高考数学一轮复习：正弦定理和余弦定理的实际应用

正弦定理和余弦定理的实际应用高考数学一轮复习1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.2.实际问题中的常用角3.解关于解三角形的应用题的一般步骤教材研读考点一测量距离问题考点二测量高度问题考点三测量角度问题考点突破教材研读1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在水平线①

上方

的角叫仰角,目标视线在水平线②下方

的角叫俯角(如图①).

(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30°,北

偏西45°等.(3)方位角从③

正北

方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的方位角为α(如图②).(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.(附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比)3.解关于解三角形的应用题的一般步骤(1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的

关系;(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;(3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;(4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算

等的要求.知识拓展实际测量中的常见问题续表1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向.

(√)(2)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=1

80°.

(✕)(3)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为

.

(✕)

(4)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的

位置关系.

(

√

)(5)方位角的大小范围是[0,2π),方向角的大小范围一般是

.

(√)答案(1)√(2)✕(3)✕(4)√(5)√

2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔

A在观察站C的北偏东20°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°的方

向上,则灯塔A与灯塔B的距离为

()

A.akmB.

akmC.

akmD.2akmB答案

B在△ABC中,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,∵AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=a2+a2-2a2×

=3a2,∴AB=

a(km),故选B.3.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为

()A.北偏西5°

B.北偏西10°C.北偏西15°

D.北偏西20°答案

B易知∠B=∠A=30°,C在B的北偏西40°的方向上,又40°-30°=10°,故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.B4.设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出A,C的距

离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则可以计算出A,B两点间的距离为

.

答案50

m解析由题意,易得B=30°.由正弦定理,得

=

,∴AB=

=

=50

(m).5.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点

的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB=

.

答案

解析因为∠D=30°,∠ACB=60°,所以∠CAD=30°,故CA=CD=a,所以AB=asin60°=

.

测量距离问题考点突破典例1如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一

段长度为300

m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,则P,Q两点间

的距离为

m.

答案900解析由已知,得∠QAB=∠PAB-∠PAQ=30°.又∠PBA=∠PBQ=60°,∴∠AQB=30°,∴AB=BQ.又PB为公共边,∴△PAB≌△PQB,∴PQ=PA.在Rt△PAB中,AP=AB·tan60°=900,故PQ=

900,∴P,Q两点间的距离为900m.方法技巧1.测量距离问题,无论题型如何变化,即两点的情况如何,实质都是要求

这两点间的距离,无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同

而已,恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础,将已知线

段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键.2.求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他

量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.1-1隔河看两目标A与B,但不能到达,在岸边选取相距

千米的C、D两点,测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A、B、C、

D在同一平面内),则两目标A、B之间的距离为

千米.

答案

解析在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,所以AC=CD=

千米.在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°,由正弦定理知BC=

=

千米.在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(

)2+

-2×

×

×cos75°=3+2+

-

=5,所以AB=

千米.所以两目标A,B之间的距离为

千米.

测量高度问题典例2为了测量某新建的信号发射塔AB的高度,先取与发射塔底部B

在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BDC=60°,∠BCD=75°,CD=40

m,并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°,且CE=1m,则

发射塔高AB=

()A.(20

+1)mB.(20

+1)mC.20

mD.(40

+1)mA答案

A解析如图,过点E作EF⊥AB,垂足为F,则EF=BC,BF=CE=1,∠AEF=30°.在△BCD中,由正弦定理得,BC=

=

=20

.所以EF=20

,在Rt△AFE中,AF=EF·tan∠AEF=20

×

=20

,所以AB=AF+BF=(20

+1)m.方法技巧高度也是两点之间的距离,其解法同测量水平面上两点间距离的方法是

类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的

三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.2-1如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D

的仰角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角,小王向前走了1200m到

达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,则电视塔CD的高度为

m.

答案600

解析在△ACM中,∠MCA=60°-15°=45°,∠AMC=180°-60°=120°,由正

弦定理得

=

,即

=

,解得AC=600

.在△ACD中,∵tan∠DAC=

=

,∴DC=600

×

=600

.测量角度问题典例3已知岛A南偏西38°方向,距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A

处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉

私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?

解析如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私

艇的速度为每小时x海里,结合题意知BC=0.5x,AC=5,∠BAC=180°-38°-22°=120°,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos120°,所以BC2=49,所以BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC=

=

=

,所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD,故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住

该走私船.方法技巧测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图

形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角

形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.▶提醒

方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄

清楚是哪一个点的方向角.3-1如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于A处)发现

在北偏东45°方向,相距12nmile的水面B处,有蓝方一艘小艇正以每小时

10nmile的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦察艇以每小时14nmile

的速度沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截

住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.解析如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经