高中数学-二项式定理教学设计学情分析教材分析课后反思

【课标分析】

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种

特殊的多项式一一二项式的乘方的展开式.这一小节与很多内容都有

着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着乘上启下的作用.学习

本小节的意义在于：①二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一

的二项分布有其内在联系，本小节是学习概率知识及概率统计的准备

知识；②二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得

到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识；③基于二项

展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的

变形起到复习、深化的作用；④二项式定理是解决某些整除性、近似

计算等问题的一种方法.

教材的安排：教材中是通过〃取一些特殊值(1,2,3,4)的基

础上，观察归纳出二项式定理，强调要分析清楚式子展开并进行同类

项合并后有哪些项及各项系数的一些规律，教材采用的是不完全归纳

法，没有进行严谨的证明.教材随后安排了四道例题，是对二项式定

理的简单应用.

【学情分析】

本节课采用启发探究式教学.通过学生小组合作交流、师生对话

交流等方式，引导学生自主探究，合作交流.

1.课前准备工作

为便于管理和探究，将学生随机分组，每组3-4人左右.

2.课堂探究过程

探究内容为二项式定理的内涵，包括项数、指数、系数等方面的

规律内容.

采用小组内合作探究方式，组间交流、置疑、点评.

组内探究要求有分工，有合作，有交流.并推选交流发言代表.

在探究过程中，学生和组内其他同学进行探讨和辩论，通过不同

观点的交锋来补充、修正或加深自己对当前问题的理解，从而完善自

己的研究成果.

3.课堂交流过程

（1）小组汇报

小组内推选汇报交流发言代表，其他同学自由补充.

（2）组间置疑

小组汇报后，对不同意见或不清楚的地方，提出置疑.

（3）师生点评

对汇报展示与置疑的同学进行点评，及时鼓励、表扬，保持学生

学习热情，通过交流，学习他人的研究成果，充实自己.

（4）教师引导

对部分内容，如二项式系数的确定，教师适时，适度引导.

4.预期效果分析：通过本节课的学习，在知识面上，期望学生

能够理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能

对二项式定理进行简单应用；在思想和能力面上，期望通过教师指导

下的探究活动，使学生经历数学思维过程，熟悉理解“观察一归纳一

猜想一证明”的思维方法，培养合作的意识，获得学习和成功的体验；

通过对二项式定理内容的研究，使学生体验特殊到一般发现规律，一

般到特殊指导实践的认识事物过程，通过对二项展开式结构特点的观

察，使学生体验数学公式的对称美、和谐美.

1.（x-2y>°的展开式中共有（）

A.10项B.11项C.12项D.9项

2.（x-J万"'展开式中炉的系数是（）

A.-8C,oB.8C]oC.-4C,oD.4Cf0

3.设5=(彳-1)3+3。一1)2+3。-1)1+1,则5等于()

A.(x-1)3B.(x-2)3C.x3D.(x+1)3

4(x+2y)8的二项展开式中，第4项的系数为第4项的二项式系数为一

5.(l+2x)5的展开式中第三项的系数为,第三项的二项式系数

为.

