高中数学 预测题

预测题（2）

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分在每小题给山的四个选项中只有一

项是符合题目要求的.

1.设全集"=14,集合4=3/-2》<0},8={尤|X>1},则集合40匕8=（）

A.{x|0<x<l}B.{x|0<x<l}

C.{x|0<x<2}D.{x|x<l}

2.复数z=」一（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）

1-/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.给出如下四个命题：

①若"P且q”为假命题，则p、g均为假命题；

②命题“若"b,则2a>2一”的否命题为“若a。,则2"42〃一1”；

③“VxeR,x2+121”的否定是“HreR,f+lWl”；

④在△ABC中，“4>8”是“sinA>sin8”的充要条件.其中不爪理的命题的个数是

（）

A.4B.3C.2D.1

4.如图所示是以建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆0.2kg,

则共需油漆大约公斤数为（尺寸如图所示，单位：米,页取3)()

A.20B.22.2

C.IllD.110

5.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，

抽出了一个容量为〃的样本，其频率分布直方

图如图所示，其中支出在［50,60）元的同学有

30人，贝IJ〃的值为（）

A.90B.95C.100D.110

6.已知直线/_L平面a,直线〃？u平面B,给出下列命题：

①②a_LB=l〃m③l〃m=>a±P④a〃6

其中正确命题的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①③D.②④

7.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是(

A.2010

B.-1

D.2

8.从四棱锥S—ABCD的八条棱中任取两条，其中抽到两条棱成异面直线的概率为()

A.-B.-C.-D.-

7277

9.已知aeR,则“a<2”是“|x-2|+|x|>a恒成立”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

jrjr

10.将函数f(x)=2sin(s--)(。>0)的图象向左平移一个单位，得到函数产g(x)的图

33a)

7T

象.若尸g(x)在［0,二］上为增函数，则口的最大值()

4

A.1B.2C.3D.4

7171

—69«—・'・GW2。

42

11.如图，在/XABC中,AD=2DB,AE=3EC,CD与BE交于F,

设A3=a,AC=6,4尸=xa+)仇则(x,y)为()

A.)B,)

3243

3329

C-(〒力民q，而)

12.已知函数/a+i)是偶函数，当1<%<9时，

"(々)-〃内)](工2-网)>。恒成立，设

〃=/(一；)力=f(2),c=/(3),则a,b,c的大小关系为

)

A.b<a<cB.c<b<aC,b<c<aD.a<b<c

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

13.设°=[$吊；1公，则曲线y=xa*+ax-2在x=1处切线的斜率为.

4+21n2

14.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x-2)2+y2=l都相切，

则双曲线C的离心率是.

3x-y-6<0

15.设满足.x-y+2±0,若目标函数z=ax+y(a>0)的最大值为14,则a=_

x+y>3

16.下列给出的四个命题中：

①已知数列｛aj,那么对任意的ndN.,点P0(n,an)都在直线y=2x+l上是｛aj为等差数

列的充分不必要条件；

②“m=-2”是“直线(m+2)x+my+l=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的必要不充

分条件；

③设圆x'+V+Dx+Ey+fR与坐标轴有4个交点,分别为A(xs0),B(x2,0),C(0,y.).D(0,

为)，则Xix2-yiy2=0；

④在实数数列｛aj中，已知ai=0,Ia2|=|a1-l|,|a3|=|a2-lI,•，,,an|=|a„i-l|,

贝ijai+az+as+ai的最大值为2.

其中为真命题的是(写出所有真命题的代号).

三、解答题(共6个小题，共74分)

17、(本小题满分12分)

设函数f(x)7^cos%>x+sin(oxcos(ox+a(其中CD>0,aeR),

且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为色.

⑴求3的值；⑵如果f(x)在区间[一,工]上的最小值为镉，求a的值；

(3)证明：直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.

18.(本小题满分12分)

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间T(单位：年)有关，若T41,则销

售利润为0元；若1<T<3,则销售利润为100元，若T>3,则销售利润为200元.设每台该种

电器的无故障使用时间TV1,1<T43,T>3这三种情况发生的概率分别为&g,鸟，又知几巴

为方程25x2-15x+a=0的两根，且g=[.

(1)求耳,鸟,鸟的值；

(H)记J表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求看的分布列及数学期望.

19.(本小题满分12分)

如图，四边形4BCO是圆柱。。的轴截面，点尸在圆柱。。的底面圆周上，G是DP的中

点，圆柱0。的底面圆的半径。4=2,侧面积为86万，ZA0P=\20°.

(1)求证：AGVBD-.

(2)求二面角P-4G-8的平面角的余弦值.

20.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=al+%X(QKO)的导函数/'(x)=—2x+7,数列J｛%｝的前〃项和为S“，

点?€N*)均在函数、=f(x)的图象上.

