高三数学突破讲义教学

杭州高考寒假精品数学专项突破班

高三下学期同学们在校复习期间通常会有二轮复习期，在这么紧凑的时间内掌握好正确的复习方法才是

取得高分的关键！这个寒假要把知识的重难点，分专题讲解，题型、解题方法、技巧，提高解题能力。

一、代数专题，包括函数与导数；三角函数，解三角形，平面向量；数列；不等式概率。

二、几何专题，包括立体几何，解析几何。

假期学习的最大特点就是专题的学习集中性强，学习效率高。趁这个寒假，要充分利用时间，把这几个

专题学透彻。形成完整的知识体系。待高三下学期复习就轻松多了，更能增强下学期学习的信心！

课程介绍

第一讲集合的概念与运算，充要条件，逻辑联结词，全称量词与存在量词。

第二讲函数及其表示，基本性质，指数函数、对数函数与幕函数，函数与方程。

第三讲导数的概念与导数的计算，导数的应用。

第四讲三角函数的概念、同角三角函数的关系，诱导公式，三角函数的图像和性质，三角函数的恒等变

换，解三角形。

第五讲平面向量的基本定理和向量的线性运算，向量与三角函数的综合运用。

第六讲数列的概念及其表示，等差数列，等比数列，数列的综合应用。

第七讲不等式的概念和性质、基本不等式，不等式的解法，简单线性规划，不等式的综合应用。

第八讲空间几何体的结构、三视图、直观图，空间几何体的表面积和体积，直线与面、面与面平行性质

与判定，直线与面垂直，面与面垂直的判定与性质，空间中线面夹角，二面角的求法，用法向量解决空间立体

几何问题。

第九讲直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系，双曲线的几何性质及直线与双

曲线位关系，抛物线的几何性质及直线与抛物线的关系，曲线的轨迹方程，解析几何中的最值问题。

第十讲计数原理，排列组合，概率与统计及期望方差的求法，二项式定理(理)。

第一讲

1、集合

(1)一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。

集合常用大写字母A,B,C,D,…表示，元素常用小写字母a,6,c,d,…表示.

(2)集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性。

(3)元素与集合的关系：属于(符号“e”)和不属于(符号“金”)。

(4)常用的数集及其记法

非负整数集(或自然数集)记作正整数集，记作N*或4+；整数集，记作Z；

有理数集，记作0；实数集，记作用。

(5)集合的表示：

列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号"｛｝“括起来。

描述法：将集合的所有元素都具有的性质表示出来，并写在大括号内，一般形式为：｛x|p(x)｝。

当集合的元素不是实数或式子时，常采用自然语言表示，如｛东方汽车厂的汽车｝，｛直角三角形｝,...

符号描述法和自然语言描述法都叫做描述法。

图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合。

(6)集合间的基本关系

①子集：对任意xeA,都有x&B,则力仁6。

子集的性质：

(1)AA；(2)对于集合4,B,C,如果/匚B,B匚C,则4口C。

规定：空集是任何集合的子集。

②集合相等

③真子集

性质：（1）空集是任何非空集合的真子集；（2）若A星3,8口，则4口。。

若集合/中含有〃个元素，则集合/有：2〃个子集，2”-1个真子集，2n-1个非空子集，2〃-2个

非空真子集。

（7）集合的基本运算

集合的交、并、补

定义符号表示Venn图

由属于集合4且属于集合6的

交

所有元素组成的集合，称为/与840刀={工入£4且入£6}

集

的交集，记作/nB.

由所有属于集合/或属于集合

并AB={x\x^A,或％wB}.

8的元素组成的集合，称为集合N

集

与6的并集，记作4UB.■

对于一个集合/,由全集〃中

不属于集合/的所有元素组成的集

补CuA={x|xw〃，且x仁4}

合称为集合/相对于全集〃的补

集

集，记作CuA.KJ

集合的运算性质：

并集的性质：//=三儿

交集的性质：/口6之4A^AcB.

补集的性质：Cu(AnB)=(CuA)U(CuB)；Cu(AUB)=(CdA)n(CuB).