负求(24一的展开式中的常数项和有理项

评课记录：

本次评课活动由数学教研组长李知屹老师主持。

首先颜老师介绍这节课的设计过程：

李知屹老师：本次研讨课的宗旨在于如何提高学生自主学习能力，使我们的课堂更高

效。颜老师这节课在这方面下了很大的功夫，收到了很好的效果，基本完成教学目标。在教

学过程中，颜老师一方面注重知识的讲解，另一方面更注重学生的活动。本节课的学生活动

设计新颖，大胆尝试，给学生更多的发挥空间.本节课还非常注重数学知识和实际生活的结

合，学生自己设计例题，更能贴近生活，让学生体会到数学知识就在我们身边，更能激发学

生学习数学的兴趣。本节课的不足在于，教师学生的生成问题分析的略显不足，部分问题讲

解的不够透彻，还需在以后的教学过程中加强。

程若礼老师：这堂课设计的非常新颖，教学效果非常好。在授课过程中可以看出，颜

老师教学基本功扎实，个人素质较强，有很好的发展潜质。颜老师对课堂的把握能力很强,

很好的处理了课堂上的突发状况，对教学重难点分析的也很到位。在教学中不仅注重了学生

的自主学习，还渗透了德育教育，这点难能可贵。本节课的难点是两个原理的区分，教师拿

捏得很好，从学生反馈情况看，基本完成教学目标。但是本节课也有不足，就是对学生基本

功德落实有所欠缺，学生落实书面步骤的过程较少。希望在以后的教学中，年轻教师不但注

重知识的讲授，更要关注学生的落实情况。

傅平修老师：颜老师的课给我的最大感受对学生的关注，这堂课让学生自己的创设例

题，自己解答，我觉得这能更好的帮助学生掌握知识，是一种很大胆的尝试，效果非常好。

咱们以往的教学注重的是知识的讲解，数学紧密联系生活做的不够，这堂课采用的这种模式

值得我们大家借鉴、推广，数学教学在这种氛围下可能更高效。我发现学生也更能放开自己，

积极参与到教学环节中去，由被动接受变为主动参与，这和新课标的教学理念是不谋而合的，

教师在教学过程中也是很放松的。这节课的不足之处是，教师对部分学生创设的例题讲解的

不够透彻，对学生很多生成问题把握不到位，有些地方处理的太仓促。

孙逵老师：颜老师在准备这堂课的过程中，全组老师献计献策，给了颜老师非常大的

帮助，可以说，这节课是全组老师共同智慧的结晶。我觉得教学就是在这种不断地讨论中发

展进步的，这种磨课对年轻教师的帮助是非常大的，希望学校和教研组多组织这种活动，给

年轻教师提供发展的平台。

【教材分析】

二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节，是排列组合内容后

的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的

知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二

项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广

的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用

二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除

问题、不等式的证明等。

选修2-3第一章计数原理

第三节二项式定理（第一课时）

课型：新授课

高中数学《二项式定理》教学设计

【教学设计思想】

教学设计思想

现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学

过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究

与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力.

二项式定理这部分内容比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、

建构知识网络，是本节课教学设计的核心.

我采用启发探究式教学方式：

一是从实际应用问题引入课题。这里体现了新课程的数学应用意识的理念，使学生体会

到数学不仅是为了学数学，还可以学以致用，用来解决现实生活的问题.

二是从特殊到一般。面对一般问题,学生会想到从特殊情况入手，让学生自己探究〃=1,

2,3,4,…时二项展开式的规律，观察发现二项式定理的基本内容.

三是采用小组合作、探究的方式。小组内的同学共同归纳二项式定理的内容，由特殊推

广到一般.

四是教师的启发与学生的探究恰当结合。本节课的难点在于确定二项展开式中，每一项

的二项式系数，对于平行班的学生，真正能独立归纳出来，有一定的困难，教师在此时的引

导启发，就显得尤为重要.

本节课，学生通过对〃=1,2,3,4,…时二项展开式的观察，归纳、猜想到“为任意

正整数时的二项式定理内容，并真正理解二项式系数的意义。这样设计的目的是为了让学生

参与知识的发生、发展、深化的过程，学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思

维方法的过程，提高数学修养.

本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳，有利于学生对二项式定理的识记，同时

还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美.

学生情况分析

学生为平行班学生，有一定的数学基础.学生理解组合及组合数的概念，掌握了多项式

乘法的运算法则，有一定的归纳猜想能力，能顺利完成课时计划内容.

学生有过探究、交流的课堂教学的尝试.

教学流程框图

教学诊断分析

在本节内容的学习中，学生容易了解的内容是二项展开式的项数、指数和系数的规律，

即项数：〃+1项；指数：字母人的指数和为〃，字母4的指数由〃递减至0,同时，字

母6的指数由0递增至〃：二项式系数：下标为〃，上标由0递增至“；

容易产生误解的内容是:通项丁川=。，"一'"指的是第r+1项;通项的二项式系数是C：,

与该项的系数是不同的概念(在第二课时会进行探讨)。

【教学方式及预期效果分析】

本节课采用启发探究式教学.通过学生小组合作交流、师生对话交流等方式，引导学生

自主探究，合作交流.

1.课前准备工作

为便于管理和探究，将学生随机分组，每组3-4人左右.

2.课堂探究过程

探究内容为二项式定理的内涵，包括项数、指数、系数等方面的规律内容.

