第四章-放射性测量中的统计学

第四章放射性测量中的统计学第一节核衰变数和计数的统计分布第二节放射性测量的统计误差第三节放射性测量数据的检验第四节探测下限的确定方法第五节脉冲幅度分辨率第六节核脉冲事件的事件间隔分布2024/7/41第一节核衰变数和计数的统计分布一、核衰变数的统计分布二、计数的统计分布三、计数的合成2024/7/42放射性物质在一定时间内发生衰变的原子核数为一随机变量。但其具有一定的统计性。一、核衰变数的统计分布设t=0，放射性原子核个数为。任一核发生衰变的概率为，不发生衰变的概率为。t时间内观测到发生衰变的数目n可视为贝努里试验中“成功”事件发生的次数问题，其衰变原子核数n服从二项分布，有有n个原子核发生衰变的概率为：2024/7/43期望值和方差为：由于考察的原子核数目比较大，而一个核衰变的概率很小，因而有将上两式代入（4.1.1），并令，有其中2024/7/44上式正是泊松分布。其期望与方差相等，均为m。若m很大时，泊松分布将过渡到高斯分布（自行证明）。高斯分布概率密度为:其含义为2024/7/45一般通过查标准正态分布函数表进行计算。计算n落在区间内的概率为：解：

1.已知，因而有，由于放射性衰变服从正态分布，因而有例：在时间内，放射源放出粒子的平均值为。试求：1，在时间内放出108个粒子的概率；2，出现绝对偏差的概率。2024/7/462.标准化正态变量，令代入数值，由于对称性有查正态分布表得概率为因而有2024/7/47二、计数的统计分布粒子的探测为一随机过程，每个粒子入射到探测器上可能被记录，也可能不被记录。设N个粒子全部入射到探测器上，探测器的探测效率为p，被记录的粒子数构成一个贝努里试验，则探测器探测到n个粒子的概率为：N一定的前提下因而上式可表为入射到探测器上的粒子数N有涨落。设其服从泊松分布，即2024/7/48M为t时间内入射粒子数的期望。由全概率公式（1.1.10），得到计数n的概率分布P（n）为由次，这是以Mp为参数的泊松分布。考虑入射粒子的统计分布后，探测到的粒子服从泊松分布，期望为Mp。2024/7/49当计数值较大时，泊松分布也趋于高斯分布，因而可表为且三、计数的合成在一些研究中，需要处理好几个服从泊松分布的计数合成问题。由数理统计的相关知识知，几个独立的计数之和仍服从泊松分布。2024/7/410设t时间内由两个源引起的计数分别服从参数为的泊松分布。测到的总计数，由各种可能的组成，因而有n的概率P(n)为服从以为参数的泊松分布。2024/7/411第二节放射性测量的统计误差一、统计误差及其表示方法二、计数率的统计误差计算三、测量条件的选择四、平均效应的统计误差2024/7/412一、统计误差及其表示方法（一）什么是统计误差放射性测量中，计数值是个随机变量。实验测量所希望知道的准确值为计数值的期望，其为无限次测量计数值（相同条件下）的平均值，称真平均值。实际测量为单次或者有限次测量，只能得到真平均值的一个估计量，给结果带来了误差。放射性测量的统计误差与一般非放射性物理量测量中的随机误差有根本的差别。由放射性核衰变和射线与物质相互作用过程的随机性造成的误差，称为统计误差。2024/7/413统计误差随机误差由测量中有各种随机因素影响到测量结果，或者是测量过程由测量仪器和方法不够精密所致，而待测物理量不变。由待测物理量本身的随机性所引起。（二）表示方法与随机误差的表示方法一样，统计误差用相应于一定置信概率的置信区间来表示。最常用的方法是用标准误差来表示。2024/7/414若计数为N时，则M为真平均值，但未知，一般可用有限次测量平均值或者单次测量值近似替代，因而有也可按标准偏差计算，有 为第次计数值，为算术平均值。2024/7/415a.单次测量情况：一次测量，计数为N，则可把结果表为：含义为：给出了真平均值的置信概率为0.683的置信区间。由（4.2.3）知，标准误差随计数值N增大而增大，能否认为N越大，测量反而变得越不精确？