③已知集合

例1、(1)已知U={y|y=log2X，x>l}，P=<yy=~,x>2>,则[0=()

X

1

A.—,+coC.(0,+oo)D.(-oo,0)U—,4-00

22

(2)若集合A={-1,1],B={0,2},则集合{z|z=x+y,xGA,ydB}中的元素的个数为()

A.5B.4C.3D.2

(3)设函数/(x)=f—4x+3,g(x)=3'—2,集合Af={xeR|/(g(x))>0},N={xeR|g(x)<2},

则MN为()

A.(l,+oo)B.(0,1)C.(-1,1)D.(-oo,l)

(4)设a、b&R,集合{1,a+6,a}={0,々"},则6-a=()

a

A.1B.-1C.2D.-2

2、四种条件：主考：充分、必要、充要等四种条件。

若PNQ,则P叫°的充分条件；若P<=g,则P叫°的必要条件；

若Poq,则。叫g的充要条件；

3、简单的逻辑联结词：且、或、非；全称量词(任意V)和存在量词(存在三)。

用联结词“且”把命题夕和命题。连结起来，得到一个新命题，记作夕A0,读作“0且《”；

用联结词“或”连结起来，得到一个新命题，记作“夕v，读作“夕或q”。

对一个命题夕全盘否定，得到一个新命题，记作「夕，读作“非夕”或“夕的否定”。若夕是真命题，则

B必是假命题；若夕是假命题，则「夕必是真命题。

短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示。含有全称量词的

命题，叫做全称命题。例如，命题：对任意的AeZ2n+1是奇数；所有的正方形都是矩形；都是全称命题。

通常，将含有变量x的语句用O(x),q(x),…表示，变量x的取值范围用〃表示。那么，全称命题“对

〃中任意一个X,有°(x)成立"可用符号简记为：MxeM,p(x)。

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“三”表示。含有存在量词的命

题，叫做特称命题。例如，存在一个/e7?,使2々+1=3,至少有一个々GZ,刈能被2和3整除。

特称命题“存在〃中的一个入，使0(々)成立”可用符号简记为：3^0eM,p(x0)o

全称命题0：<xeM,p(x),它的否定一切：3x0e〃，一1p(x。)。全称命题的否定是特称命题。

特称命题0：3XQeM,p(x0),它的否定-10,VxGM,—1P(x)。特称命题的否定是全称命题。

711

例2、(1)“a=—”是“cos2tz=—”的()

62

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

(2)若向量a=(x,3)(xwH),贝!|"x=4"是"|a|=5"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

(3)设平面a与平面夕相交于直线“2,直线a在平面a内，直线人在平面用内，且6J_m，则“a_L〃

是“a，的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分不必要条件

例3、下列命题中，真命题是()

A.玉°eR,ex°<0B.V%eR,2X>x2

C.a+b=0的充要条件是一=TD.a>l,b>l是ab>l的充分条件

b

例4、已知命题p：”,x2eR,M-7(X1))(X2-X1)^0,则一।p是()

A.3xi,xzeR,(/'(苞)一f(xj)(至-xi)WO

B.Vxi,JseR,(/'(X2)-f(xi))(xz-xi)WO

C.3xi,XZGR,(/'(X2)-f(xj)(乃一荀)〈0

D.Vxi,jaeR,(f(x2)-f(xj)(xz-荀)〈0

第二讲

1、函数

定义：设A,B是非空数集，若按某种确定的对应关系£对于集合A中的任意一个数x,集合B中都有唯

一确定的数/1(x)和它对应，就称『：A-B为集合A到集合B的一个函数，记作尸f(x)。

函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

(1)求定义域的一般方法：①分式：分母力0；②0次累：底数H0；

③偶次根式：被开方式20；④对数：真数〉0.

r-7

例1、(1)函数y=——的定义域为；

x

(2)函数/'(x)=Jl-210g6工的定义域为-

(3)函数F(x)=——-——+,4-犬的定义域为()

ln(x+1)

A.[-2,0)(0,2]B.(-1,0)(0,2]C.[-2,2]D.(-1,2]

例2、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

(梯形的周长冲

则S的最小值是

梯形的面积

1一x1-/

例3、已知-----)=------则/'(x)的解析式为___________________0

1+x1+/

2.分段函数

分段函数是指在定义域的不同部分，有着不同对应关系的函数。

分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集。

求分段函数的有关函数值的关键是自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式去求值。

作分段函数的图象时，应分别作出其每一段的图象。

(1)求分段函数的函数值

%2+1X<1

例4、(1)设函数/(x)=]2，则f(f(3))=。

—x>l

log,(4-x),尤〈0

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=&2，则f(3)的值为()

