高中数学-高中数学必修四12

1.2.1正弦函数的图像和性质（第一课时）

一、教学具准备

直尺、圆规、投影仪

二、教学目标

1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；

2.在定义的学习过程中渗透数形结合的思想；

3.能初步应用定义分析和解决与三角函数有关的一些简单问题；

三、教学过程（课件辅助教学）

1.理解锐角三角函数

要理解任意角三角函数首先要理解锐角三角函数.锐角三角函数是任意角三

角函数的先行组织者.

问题1任意画一个锐角a,借助三角板，找出sina,cosa,tana的近

似值.

教师用几何画板任意画一个锐角.要求学生自己任意也画一个锐角，利用手

中的三角板画直角三角形，度量角a的对边长、斜边长，计算比值.

意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，加深对锐角三角函数概念的理解,

它是学习任意角三角函数的基础.突出：

（1）与点的位置的选取无关；（2）是直角三角形中线段长度的比值.

问题2能否把某条线段画成单位长，有些三角函数值不用计算就可以得

到？

意图：学生根据自己实际画图操作，以及计算比值的体验，会很快认为把斜

边画成单位长比较方便，为后续任意角三角函数的“单位圆定义法”做铺垫.

问题3锐角三角函数sina作为一个函数，自变量以及与之对应的函数值分

别是什么？

意图：以便与后面的任意角三角函数的自变量是角（的弧度，对应一个实数）,

对应的函数值是a的终边与单位圆交点的纵坐标比较.

锐角三角函数sina作为一个函数，自变量是锐角.由于角的弧度值与实数

兀

可以一一对应，所以，a是（0,T）上的实数.而与之对应的函数值sina是

线段长度的比值，是区间（0,1）上的实数.

问题4你产生过这个疑问吗：“三角函数只有这三个？”

意图：这个问题具有元认知提示的特点，引导学生勤于思考，逐步学会发现

问题、提出问题、研究问题.

三条边相互比，可以产生六个比.还有哪三个呢？再把已知的三个倒过来.

2.任意角三角函数定义的“再创造”

教师利用几何画板，把角a的顶点定义为原点，一边与x轴的正半轴重合,

转动另一条边，表现任意角.

问题5现在，角的范围扩大了.在直角坐标系中，使得角的顶点在原点，

始边与x轴的正半轴重合.在这样的环境下，你认为，对于任意角a,sina,

cosa,tana怎样来定义好呢？

意图：可以打破知识结构的平衡，感受到学习新知识的必要性一一角的范围

扩大了，锐角三角函数也应该“与时俱进”，并不显得突然.把定义的主动权交

给学生，引导学生参与定义过程，发展思维.

有两种可能的回答.

可能一：在a的终边上任意画一点P(x,y),|0P|=r.

sin<7=^-,coso=-»tano

rrx

可能二：设角a的终边与单位圆的交点为P(x,y).

sina—y,cosa=r,tana=^.

，x

不论出现可能一还是可能二，都再问：“都是这样的吗？”

引导学生议论，以确认两种定义方法的一致性、各自特点.再问“你赞成哪

一种？”，统一认识，建立任意角三角函数的定义.(板书)

因为前面已经有引导，学生可能很快接受“可能二”.

3.任意角三角函数的认识(对定义的体验)

问题6(1)求下列三角函数值：

7无

o-

sin270,cos无>tan-7.

6

问题6(2)说出几个使得cosa=1的a的值.

意图：通过定义的简单应用，把握定义的内涵.

逐题给出，对于每一个答案，都要求学生说出“你是怎样得到的.”突出“画

终边，找交点坐标，算比值(对正切函数)”的步骤.

问题6(3)指出下列函数值：

.兀,1331..11%.

"

sin-7；sin-7—；sin(T~).

666

意图：角的终边位置决定了三角函数值的大小.终边位置相同的角同一三角

函数值相等.

问题7做了这么多题，要反思.你是否发现了任意角三角函数的一些性质？

还有些什么体会？

意图：体验以后的概括，阶段小结.

(1)抓住各三角函数的定义不放；(2)各象限中三角函数的符号特点，等.

教师板书学生获得的成果、感受.

4.练习

(1)确定下列三角函数值的符号，并借助计算器计算：

%

cos260°；sin(一•不)；tan(5%).

(2)求下列三角函数值：

17%23%

cos4；tan(^―)；sin(1140°).

问题8下课后，你走出教室，如果有人问你：“过去你就学习过锐角三角函

数，今天又学习了任意角的三角函数，它们的差别在哪里呢？"你怎么回答他？

意图：通过问题小结.不追求面面俱到，突出锐角三角函数是三角形中，边

长的比值，而任意角的三角函数是直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标,

或者是坐标的比值.

若时间允许，再问：“还有其他收获吗？”比如，终边相同的角的同一三角

函数相等；各象限三角函数的符号；任意角三角函数的定义域，等.

5、课堂小结：(1)三个三角函数的定义式；

(2)掌握特殊角的三角函数值。

6、作业：(1)、阅读本节教材内容

(2)、整理笔记

(3)、教材七练习A1、2

6、板书设计

课题正割=演练反馈（变式1）

1定义余割=

推导：余切=

正弦=例1总结提炼

余弦=

正切=

学情分析

角的概念已经由锐角扩展到0°~360。内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函

数概念也必须有所扩充。任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果。在此基础

上学习任意角的三角函数定义。

效果分析：

学生通过本节课的学习，了解了任意角的三角函数的定义式。并重点训练了

含参数问题，很好的达到了本节课的目标要求。

教材分析

1、教材的地位与作用

《三角函数的定义》是普通高中课程标准实验教科书《数学4》（人教版）

第一章第二节的内容，其主要内容是研究任意角的三角函数。三角函数是一个重

要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。它的基础主要是几何中

的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和式子变形，三角函数的研究

已经初步把几何与代数联系起来。它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重

要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基础。

任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点。无论

是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间

的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义。

本课为第一课时，主要是类比锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的

概念。

2、教学重点和难点

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；

教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关;

评测练习：

(1)哼57r，写出a的终边与单位圆交点的横坐标，并写出tana的

值.

(2)求下列三角函数的值：

(3)角a的终边与单位圆的交点是Q,点Q的纵坐标是1/2,说出

几个满足条件的角a.

(4)点P(3,—4)在角a终边上，说出sina,cosa,tana分别

是多少？

课后反思：

本节课内容较少，对三角函数的定义式的理解和运用还需进一步加强，先使学生对这

些知识有一定的理解，接下来逐渐加深，这也符合学生的认知规律。在课堂上还应该进一步

加强学生的主体地位，使他们更进一步的参与，调动他们主动学习的积极性。

课标分析：

三角函数在高考中一直都占据着重要的地位，在学习当中也不例外，特别是

目前新课标下的学习更显得重要。新课标的课程改革从理念、内容到实施都有较

大的变化，要实现教学课程改革的目标，教师是关键主导。在新课程标准中明确

提出教师要积极倡导和鼓励多种形式的教学模式，学生的学习模式。引导学生积

极主动地学习，掌握数学基础知识和基本技能以及他们所体现的数学思想方法，

发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，为未来的发展

和进一步学习打好基础。