小学数学教学中抽象能力培养策略探析

摘要：抽象是数学的基本特征，数学抽象能力是数学核心素养的主要表现之一，具有内隐性、概括性、敏感性、发展性等特点。当前数学抽象能力的培育存在感知对象不充分、探究过程不完整、数学思考不深入等问题，需要提供丰富的感知材料、经历完整的探究历程、启迪深层的数学思考，引领学生不断夯实抽象基础、经历抽象过程、把握抽象本质，促进抽象能力的逐渐生长。关键词：数学抽象能力；数学核心素养；小学数学教学抽象是数学的基本特征，是用数学的眼光观察现实世界的基本方式，是三大数学基本思想之一。《义务教育数学课程标准（2022年版）》把抽象能力放在数学核心素养主要表现的首位，可见抽象能力的重要性。然而，在当前的数学学习中，浅表化、机械化的学习还大量存在，抽象能力的培养未能真正落到实处，带领学生走向深层化、意义化的学习，是数学抽象能力提升的必要之道。一、数学抽象能力的内涵解读（一）数学抽象抽象，是数学迭代发展过程中所依赖的最重要的基本思想。所谓数学抽象，国内外许多专家学者都进行了相应的研究，如迪内斯把数学抽象定义为：从不同的情境中抽象出共性的过程，并且这一共性可以作为检验某一因素是否符合这一属性的标准。弗赖登塔尔强调数学学习绝不是教师单方面的活动，学习者会对接收到的抽象知识进行再加工处理，把现实问题抽象成数学问题[1]。李昌官认为：数学通过舍弃现实事物的非数学属性，从中分离出事物数与形两方面的属性，进而对这些属性进行最大限度的一般化、理想化处理，得到具有广泛普适性和应用性的数学概念[2]。可以看出，不同研究者的研究虽侧重不同，但基本理念有相通之处。具体理解为，数学抽象是以具体事物为载体，通过观察、分析，舍弃事物表象的、外部的东西，抽出事物本质的、内在的因素，从空间形式和数量关系来解释客观事物的一种数学研究方法。数学抽象是对数学事物基本特征的高度概括。（二）数学抽象能力《义务教育数学课程标准（2022年版）》对数学抽象能力这样表述：主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力[3]。笔者认为，数学抽象能力具有以下特征。1.内隐性认知心理学认为，在不知不觉中获得某种知识，学习了某种规则，叫作内隐学习。数学抽象能力是学习者个体内在的一种能力，相对于显性的数学知识而言，它是一种缄默性知识，具有内隐性，不易表达，不易外显，很难用语言文字或符号形式进行直接传递。2.概括性抽象与概括是密不可分的，高度的抽象必然有高度的概括，概括性是数学抽象能力的显著特征。学习者在面对复杂的现实情境时，需要从中提取关键的特征和规律，将其概括为更简单、更易于理解的形式。因此，概括伴随数学抽象的过程，概括水平越高，抽象能力也越强。3.敏感性敏感性是体现抽象能力强弱的一个重要标准。如果说一个人的知识技能水平，决定着他成就的最低线，那决定他发展上限的则是抽象能力。抽象能力强的人对抽象概念非常敏感，往往能从零散的、简单的数学信息中抽象出本质的、结构性的数学原理，体现出较好的思维敏捷性、发散性和创造性。4.发展性能力的提升是循序渐进、螺旋上升的，数学抽象能力同样具有发展性。如低年级学生，处在形象思维阶段，对数学抽象只有朦朦胧胧的印象，自主抽象能力较弱，随着年龄的增长、学习的深入，对经历抽象的体验逐渐增多，积累的数学抽象经验逐渐丰富，自主抽象的意识将慢慢形成，数学抽象能力也将逐渐生长。二、数学抽象能力培育的问题分析数学抽象能力对学生学习起着至关重要的作用，甚至影响一个人终身的发展。但实际的教学中，数学抽象能力却未能得到高度的重视，许多课堂教学形式单一，教学过程单薄，数学思考浅层，深度学习未能真正形成，数学抽象能力的培养未能真正落地。具体体现在以下几个方面。（一）感知对象不充分，缺乏数学抽象的认知基础数学知识本身是高度抽象的，是对一类研究对象本质属性高度概括的结果，研究对象是实现数学抽象的载体，充分感知是实现数学抽象的前提。然而，在实际的教学中，很多教师备课不充分，提供给学生感知的数学素材单一化，不具体、不全面，学生在实际的学习中，感性认识不到位，无法正确进行数学抽象，甚至出现认识的偏差。（二）探究过程不完整，缺乏数学抽象的过程经历数学抽象能力是一种高阶能力，需要在反复的探索、体验和感悟中慢慢生长。每一次概念的形成、结论或规律的获得，都是学生经历一次数学抽象的过程。但是，当前的课堂学习中，受功利性的驱使，教师宁愿减少甚至舍弃知识的形成过程，让学生大量地、反复地做题，学生经历数学抽象的过程不完整、体验不丰富，往往形式大于实质，抽象能力培养沦为空谈。（三）数学思考不深入，缺乏数学抽象的理性概括数学抽象的过程是对研究对象进行理性分析，不断剥离非本质属性，凸显本质属性的过程，其中，高质量的思考、理性化的表达必不可少。然而，很多的课堂数学思考不深入，缺少合理的数学问题情境，缺少深层的问题思考时机，数学抽象的结果并未由学生自我感悟而得，学生通常是被动接受结论，数学抽象异化为结论告知。