1-2),x>0

A.-1B.-2C.1D.2

(2)解分段函数的方程、不等式

例5、设函数/(%)=尸8,”,则满足方程/(x)」的％的值为__________

10g81xxe(l,+00)4

21-x<i

例6、设函数f(x)=1'x—'则满足f(x)W2的x的取值范围是()

l-log2x,X>1,

A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+oo)D.[0,+oo)

3、函数的性质

(1)函数的单调性

①定义：区间D上任意两个值X],须，若X]<々时有广(毛)<广(才2)(或广(的)>f(xj,称/"(X)

为D上增函数(或减函数)。(一致为增，不同为减)

②复合函数y=九力(x)]的单调性：同增异减.

③函数单调性的应用：

比较大小:例如：已知f(X)在区间D上为增函数:

若XiGD,X2£D,xi<x2,则f(XI)<f(X2)；若XIGD,X2£D,f(xi)<f(x2)则Xi<Xz。

求参数的取值范围

根据函数y=f(x)在某区间上的单调性及函数值的大小，已知函数y=f(x)在定义域的某个区间上为增函数,

若f(Xi)<f(X2),则Xi<X2,也可以确定自变量的大小，类似地，减函数也有这样的性质。

/

例7、己知函数，(x)为R上的减函数，则满足了!

</(1)的实数％的取值范围是()

7

A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)U(0,1)D.(一8,-1)u(1,+8)

J5-1

例8、已知a=——,函数f(x)=ax,若实数根、〃满足/(m)>/(n)，则相、〃的大小关系为.

例9、函数f(x)的定义域为A,若XpxeAJLf(x；)=f(x?)时总有x,=x则称f(X)为单函数。

22:'

例如，函数f(x)=2x+l(xeR)是单函数，下列命题:

①函数f(x)=x2(xeR)是单函数;

②若f(X)为单函数，X],X2eA且X产X2，贝亚(X])7f(X2)；

③若f：AfB为单函数，则对于任意beB,它至多有一个原象;

④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数。

其中的真命题是.(写出所有真命题的编号)

2

例10、函数广(x)=loga(^+2x—3),f(2)>0,则f(x)的单调增区间为()

A.(—co,—1)B.(1,+oo)C.(—1,0)D.(—oo,—1)U(0,+oo)

logx

2x>0,

例11、设函数f(x)='log](-X)若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()

x<0

2

A.(-1,0)U(0,1)B.(一8,-1)u(1,+oo)

C.(-1,0)U(1,+8)D.(—8,-1)U(0,1)

例12、函数f(X)的定义域为R,f(-1)=2,对任意XGR,f'(x)>2,贝|Jf(x)>2x+4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1，+oo)C.(-oo,)D.(-oo,+oo)

(2)函数的奇偶性

对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇(偶)

函数。

图象描述

奇函数与偶函数的性质：

奇函数在对称区间上具有相同的单调性；偶函数在对称区间上具有相反的单调性。

在公共定义域内：两个奇函数(或偶函数)的和(或差)仍是奇(或偶)函数；

两奇(或偶)函数之积(商)为偶函数；一奇一偶函数的积(商)为奇函数。

在x=0处有意义的奇函数f(x),使得f(0)=0恒成立。

奇函数、偶函数图象的特征：

奇函数的图象关于坐标原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之也成立。

例13、(1)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

,1

Ay=x+\By=-x~Cy=—Dy=x\x\

x

(2)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()

3

A.y=cos2x,xeRB.y=log21x|,xeR且xNOC.y=-~,xeRD.y=x+l,xeR

2

(3)若函数f(x)=343、与g(x)=3'-3一"的定义域均为R,则()

A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

例14、若/(%)=一一+。是奇函数，则。=____________o

2-1

例15、设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当xe[0,1]时，f(x)=x+l,则f把)=

2

1、设函数/(x)和g(x.)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()

A./(x)+1g(x)|是偶函数B.7(x)-|g(x)|是奇函数

C.+g(x)是偶函数D.|/(x)-g(x)是奇函数

2、己知y=/(x)是奇函数，若g(x)=/(x)+2且g⑴=1,贝Ug(—1)=.

