高中数学学案1：高中数学人教A版2019必修 第一册 三角函数的图象与性质

第五章三角函数

5.4.3正切函数的图像与性质

学习目标

1、理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。

2、能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

3、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。

4、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会三角函数线的作用。

重点难点

重点：掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性;

难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。

知识梳理

1.正切函数的图象:

JI

正切曲线是被相互平行的直线x=—+k^，所隔开的无穷多支曲线组成的.

乙Aez

值域—

周期

奇偶性—

单调性

在开区间_____________________内都是增函数

学习过程

提出问题

(1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象

与性质？

(2)你能用不同的方法研究正切函数吗？

有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再

利用性质研究正切函数的图象.

问题探究

1.周期性

由诱导公式tan(%+n)=tan%,xGR,且％吗+1＜门，kCZ,可知，正切函数是周期函

数，

周期是n.

2.奇偶性

由诱导公式tan(—%)=—tanx,%GR,且x“，kGZ,

可知，正切函数是奇函数.

你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？

可以先考察函数丫=tan%,%G[0,全的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性

进行拓展.

如何画出函数y=tanx,xe[o,^)的图象的图象？

如图5.4.9,设支£[0,苏，在直角坐标系中画出角》的终边与单位圆的交点B(比，yo)

过点B作％轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作工轴的垂线与角％的终边交于点T,

则

图5.1-10

图5.1-9

由此可见，当xW[O（）时，线段AT的长度就是相应角％的正切值.我们可以利用线段

AT画出函数丫=tanx,久6[0,$的图象，如图5.4.10所示.观察图5.4.10可知，

当工£[0彳）时，随被工的增大，线段AT的长度也在增大，而且当％趋向于却寸，AT的长

度趋向于无穷大.相应地，函数y=tan%,%w[0,$的图象从左向右呈不断上升趋势，

且向右上方无限逼近直线X=]

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？

正切函数的图象有怎样的特征？

根据正切函数是奇函数，只要画丫=tan%,XG[0,J）的图象关于原点的对称图形,

就可得到丫=12n久，％e（-*0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数y=ta7ix,

xe（-今今的图象向左、右平移，每次平移n个单位，就可得到正切函数％GR,且

g+kn,kGZ的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图5.4.11）.

从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与y轴平行的一系列直线％=”kn,kez

所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.

3.单调性

观察正切曲线可知，正切函数在区间（《，》上单调递增.

由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间（£+k7T,1+k7T）,kCZ,上都单调递

增.

4.值域

当％6(-今今时，ta九龙在(-8,+8)内可取到任意实数值，但没有最大值、最

小值.因此，正切函数的值域是实数集R.

典例解析

例6.求函数丫=位*％+小的定义域、周期及单调区间.

达标检涮

1.函数尸tanfJI彳JI且xWOj1的值域是()

A.[T,l]B.[-1,0)U(0,1]

C.(—8,1]D.[―1,+°0)

2.函数/'(x)=tan(x+高的定义域是,4看)

3.函数尸一tanx的单调递减区间是.

4.函数y=|tanx|的周期为.

5.(1)求函数y=tangx—3的单调区间；

(2)比较tan(——与tan(一亍的大小.

课堂小结

让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些?

知识上：正切函数图像和性质及简单应用

思想方法上：类比思想，整体代换思想。

参考答案：

一、知识梳理

(nn、n

R;口奇；一3+An，方+AnA-GZ；-Ir

l/乙)I3I

二、学习过程

例6.分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.

解：自变量》的取值应满足;=x+gW]+kw,keZ；即;4^i+2k,kez

所以，函数的定义域是卜卜w1+2k,k£Z}

设z=yx+p又tan(z+兀)=tanz,

所以tang%+力+兀尸tm(1%+小；即；tan[y(%4-2)4-^\=tan(；%+g

因为{久,W：+2k,kez},

都有tan[三(％+2)+^]=tan(5%+三)

所以，函数的周期为2.

由一&+kji<—x+<—+/c7r,kSZ;解得；-g+2/c<x<-+2k,keZ

因此，函数在区间(—3+2k,l+2/c),kez,上单调递增.

三、达标检测

1【解析】根据函数的单调性可得.

【答案】B

JlITJT

2.【解析】由题意知+k(AWZ),即xWp+An(ACZ).

OZ3

n(JI1/JTn\r-

故定义域为"x+—,A£Z'，且/H-|=tan|—+—1=-73.

【答案】km'小

o

3.【解析】因为y=tanx与尸一tanx的单调性相反，

所以y=—tanx的单调递减区间为［一5，5(aGZ).

(nn\

【答案】［一7+0,5+4”J(MZ)

4.【解析】作出尸|tanx|的图象，如图所示.

由图可知，函数y=|tan'的最小正周期是n.

【答案】n

JI1JIJIJT3n

5.【解】(1)由A"—另<x—+歹(4£2)得，2An一于<x<2An+-^-(AeZ),

乙乙d乙乙乙

f1n)(JI3兀、

所以函数夕=1@"/才一"的单调递增区间是12A冗一5,24兀+/-J(A£Z).

/\」_丁(13吟(人,3nA3nn

⑵由于tan1-—--l=tanl_4Ji+-l=tan-—tan-,

12n(,2n2冗JI2Jin

tan=­tanl2n+~=­tan又仅不可〈万'