(I)求数列｛%｝的通项公式及S“的最大值；

(H)令4=序，其中〃eN*,求｛nbn］的前〃项和.

21.(本小题满分12分)

若椭圆片：二+二=1和椭圆当：£+二=1满足4=%=〃?(加＞0),则称这两个椭

a；b「a2b2a｝济

圆相似，机是相似比.

LY2V2

(I)求过(2,灰)且与椭圆二+乙=1相似的椭圆的方程；

42

(ID设过原点的一条射线/分别与(I)中的两椭圆交于A、B两点(点A在线段0B上).

①若P是线段AB上的一点，若10A|、IOP|,IOBI成等比数列，求P点的轨迹方程;

②求­|。耳的最大值和最小值.

22.(本小题满分14分)

设函数/(x)=(2-a)lnx+」+2ax.

x

(I)当4=0时，求/(X)的极值；

(1J)当aw0时，求/(x)的单调区间;

(Ill)当a=2时，对任意的正整数〃，在区间［,,6+〃+工］上总有机+4个数使得

2n

/(«1)+/(«2)+/(«3)+••■/(«„,)</(%,+J+/(5+2)+/(5+3)+/(%+4)

成立，试问：正整数机是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理山.

参考答案

一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分在每小题给山的四个选项中只有一

项是符合题目要求的.

1.B

解析：品3=卜,41},A={x|0<x<2),故AnCuBjxIOcxWl}。

2.A

解析：由题z=—!—=—―—=-+-i,所以在复平面上对应的点位于第一象限。

1-z(1-0(1+022

3.C.

解析：②④正确

4.B

解析：该建筑物上部为圆锥，下部为正四棱柱，总的表面积为：

1,,

S=4x3x4+—x5x2乃x3+乃x3--33=22.2。

2

5.C

30

解析：由图可知在［50,60)元的同学占有的频率为0.3,所以也=0.3,解得〃=100。

n

6.C

解析：。〃6=>直线/，平面B,由于直线加u平面B・・.l±m故①正确；由l〃m,

直线/_L平面Q可推出直线平面a,而直线mu平面B，Q_LB故③正确。

7.D

解析：由题可知执行如图的程序框图可知S=-l,-,2,-l,-,2……所以当k=2009时

22

5=2,当左=2010时输出S=2,故选D。

8.C

解析：在八条棱中任取其中的两条，其中是异面直线的为C：-C：-4C；-2,所以抽到两

条棱成异面直线的概率为。Y,4c”2=2。故选以

c；7

9.C

解析：卜-2|+凶表示数轴上动点x到0、2的距离之和，而该距离之和的最小值即0与2

的距离为2.

10.B

TTTT

解析：将函数f(x)=2sin(5——)(8>0)的图象向左平移一个单位，得到函数

33a)

y=g(x)=2sinco\x+—|--=2sin5。・.・丫飞&)在［03］上为增函数

3coJ3J4

冗，冗,八

••—coW—♦・(yW20

42

11.A

解析：AF^AB+BF=AB+ABE=AB+A(-AC-AB)^(l-A)AB+-AAC,

44

同理向量而还可以表示为赤=公+斤=/+〃而而+(i—〃)形，对应相

2一1—•1一

等可得a=一，所以4F=—A8+—AC,故选A。

332

12.A

解析：•••函数/(x+1)是偶函数.•./(x+l)=/(l—x)

；・函数y=/(x)的图像关于x=1对称。山1<玉时，［/(占)-/(占)］。2-王)>0恒成立

可知：函数y=/(x)在(1,+8)上单调递增，则在(-8,1)上单调递减。于是b<a<c。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

13.4+21n2

解析：a=£sinxdx=-cosx|=-(cosn-cos0)=2,于是曲线y=x2*+2x-2,

y'=2'+x2Un2+2,...在x=l处切线的斜率为：Z=2+21n2+2=4+21n2。

14.述或2

3

b

解析：由题可知，当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线方程为y=—1，由已知可知

a

J羽=1,解得e=2回；当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线方程为y=qx,由已

yJa2+b23b

知可得J24==],解得e=2。

y/a2+b2

15.2

3x-y-6<0

解析：由，x-y+2>0所确定的可行域，确定使目标函数2="+、伍>0)达到最大值14的

x+y>3

最优解，代入14=ax+y,可得a=2.

16.①③④

三、解答题(共6个小题，共74分)

5,、/Xr1+COS2CDX,11,

17、解：(1)f(x)=yJ3X---------+-sin2cox+a=^sin2cox+cos2wxa

=sin(2cox+-)a

•J

由题意知，23*蔻+8，.\s=l

(2)由(1)知,f(x)=sin(2x+?+乎+a*.*—-Wx这招0>2x+、W票

:.一黑sin(2x+$Wlf(x)的最小值=一J+平

乙j乙乙

(3)fz(x)=2cos(2x+$|f，(x)|W2

o

：.曲线y=f(x)的切线斜率的取值范围是[-2,2],

5

而直线的切线斜率方>2,直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切.