3、设函数£&)=*(6>!+0丁)&61?)是偶函数，则实数a=o

4、设函数F(x)=G+l)2：sinx的最大值为容最小值为以，则M+厅

x+1

(3)函数的周期性

对于函数/'(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有+7)=f(x),

那么函数F(Z)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

对于非零常数a,若函数y=f(x)满足/1(x)=-f(x+a)(或/1(x+a)=f(x-a)),则函数

y=f(x)为周期函数，2a是它的一个周期。

(4)函数图像的变换

一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象，在高考中要求掌握四种变换：平移

变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。

①平移变换：y=f(x)-y=f(x+a),y=f(x)+b,法则：左加右减，上加下减

②对称变换

y=f(x)——旦邈避―>y=—f(x)；y=f(x)——红邈遒―>y=fjx)；

③翻折变换

y=?(X)保留涮右边图象，去掉链由左边图象,并作其关于游山对称的图象)y=?(|*

y=f(x)保留斓I上方图就象，将，轴下方图象翻折上去=1f(x)I

例16、对于函数y="y="(x)|的图象关于y轴对称”是“y=/(x)是奇函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要

例17、设/(x)是周期为2的奇函数，当OWxWl时，/(x)=2x(l—x),则/(—二)=()

例18、已知定义在区间(0,2)上的函数y=f(x)的图像如图所示，则y=-f(2-x)的图像为()

例19、设函数/(x)(xeR)满足/(—%)=/(x),/(x+2)=/(x),则y=/(x)的图像可能是()

1、已知函数/(X)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有W(x+1)=(1+%)/(%),

则/(/(1))的值是()

15

A.0B.—C.1D.一

22

2、已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当0Vx<2时，/(x)=V—x,则函数丁=/(九)的

图象在区间［0,6］上与x轴的交点的个数为()

A.6B.7C.8D.9

3、已知定义在R上的奇函数F(x)和偶函数g(x)满足F(x)+g(x)=^—，'+2(眇0,且^1).若g(2)

=a,则H2)=()

15172

A.2B.-C.-D.a

44

4、对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中，a,beR,CGZ)，选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所

得出的正确结果一定不可能是()

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

〃c

-x<A,

5、根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为(4c

c、

〔小一,x^A

为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第2件产品用时15分钟，那么。和A的值分别是()

A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16

6、设g。)是定义在R上，以1为周期的函数，若"幻二1十双幻在⑶句上的值域为一2》，则/(九)

在区间［-10,10］上的值域为o

cix+1,—lWx<0,

7、设/(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1］上，f(x)=\bx+2八其中

-----，0WxW1,

、x+1

a，bwR-若=/］［］，则0+36的值为________。

x2-l

8、已知函数y=-----的图像与函数丫=kx的图像恰有两个交点，则实数上的取值范围是________二

x-1

2

9、在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数/(x)=—的图象交于P、Q两点，则线段

X

PQ长的最小值是

4、基本初等函数主考：1)指、对数的定义及运算，2)指数、对数、幕函数的图象与性质。

(1)指数

根式：x”=anx=［呜"是奇数：负数没有偶次方根，零的〃次方根是零。

土>0)〃是］

a〃为奇数

两个重要公式：①(痛)"=a,②"=1.

a（a>°)、〃为偶数;

\a\=<

-a（a<0)

m__

正分数指数募：/=疔

(2)对数及其运算性质

①若a，=N(a>0,且aw1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log；,其中a叫做对数

的底数，N叫做真数。

以10为底叫常用对数，记为/就以e=2.7182828…为底叫自然对数，记为力或。

②性质：负数和零没有对数；1的对数等于0,即log,1=0；底的对数等于1,即log,a=1。

③运算性质：积的对数log式加)=logaM+logaN商的对数10ga—=10ga"-10gaN

方根的对数：

塞的对数：10gaMn="logaM10ga07=-logaM

n

④对数的换底公式：log：=竺红（a>0且aw1；c>0且cw1,6>0）

log：

log*=或log〉log；=1;log*=log：：；log：：=3log〉log：：=3（特例）

log：aamaam

在R上是增函数在R上是减函数

(4)幕函数

①概念：一般地，函数y=x0叫做塞函数，其中x是自变量，a是常数。

幕函数只讨论。=1,2,3,3,—1时的情形。

②要注意募函数与指数函数的区别：

指数函数：形如y=a\a>0,aw1),x为自变量，自变量在指数位置，底数为常数且为正值;