采用小组内合作探究方式，组间交流、置疑、点评.

组内探究要求有分工，有合作，有交流.并推选交流发言代表.

在探究过程中，学生和组内其他同学进行探讨和辩论，通过不同观点的交锋来补充、修

正或加深自己对当前问题的理解，从而完善自己的研究成果.

3.课堂交流过程

(1)小组汇报

小组内推选汇报交流发言代表，其他同学自由补充.

(2)组间置疑

小组汇报后，对不同意见或不清楚的地方，提出置疑.

(3)师生点评

对汇报展示与置疑的同学进行点评，及时鼓励、表扬，保持学生学习热情，通过交流，

学习他人的研究成果，充实自己.

(4)教师引导

对部分内容，如二项式系数的确定，教师适时，适度引导.

4.预期效果分析：通过本节课的学习，在知识面上，期望学生能够理解二项式定理及

其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；在思想和能力面

上，期望通过教师指导下的探究活动，使学生经历数学思维过程，熟悉理解“观察一归纳一

猜想一证明”的思维方法，培养合作的意识，获得学习和成功的体验；通过对二项式定理内

容的研究，使学生体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程，通过对

二项展开式结构特点的观察，使学生体验数学公式的对称美、和谐美.

【教学目标与教学内容】

本节课时高中数学第二册(下A)10.4二项式定理第一节课.

本节课的学生起点：学生已经学习了组合的基本知识，初中学习了多项式乘法.

本节课是在组合和多项式乘法的基础上，进一步研究学习二项式定理的内容.这一内容

我共安排两课时，这是第一课时.

1.教材分析：

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式一一二项

式的乘方的展开式.这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着

乘上启下的作用.学习本小节的意义在于：①二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一

的二项分布有其内在联系，本小节是学习概率知识及概率统计的准备知识；②二项式系数都

是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合

数的认识；③基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的

变形起到复习、深化的作用;④二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法.

教材的安排：教材中是通过〃取一些特殊值(1，2,3,4)的基础上，观察归纳出二项

式定理，强调要分析清楚式子展开并进行同类项合并后有哪些项及各项系数的一些规律，教

材采用的是不完全归纳法，没有进行严谨的证明.教材随后安排了四道例题，是对二项式定

理的简单应用.

重点：二项式定理的内容及应用

难点：二项式定理的推导过程及内涵

2.内容分析：

(a+b)"=C"+2+...+C””+...+c»"(neN*)

对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展

开式.

3.教学目标：

知识技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定

理进行简单应用.

过程方法：通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，熟悉理解“观察一归纳一

猜想一证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验.

情感、态度和价值观：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般

到特殊指导实践的认识事物过程：通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称

美、和谐美.

4.教学过程

一、设置情境，引入课题

问题:今天是星期五,7天后的这一天是星期几呢？15天后的这一天呢？

你能设计一个算法，计算n天后是星期几吗？

算法：用〃除以7,看余数是多少，再用五加余数来推算。

那么若今天是星期五，再过8i0°天后的那一天是星期几？

这就得研究形如8100=(7+1),0°的展开式.

二、探索研究二项式定理的内容

问题：①+与"的展开式有什么特点？你能将它展开吗？试一试.

［学生分组探究］

学生可能的探究方法1：

由(a+Z?)'=a+8=C1°«+C\b

22222

(a+b)=a+2ab+b=C°a+C'2ab+C］b

(a+b)3=+3a2b+3ab°+b3=C°a3+C\a2b+C］ab2+C\b3

44

(a+b)=a+4/6+6a?/+4加+/=+端1+*/+加+

学生可能通过具体的例子来展开说明，

如：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

或(a+b)*=a4+4a3b+6a2h2+4ab3+Z?4

学生归纳过程可能如下：

以(a+b)4为例的展开式的分析过程：

(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因

而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：a\a3b,a2b2,ab\b4.

［学生可能归纳出来：(1)每一项中字母”，人的指数之间的关系(2)项的个数有〃+1

项］

在上面4个括号中：

每个都不取人的情况有1种，即C：种，所以/的系数是C：；

恰有1个取人的情况下有C；种，所以a3b的系数是C；；

恰有2个取人的情况下有C；种，所以/从的系数是C>

恰有3个取匕的情况下有C：种，所以的系数是C：；

4个都取人的情况下有C：种，所以/的系数是C：；

4432234

因此(a+b)=C>+C'4ab+C1ab+C\ab+C>.

