让学生体验定理发现的过程，提高观察、发现问题的能力.拉格朗日定理拉格朗日定理(定理的条件和结论)师生归纳概括，用数学语言表述拉格朗日定理（课件）通过抽象概括提炼出问题的数量结构特征，提高学生抽象概括和数学表达能力定理证明推论定理证明的几何分析定理的证明教师启发讲解（课件）提高学生分析解决问题能力了解构造函数法拉格朗日增量公式拉格朗日定理的两个推论教师启发讲解（课件）明确拉格朗日定理的核心作用柯西定理问题探究三、柯西定理从拉格朗日定理的曲线参数方程出发引出柯西定理引导学生推导出柯西定理提高学生问题转化能力柯西定理柯西定理(定理的条件和结论)学生归纳概括，用数学语言表述柯西定理提高学生分析问题能力定理证明定理的分析与证明教师启发、学生探究提高学生分析、证明能力定理间关系四、三个定理之间关系教师讲解把握定理之间的关系定理的应用例题与练习拉格朗日定理为重点教师讲解与学生练习相结合通过例题分析、练习训练把握中值定理及应用归纳总结四、归纳总结主要知识点，内容结构教师引导学生归纳总结把握教学内容结构，形成整体认识布置作业书面作业教师布置作业，学生课下练习巩固知识，反馈教学，提升认识教案：4-1中值定理教案：4-1中值定理教学内容设计说明第四章一元函数微分学应用第一节 微分中值定理一、罗尔（Rolle）中值定理图形观察：设光滑曲线弧AB，将弦AB平行移动，在曲线弧AB间存在点C，使直线与曲线在点C处相切，且 y y=f(x)切线为水平.几何特征：设f(x)为区间[a,b]上 A B可导函数，将弦AB平行移动，在区间(a,b)内总能找到某个值ξ，使直线与曲线在点(ξ,f(ξ))处切线为水平，即 O a ξ b xf'(ξ)=0.将此几何特征用数量关系来表述就可得到下述罗尔定理.1（罗尔定理）若fx满足条件1)在闭区间ab]2)在开区间ab3)在区间ab]端点处的函数值相等，即fa)fb)则在开区间abξ，使得fξ)=0． 罗尔定理证明分析，观察满足罗尔定理条件的几个典型函数图形.y y y=f(x) yy=f(x) y=f(x)O a ξ b x O a ξ b x O aξ b x对于上述图形，显然每个图形中的曲线上至少有一点ξ,fξ))，在该点的fξ)=0这些点的特征为函数的最大值或最小值点，据此，可得罗尔定理的证明.通过几何特征的观察，提出观察图形特征提出问题的证明思路证 由条件⑴知，函数f(x)必在区间[a,b]上取得最大值M与最小值m.（1）若M=m，则函数f(x)在[a,b]上是常数，因而f'(x)=0，这时(a,b)内的任意一点都可以选作为点ξ.（2）MmM与m中至少有一个不等于端点处的函Mfa)ξab)使fξ)M，下面证fξ)=0由条件(2)知，f'(ξ)存在，即有limΔx→0

f(ξ+Δx)−f(ξ)=f'(ξ)，Δx 因为fξ)Mfx)在abξΔxab)，总有f(ξ+Δx)≤f(ξ)，即f(ξ+Δx)−f(ξ)≤0 Δx>0时，fξΔxfξ)0，由极限的保号性知，ΔxlimΔx→0

f(ξ+Δx)−f(ξ)≤0，Δx当Δx<0时，f(ξ+Δx)−f(ξ)≥0，由极限的保号性知，ΔxlimΔx→0所以，f'(ξ)=0.证毕

f(ξ+Δx)−f(ξ)≥0，Δx需要说明的是定理中三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立（如下图）y y yO a b x O

a b x

O a b x例1设f(x)在闭区间[0,1]上连续；在开区间(0,1)内可导，且f(1)=0，则存在ξ∈(0,1)，使ξf'(ξ)=−f(ξ)二、拉格朗日（Lagrange）中值定理fa)fb) 图形观察：连续曲线AByfx)

yy=f(x)A B

通过几何特征的观察，概括其数量关系.x轴的切线，将线段AB平行移动，在区间ab)

O a ξ b x内总能找到某个点ξ，使AB移动到点(ξ,f(ξ))处与曲线相切且在该点的切线平行于AB.由于AB所在直线的斜率为k=f(b)−f(a)，曲线在点(ξ,f(ξ))的斜b−a率为f'(ξ)，所以f'(ξ)=f(b)−f(a)b−a将此几何特征用数量关系来表述就可得到拉格朗日定理.定理2（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)满足条件：（1）在闭区间ab]上连续；（2）在开区间)内可导，那么，在ab)ξ，使得