塞函数：形如丁=/\x为自变量，a为常数，自变量在底数位置，常数在指数位置，常数可正可负。

③幕函数的图象与性质

1

在同一•坐标系内作出塞函数y=x,y-x2,y=x，,y=x2,

=的图象。

说明：①所有图象都经过点(1,1),这五个函数在第一象限内均有图象；

1

②在第一象限内，函数y=x,y=x2,y=x3,y=x?是增函数,

=x-i是减函数；

③函数y=x,y-x3,y-x一】是奇函数，函数y=/是偶函数；

1

④幕函数y=x,y=x2,y=x3,y=均过原点，塞函数y=x"4不过原点。

塞函数的性质可归纳如下：

①当a〉0时，图象都通过点(0,0),(1,1)；在第一象限内，函数单调递增。

a<0时，图象都通过点(1,1),在第一象限内，函数单调递减，图象向上与y轴无限接近，向右与x

轴无限接近。

②哥函数的图象最多只能同时出现在两个象限内，必出现在第一象限内，一定不会在第四象限内。

③若幕函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。

1-1

2

例20、(1)(log29)•(log34)=；(2)(lg--lg25)^100=。

例21、(1)已知a=log23+log2百，8=log29-log2A，c=log32则a,b,c的大小关系是()

A.a=b<cB.a=b>cC.a<b<cD.a>b>c

(2)设a>b>\,c<0,给出下列三个结论：

cc

①上〉：；②a<b-,③logfe(a-c)>logfl0-c),其中所有的正确结论的序号是__。

ab

A.①B.①②C.②③D.①②③

(A)(B)(C)(P)

(2)函数丁="—。(。>0,。#1)的图象可能是()

例23、方程4'-2*+i—3=0的解是.

1、若点(a,b)在y=lgx图像上，。W1,则下列点也在此图像上的是()

A.(-,b)B.(10a,1-b)C.(—,b+l)D.(a2,2b)

aa

2、当0〈后;时，4ylogaX,则a的取值范围是()

A.(0,除B.(乎，1)C.(1,⑫D.(4，2)

3、已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是()

A.(2^/2,+00)B.［2^/2,+00)C.(3,+00)D.［3,+00)

4、若函数/(x)=|2x+aI的单调递增区间是［3,+00),则。=.

5、里氏震级M的计算公式为：八金电"^令，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A。是相应

的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此

次地震的震级为级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的倍。

6、若函数f(x)=aA-x-a(a>0且aWl)有两个零点，则实数a的取值范围是—

7、若函数/(x)=，(a>0,awl)在［-1,2］上的最大值为4,最小值为加且函数g(x)=(1-4附«在曲+⑹

上是增函数，则3=。

x>2

8、已知函数;•(;<)=x若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是

(1)3,x<2

9、已知函数/(x)=lg无，若/(a份=1,则/(〃)+/32)=。

5、方程的根与函数的零点。主考：1)存在零点，用零点存在性定理来分析；2)零点个数问题，用转化的思

想，借助图像来分析。

(1)函数的零点对于函数y=f(x),把使/'(x)=0的实数x叫做函数y=/'(x)的零点。

(2)函数零点的判定如果函数y=f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

/(a)-f⑻<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,6)内有零点，即存在ce(a"),使得f(c)=0。

Aa)-<0是函数f(x)在(a,6)上有零点的充分不必要条件，一个函数的零点可能只有一个，也

可能有两个、三个，也可能没有。

(3)方程近似解的求法一一二分法

对于在区间［a,6］上连续不断且『(a)-/S)<0的函数y=/'(x),通过不断地把函数/'(x)的零点所

在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。

在一定精确度的要求下，通过取区间的中点，有限次重复相同步骤，借助函数零点的判定方法，将零点

所在区间缩小，此最小区间内的任意一点作为函数零点的近似值,特别地，可将区间的端点作为零点的近似值。

二分法求函数/(X)零点近似值的步骤：

1.确定区间［a,6］,验证/'(a)-f⑻<0,给定精确度/2.求区间(a,6)的中点c；

3.计算f(c)；

①若/'(c)=0,则。就是函数的零点；

②若广(a)-/(c)<0,则令人=c,(此时零点G(a,c))；

③若广(c)-f⑻<0,则令a=。(此时零点x()e(c,6))。

4.判断是否达到精确度£：即若|a-b\<£,则得到零点近似值a(或6)；否则重复2〜4。

(4)判定函数零点的个数

①仔细观察函数的特征,如定义域、单调性等可以帮助我们判断零点的大致区间和零点的个数；

②解方程/'(x)=0,所得实根是/'(x)的零点，有几个实根就有几个零点。

例24、函数/(x)=2，+3x的零点所在的一个区间是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

11

例25、函数/'(X)=X2—(―尸的零点个数为()