相对误差表示为：测量精确程度应该用相对误差来表征。2024/7/416结论:N越大，相对误差越小，精确度越高。K次测量时，样本平均值作为真平均值的近似值，其表示为：b.多次测量情况：因而的标准误差为：2024/7/417测量结果可报道为：的相对误差为：由此可见，相对误差只与测量累积的总计数有关，而与所测量的次数无关。除用标准误差表示外，还有其它置信概率的置信区间表示，一般为K是相应于所选择的置信概率的置信系数。2024/7/418二、计数率的统计误差计算（一）求计数率的误差（无本底情况）a.单次测量情况：t时间内N个计数，则计数率n为其误差为2024/7/419结果表示为此式表明，计数率的相对误差只与总计数的大小有关，且与总计数的相对误差一致。b.多次测量情况K次测量，测量时间为，计数值为,各次测量的计数率及其方差为：

2024/7/420由于各次测量时间不一定相同，因而各次测量的计数值的方差也不一定相同，它们为不等精度测量。因而需引入权重因子。权重因子为:由此得2024/7/421结论：平均计数率的相对误差只与测量累积的总计数有关，而与测量次数和各次测量时间的分配无关。（二）在有计数本底时求计数的误差a.定时计数情况为得样品净计数率，需进行两次测量：第一次，测本底，时间内本底计数为；第二次，测样品，时间内样品计数（包括本底）为。2024/7/422样本净计数率为：分别为样品（包括本底）计数率和本底计数率。净计数率的误差为：结果表示为：2024/7/423b.定数计时情况计数达到预定计数N所需时间为t。此时，t为一个随机变量。样品和本底所预定计数分别为，测量时间为，则样品净计数率为：净计数率的误差为：2024/7/424结果跟定时计数的情况一致。结果表示为：例：测量样品8分钟的计数200个，测本底4分钟的计数72个，求样品净计数率及误差。解：由题知因而净计数率为2024/7/425三、测量条件的选择（一）测量时间的确定无本底时，计数率、测量时间、相对误差满足如下关系：a.无本底情况因而结果表为2024/7/426因而知道其中两者，由上式，就可以求出第三者。b.有本底情况合理分配样品和本底测量时间，使得在规定时间t内结果的误差为最小。即由数学条件极值问题有2024/7/427得相应的时间分配为：计数率的最小相对误差为：在计数率相对误差给定情况下所需的测量时间为2024/7/428

若测的样品计数率为，本底计数率约为，要求净计数率相对误差，问所需时间及如何分配最好？例：解：由题知则由得2024/7/429（二）测量装置工作状况的选择更换探测器或改变探测器工作条件（工作电压或甄别阈）时，本底计数率和探测器效率也随之改变，那么根据什么标准来选择工作条件？一般从减小系统误差角度来考虑。要求选择在给定时间内使测量结果误差为最小（或在给定误差下使测量时间为最小），即是取最小值。不同的值将导出更进一步的准则。2024/7/430低水平测量时，，净计数率正比于探测效率，因而有，好的探测器应给出最小的。其倒数称为探测装置的优质因子。选择探测效率大而本底计数率小的探测器对低水平的测量非常重要。四、平均效应的统计误差探测装置分两类：第一类通过脉冲来计数，第二类通过辐射平均效应量来计数。前面都是讨论第一类情形，由于放射性衰变的随机性，使得通过辐射平均效应量来计数也有统计涨落。2024/7/431先以率表电路为例来讨论设平均计数n，且每个脉冲给电容C充电量为q（常数）。时间内，对电容C充电量为时刻，电容C的电量为设2024/7/432则时，电容C剩余的电量为当时，即充电足够时间后，C上电量到达稳定并为最大由于计数涨落，因而累积电荷也有相应的涨落。时间内入射粒子的标准误差为相应电荷增量的标准误差为2024/7/433则电容C上电量的标准误差为平衡（）后有Q的相对误差，即率表指示的相对误差为：结论：n和RC越大，率表越精确。