［归纳、猜想(a+用"=?］

2n22n

(a+/?)"=C>"+C'na'-'b+Cna-b+…+C/f+…+C'h(〃eN")

教师根据情况进行指导和引导，尤其是各项二项式系数的确定，教师要从各项中a,b

指数的含义如来引导，并要求学生说明怎么得到这些项？教师可以通过电脑演示各

形式项的形成过程，将学生的思维过程展示.

学生可能的探究方法2：

(a+h)n=(«+b)(a+b)(a+h)---(a+b),共"个(a+。)，依据多项式乘法，直接写

出各项.

［学生成果展示，可通过具体实例：通过投影、板书或口述］

问题：希望学生得到的规律

(1)项数：〃+1项；

(2)指数：字母a,人的指数和为〃，字母。的指数由〃递减至0,同时，字母b

的指数由0递增至〃；

(3)二项式系数是C，,C：,C：,…,C：…,C：

rnr

(4)通项：Tr+l=Cna-'b

［板书(1),(2)］

［规律(3)得到后,板书(a+。)""-方+•••+_/)

［规律(4)得到后，补全二项式定理板书］

教师引导中，可能用到的引导问题：

(1)将(。+。)"展开，有多少项？

(2)每一项中，字母。，6的指数有什么特点？

(3)字母a,%的指数的含义是什么？是怎样得到的？

(4)如何确定a"'//的系数？

教师引导学生观察二项式定理，从以下几方面强调：

(1)项数：”+1项；

(2)指数：字母。，b的指数和为〃，字母。的指数由〃递减至0,同时，字母力的

指数由0递增至〃；

(3)二项式系数：下标为“，上标由。递增至“；

(4)通项：7:…〃指的是第r+1项，该项的二项式系数是C；

(5)公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(。+加”的二项展开式,

上面的定理是用不完全归纳法得到的，将来可以用数学归纳法进行严格证明.

三、二项式定理的应用

1.解决本节课开始提出的问题.

1001001000010

v8=(7+1)=C,oO7+C：0G799+…+q0071Tl0(1+10%)=10(1+0.1)'°

2

=1O(1+C；OXO.1+C?OxO.l+---)+---+C^7'+C器7°

：.8,(X)被7除的余数是1,因此胡00天后的这一天是星期六.

备选例题

2.展开(1+2x)4

解:(l+2x)4(2x)。+C；r(2x)i+C〃2(2x)2+(2x)3+C：l°(2x)4

=1+8x+24%2+32/+16x4

思考1.第三项的系数是多少？

思考2.第三项的二项式系数是多少？你能得到什么结论？

［板书：.二项式系数与项的系数是两个不同概念.］

思考3.若本例只求第三项的二项式系数，你还可以怎么处理？哪种方法更好？

四、归纳小结

1.学生的学习体会与感悟；

2.教师强调：

(1)主要探究方法：从特殊到一般再回到特殊的思想方法

(2)从特殊情况入手，“观察一一归纳一一猜想一一证明”的思维方法，是人们发现事

物规律的重要方法之一，要养成“大胆猜想，严谨论证”的良好习惯.

(3)二项式定理每一项中字母a,人的指数和为〃，。的指数从〃递减至0同时。的

指数由0递增至〃，体现数学的对称美、和谐美.二项式系数还有哪些规律呢？希望同学们

在课下继续研究、能够有新的发现.

五、作业P121习题10.42,4,5

1、本节课以“二项式定理”的形成过程为主线，让学生思维由特殊

到一般，演绎、归纳，得出定理。培养学生猜想、归纳，整节课以学

生为主体，师生互动，体现了新课标的教学理念。

2、在例题、练习、作业的配备上，我认为高中学习的特点是跨度大，

思维能力要求高。因此，在题目的设置上，加大了思维的含量，让学

生体会到二项式定理形成过程中的思维方式，培养了学生的知识迁移

能力，因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须

有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方

法去学习数学、认识数学。

3、以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调动学

生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力，从数学教

育对人的发展的意义看，有效理解、主动探索的认识过程必然伴随着

学生心理意