2

A.0B.1C.2D.3

例26、函数f(x)=:xcos2x在区间［0,2■上的零点个数为(、,)

A.2B.3C.4D.5

例27、函数/(x)=6-85%在［0,+8)内()

A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两一个零点D.有无穷个零点

第三讲导数

1、导数的概念

一般地，函数y=f(x)在x=不处的瞬时变化率是lim—=lim——'”。),称它

AxfO\xAx-。Nx

为函数y=/'(x)在x=/处的导数，记作，(/)或_/1=与，即

，/、.Ayf(x0+Ax)-f(xo)

f\Xr.)=lim——=lim------------------

AxfONxAxf01x

概念理解：

(1)导数/(就是函数/(X)在点刘处的瞬时变化率，它反映的是函数/(X)在点刘处变化的快慢程度。

(2)在定义导数的极限式中，Ax-O,Ax可正、可负，但不为0,而Ay可能为0。

(3)导数/(就是一个局部概念，它只与函数f(x)在刘及其附近的函数值有关，而与Ax无关。

2、导函数的概念

F(x)对于区间(a,6)内任一点都可导，则/'(x)在各点的导数也随着自变量X的变化而变化,因而也是自

变量x的函数,该函数称为/'(x)的导函数,记作，(x)。

在不致发生混淆时，导函数也简称导数，函数/'(x)在点/处的导数/'(%)等于Ax)的导(函)数广‘(X)

在点七处的函数值。

3、导数的几何意义

函数/'(x)在x=/处的导数就是切线的斜率A.即A=lim------°=/(X。)

A—0Ax

理解：①切线斜率的本质一函数在X=X。处的导数，概念提供了一种求曲线上某点切线的斜率的方法。

②广’(入0)>0,切线的斜率为正，切线与X轴正方向夹角为锐角；广’(才0)<0,切线的斜率为负，切线

与X轴正方向夹角为钝角。

③若曲线y=/"(X)在点夕(/，广(/))处的导数广'(々)不存在，就是切线与y轴平行。

利用导数求曲线的切线方程步骤：

①求出y=r(x)在点尤0处的导数，(X。)；

②利用直线方程的点斜式得切线方程为y—兀=广'(才0)(X—演)。

4、导数的计算

(1)基本初等函数的导数公式

①c=0(c为常数)；②(X11)'=nxn~x(n£Q*)；③(sinx)=cosx；④(cosx)=—sinx；

xx

⑤(，)=aIna,特殊地，(e“)=e；@(logax)=——-——；特殊地(Inx)'=—o

xInax

(2)导数运算法则

"(x)±g(x)]'=f\x)±g'(x)；

"(x)•g(x)]'=广'(x)g(x)+f(x)g'(x),特殊地，[cf(x)]=cf\x),

=『a—f(x)g(x)丰0),

g(x)[g(x)]2

5、复合函数的导数

设函数M="(x)在点x处有导数“；="(%),函数y=/(M)在点x的对应点u处有导数y'u=7'(a),则

复合函数y=fM(x)］在点x处有导数,且y：=y：.

运用复合函数的求导法则乂=立•M，应注意以下几点：

(1)利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量的函数，层层求导.

(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误,

如(cos2x)'=-sin2x实际上应是-2sin2x.

(3)求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量.

如丁=------选成y=—,“=/,v=i—w,w=3x计算起来就复杂了.

(1—3%)u

例1、曲线尸x(31nx+l)在点(1,1)处的切线方程为

sinx1IT

例2、曲线丁=二-----------彳在点M(t,0)处的切线的斜率为____________o

smx+cosx24

_i(j.、

例3、若曲线>二%一万在点a,a3处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则。=()

I

A.64B.32C.16D.8

4

例4、已知点P在曲线y=1一上，4为曲线在点P处的切线的倾斜角，则〃的取值范围是(