三、数学抽象能力培养的实践策略数学抽象能力的培养不是一蹴而就的，需要渗透在教学的每一个环节，在深度的学习中体悟，日积月累，潜移默化，方可逐渐形成。（一）提供丰富的感知材料——夯实抽象基础感知即意识对内外界信息的觉察、感觉、注意、知觉的一系列过程。从数学抽象的本质内涵看，要实现有意义的数学抽象，必须先对学习对象进行丰富的、全面的感知，才有可能剥离事物的非本质属性，抽取本质属性。如，在“角的认识”教学中，可以设置如下几个维度的感知层次，来丰富学生的感性认识。首先，实物中感知。教师出示一个五角星和一把三角尺，问学生：为什么叫五角星？为什么叫三角尺？引导学生说出，这里面都藏着角。此时，学生对角的认识是模糊的，是基于生活经验而形成的。其次，创造中感知。教师课前提供多种材料，让学生创造一个角。有的学生利用小棒摆出了角，有的学生利用吸管折出了角，有的学生利用工具画出了角……此时，教师及时提问：这里的几个角有什么共同点？学生基本都能说出有两条直直的边和一个尖。通过这一层次的感悟，学生舍弃了制作角的材料等非本质属性，初步指向角的本质特征边和角。最后，深层辨析中感知。教师在黑板上贴出了一个自制的活动角，先不断地变换角的开口方向，连续追问学生：这样是角吗？再变换角的开口大小，追问学生，这样是角吗？同时再不断拉长和缩短角的两条边，继续追问学生：这样还是角吗？这里的三次辨析，再次拓宽了角的认识外延，进一步剥离与角相关的位置、大小及边的长短等非本质属性，对角的认识进行了准确的抽象。感知是抽象的基石，选取好感知材料是首要条件。选取感知材料时：其一，要考虑丰富性，要符合认知发展的规律；其二，要考虑全面性，对可能干扰正确抽象的一些非本质属性的素材要尽可能提供；其三，还要考虑典型性，切勿多而滥，干扰学生认知。感知材料越丰富、越全面、越典型，越有利于学生准确抽象。（二）经历完整的探究历程——经历抽象过程好的数学教学应从学习者的生活经验和已有的知识背景出发，让学生进行充分的数学实践和交流，经历数学知识的发生、发展过程，从而理解数学本质，抽象数学模型。一般来说，数学抽象要经历四个阶段：第一阶段是感知与识别，对提供的数学对象深入感知；第二阶段是分离和提取，剥离感知对象的非本质属性，提取所有的本质属性；第三阶段是辨析与固化，在充分思辨的基础上理解本质属性；第四阶段是提炼和简化，把本质属性加以高度概括[4]。如，在“乘法分配律”的教学中，创设了五个层次的探究历程。第一层次，在解决实际问题中初步体会等式的特点。出示两种不同情境的两个实际问题，让学生用两种方法解答，引出两个等式，并引导学生对两个等式读一读，初步找感觉。第二层次，继续解决类似实际问题再悟等式的特点。学生根据刚才经验，解答并写出类似等式，教师让学生将黑板上的三组等式再读一读，再次找感觉，此时，学生对这类等式的感觉已加深了。第三层次，写出几组类似等式加深理解等式的特点。此时，学生基本能独立写出等式，对等式的特点理解已从朦胧走向清晰。第四层次，在深入讨论每个等式为什么相等中理解知识本质。学生通过交流讨论，用乘法的意义解释每组等式相等的理由，揭示了乘法分配律的本质。第五层次，在无穷列举中找到一般模型。教师适时提问：这样的等式还有吗？写得完吗？能否找到一种方法把它表示出来。此时，学生用符号表示乘法分配律就水到渠成，数学抽象及时且真实。数学抽象的过程是一个慢过程，教师要留出足够的时间，让学生慢慢感受；要精心设计梯次，让学生逐步感悟；要耐心等待学生，让学生自我感悟。只有让学生完整经历探究的过程，数学抽象才可能真实有效。（三）启迪深层的数学思考——把握抽象本质思考是一种整体的思维活动，是一种指向明确、探究深入、富有挑战性和创造性的深层智力活动。带领学生经历数学抽象的过程中，教师要善于创设有效的问题情境，引发学生高质量的数学思考，使其对抽象的结果的本质、原理理解清晰。如教学“三角形分类”时，为了让学生真正理解“三角形按角分为什么只有三类”，教师可以设置“认知平衡—认知冲突—认知平衡”这样一个思维历程，让学生在积极的思考过程中把握抽象本质。活动伊始，教师创建在钉子板上围三角形的任务，让学生围出三个角是“锐锐锐、直锐锐、钝锐锐”三种组合后，及时发问：世界上的三角形有多少个？难道就只有这三种？估计应该有第四种，或者第五种吧？这样的发问把学生的思维一下子调动起来，学生积极主动地去尝试第四种围法……当学生怎么尝试也围不出，心里极其困惑时，教师再适时设问：你们围不出第四种，老师也围不出第四种，难道真没第四种？现在我们来思考，“一个三角形中有没有两个直角？为什么？”。此时的设问把学生兴奋的内心引导到冷静的思考，学生很快找到了原理，因为三角形的内角和是180°，所以一个三角形中不可能有两个直角，更不可能有两个钝角。这里的连续设问，让学生经历了一次较为深刻的认知冲突过程，并深刻理解了三角形按角分为什么