提出待研究的问 f'(ξ)=f(b)−f(a)b−a

或f(b)−f(a)=f'(ξ)(b−a)拉格朗日定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，则至少存在一点(ξ,f(ξ))，曲线在该点切线平行曲线两端点的连线. 拉格朗日中值定理证明分析：由拉格朗日定理的几何特征可知，若在定理中增加f(a)=f(b)条件，则化为罗尔定理；y

观察与分析图形特征提出问题的证明思路即罗尔定理为拉格朗日定理的特殊情形。本着由一般向特殊转化的原则，对拉格朗日定理的证明采取通过适当手段将其 A转化为罗尔定理形式.考虑到拉格朗日定理结论的几何特征是在曲线弧上至少有一点，使曲线在 O a该点处的切线斜率与线段AB所在的直线斜率相等；也即曲线与线段AB所对

y=f(x)B)y=φ(x)ξ b x应的函数在该点的导数相等或二函数之差的导数为零，这正与罗尔定理结论相一致.线段AB对应的函数为y=f(a)+f(b)−f(a)(x−a)b−a曲线与线段AB所对应的函数之差为φ(x)=f(x)−f(a)+f(b)−f(a)(x−a)b−a因此，函数φ(x)在[a,b]上满足罗尔定理并反映出了拉格朗日定理的结论特征.证 作辅助函数φ(x)=f(x)−f(a)+f(b)−f(a)(x−a)b−a则φ(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且φ(a)=φ(b)，由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(a,b)使得φ'(ξ)=0即 f'(ξ)−f(b)−f(a)=0 也即 f'(ξ)=f(b)−f(a)

注意对构造性分函数构造过程的强调b−a b−a思考：拉格朗日定理是否也可以采取构造函数φ(x)=f(x)−f(b)−f(a)(x−a)b−a来证明，并说明该辅助函数的几何意义.在拉格朗日定理的证明中，所采用的证明方法称为构造函数法，该方法是证明φx的表达式构造辅φx的表达式.若在区间[x,x+Δx]或[x+Δx,x]上使用拉格朗日定理，则有结论f(x+Δx)−f(x)=f'(x+θΔx)Δx(0<θ<1)拉格朗日中值定理是微分学的一个基本定理，拉格朗日中值定理的条件一般函数都满足，所以应用比较广泛，在微分学中占有重要的地位．它建立了函数在一个区间上的改变量和函数在这个区间内某点处的导数之间的联系，从而使我们有可能用导数去研究函数在区间上的性态．推论1如果函数f(x)在区间(a,b)内满足f'(x)≡0，则在(a,b)内f(x)C（C为常数）．推论2如果对(a,b)内任意，均有f'(x)=g'(x)，则在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)=g(x)+C（为常数）．三、柯西（Cauchy）中值定理 x为参量，将曲线方程用参数方程

注意对构造性分析方法的强调注意说明公式的意义结合几何特征进X=g(x)Y=f(x)

(a≤x≤b)

行说明这时曲线上某一点C(f(ξ),g(ξ))处切线斜率为f'(ξ)；连接曲线两端点g'(ξ)A(g(a),g(b))与B(f(a),f(b))的弦所在直线的斜率为f(b)−f(a)，这样，g(b)−g(a)由拉格朗日定理有 f(b)−f(a)=f'(ξ)

ξ∈(a,b)g(b)−g(a) g'(ξ)该结论反映了两个函数之间导数的关系，次定理为柯西定理.柯西中值定理）fx)gx)1)闭区间a,b]2)在开区间ab)3gx在ab)内的每一点均不为

拉格朗日定理的进一步推广零，那么，在(a,b)内至少有一点ξ，使得 f(b)−f(a)=f'(ξ)

ξ∈(a,b)g(b)−g(a) g'(ξ)gx)x，则可得到拉格朗日中值定理由此可以得到启发，φxxgx)ba换成gbga)，便得到辅助函数Rolle定理Lagrange定理Cauchy定理 Rolle定理Lagrange定理Cauchy定理 φ(x)=f(x)−f(a)+f(b)−f(a)(g(x)−g(a))g(b)−g(a)为此，可以证明柯西定理.四、三个定理之间关系微分中值定理中三个定理之间的关系推广 推广 特例 特例微分中值定理建立了函数在一个区间上的增量（整体性）与函数在该区间内某点处的导数（局部性）之间的联系，搭建了导数与函数改变量之间的桥梁，使导数成为研究函数性态的工具.五、例题与练习例1证明 arctanβ−arctanα≤β−α例2 求证x>0时，ex>x+13arcsinxarccosx=πx∈−112练习：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，其中ab>0，证明：存在ξ∈(a,b)，使af(b)−bf(a)=(b−a)[f(ξ)−ξf'(ξ)] 六、归纳总结以拉格朗日定理为重点定理条件结论主要作用罗尔定理(1)(2)(3)fff在[a,b]上连续；在(a,b)内可导；(a)=f(b)(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0．讨论方程