若n较小要达到同样精度就要增大RC。但RC较大时，率表建立时间也长。因而要根据n的大小和对误差的要求适当选取RC。对比前面讨论有率表进行测量所得结果的误差，与定标器在2RC时间内测量所得结果的误差一致！2024/7/434第三节放射性测量数据的检验一、两次测量值差异的检验二、对一组计数值的检验三、分布类型的检验2024/7/435放射性测量数据检验的目的：①帮助检查测量系统的工作和测量条件是否正常和稳定，判断在测量中除统计误差外是否还存在其它的随机误差或系统误差；②对测量数据间的差异更有根据地进行分析，判断是统计误差涨落引起还是测量对象或测量条件变化引起。一、两次测量值差异的检验同一条件下，两次测量，计数分别为。其差异为多大时，怀疑其可靠性？2024/7/436设为服从同一正态分布的两个随机变量。因而也为正态变量。期望为0，方差为。则的概率密度为其中作变量代换并写出2024/7/437检验步骤：首先，给定任意小的概率（显著度或显著水平），查表得值见下表；其次，由实验计数值差异并以的倍数K来表示；最后，比较与的大小，若认为差异显著，怀疑有虚假计数存在；反之，没有理由怀疑。与对应的几个典型数据2024/7/438例：两次计数是1128和1040，试检验数据可靠性。解：由题知则查表得取显著水平由于故按水平，认为差异不显著，没有理由怀疑数据部可靠。2024/7/439二、对一组计数值的检验同一条件下测得一组数据为。将每个量作为一随机变量，则其服从同一正态分布。则由其组合的随机变量服从自由度为K-1的分布，可利用双边检验。由于样本方差是方差的无偏估计值，因而还可比较样本方差和标准误差的大小关系来检验。2024/7/440例：用一个计数管测得了6个计数值：242、241、249、246、236、250。问这组数据正常否？解：由题中数据可计算出自由度为取进行单边检验，查表得由于因而怀疑这组数据的可靠性！2024/7/441三、分布类型的检验当一批数据量很大时，可将数据分组用皮尔逊检验方法。其具体步骤在第二章已经详细讨论过。2024/7/442第四节探测下限的确定一、判断限二、探测下限三、定量下限2024/7/443在低水平测量中，由于探测器探测到的粒子和本底计数具有统计涨落，怎么通过探测器的计数来判定样品是否有放射性呢？一、判断限待测样本的放射性，通过所测得净计数来确定（两次测量）。设两次测量时间相等，则设两次测量计数均服从正态分布，则净计数也服从正态分布，其概率密度可表为：2024/7/444为净计数的期望和标准误差。净计数的标准误差为：为的期望。由于涨落的存在，不能简单的认为“，样本有放射性；样本中无放射性。”判断有无放射性的标准为:选取一个大于零的数，记为。若样本中有放射性；若，则说明测不到放射性。作为判断样本中有无放射性所选择的这样一个净计数的判据值叫判断限。2024/7/445判断时犯的两类错误：①错误，样本中没有放射性，而结果判断其有放射性；②错误，样本中有放射性，但判断其无放射性。错误的概率为，则作变量代换，则上式可化为其中因而有2024/7/446为（样品中无放射性）时，样品净计数的标准误差。由正态分布表，可查出和的对应值。在零假设成立下，则有因而若本底通过多次测量准确求出，即，因而有即，本底准确知道时，可减小倍，从而判断限也减小倍。2024/7/447此时判断限为总之，判断限由第一类错误的概率决定，其值取得大，则第一类错误概率就小，也不能太大，将影响探测下限的选取，或使第二类错误概率变大。因视具体情况而定。二、探测下限在判断限确定后，究竟样品中至少要多少放射性才能保证其净计数不低于判断限而被漏测？探测下限是根据这一要求所定出的一个净计数的期望，用表示。2024/7/448设样品中有放射性，其净计数期望为。发生第二类错误的概率为，则可表示为积分区域见下图2024/7/449由于对称性质，上式积分可化为：作变量代换并令则有2024/7/45