上+鸟+4=1

31?2

18.解：(I)由已知得—

解得:耳=一,£=-,P3=--

(II)J的可能取值为()只垣(g200,300,400.

111

P(J=0)=-X——-----

5525

124

P(J=100)=2x-x—=一

5525

2228

P(J=200)2x-x—+—X———

555525

„228

P(J=300)2x-x-

5525

224

P(J=400)=—x—

5525

随机变量4的分布列为

0100200300400

P14884

2525252525

14884

所求的数学期望为Ej=Ox—+100x一+200x一+300x一+400x一=240（元）

2525252525

所以随机变量4的数学期望为240元.

19.解：（1）（解法一）：由题意可知8岳=2x2;rAO,解得AD=2出,

在AAOP中，AP=V22+22-2-2-2-COS120°=273,AD=AP,

又是。尸的中点，AG1DP.①

,/A8为圆。的直径，，APVBP.

由已知知D4_L底面A8P,Z.DALBP,：.平面。AP.

BPLAG.②

由①②可知：AG1平面OP8,

AGLBD.

（2）由（1）知：AG_L平面OP8,AAG1BG,AG1PG,

NPGB是二面角P-AG-B的平面角.

△

PG=LpD=Lx4iAP=m,BP=OP=2,ZBPG=90°.o'、

22

PG_V6_V15

：.BG=dPG?+BP?=屈•cosZPGB

而一而一行

（解法二）：建立如图所示的直角坐标系，

由题意可知8拒兀=2x27r-AD.解得AO=2百.

则A（0,0,0）,5（0,4,0）,0（0,0,2⑹，P（"3,0）,

是。的中点，可求得回.

•:GP122J

（1）BP=（V3-1,0）,fiD=（0,-4,273）,AAG

日,|,6）（0,—4,2同=

AGBD=0,AGLBD.

、

(2)由⑴知，BP=(73-1,0),

AG=住1,呼

•.•瓦•丽=0,AGBP^O.,.而是平面APG的法向量.

设7=(x,y,l)是平面ABG的法向量,

由7.布=0,n-AB=0,解得7=(—2,0,1)

BP-n-273V15

COS。

网洞一2米一5

J15

所以二面角P-AG-B的平面角的余弦值"

5

20.解：(I):/(x)=ax2+bx(aH0),f'(x)-2ax+b

由f'(x)--2x+l得：a=-l/=7,所以/(x)=-x1+7x

2

又因为点P„(n,Sn)(〃GN*)均在函数y=f(x)的图象上,所以有S„=-n+7n

当〃=1时，a]=S]=6

当〃N2时，〃〃=S〃一S“_]=-2n+8,z.an=-2n+8(〃GN*)

令。〃=一2〃+820得〃44,，当〃=3或〃=4时，S〃取得最大值12

综上，〃〃=—2〃+8(〃£N*),当〃=3或〃=4时，S.取得最大值12

(II)由题意得A=6=8,"=了=2一"4

所以如=L,即数列也“｝是首项为8,公比是』的等比数列

b.22

故｛〃"｝的前"项和7；=1X23+2X22+—+〃X2--4..........................①

I?；,=1X22+2X2+•••+(«-1)X2-,,+4+7JX2-,,+3.................②

所以①一②得：-T=23+22+---+2-"+4-nx2-,,+3

2

i6[i-d)n]

•u=——，——3=32-(2+n)24-"

i——

2

21.解：(1)设与三+二=1相似的椭圆的方程「+与=1.

42a2b2

’2VI

—=---22

则有“b解得/=i6,从=8,所求方程是工+2-=1.

46,168

r+r=1

(ab

(II)①当射线/的斜率不存在时4(0,±逝),8(0,±20),

设点P坐标P(0,y0),则$=4,凡=±2.即P(0,±2).

当射线/的斜率存在时，设其方程＞=履，P（x,y）

4

片=

■=31+2F

由4>|，x),BQ2,%)则，丁+片_]得.

4k2

万一才=

[1+i+2k2

1=1TOII/IDI4jl+

•••1041=-？=^同理|。8Hr

g2k2J1+2A2

8(1+二)_8(1+^)_8,+严

又点P在/上，则左=上，且由V+y2

X1+2/一1+2/一f+2y2

即所求方程是土+匕=1.

84

又•••（0,±2）适合方程,故所求椭圆的方程是三+乙=1.

84

②由①可知,当/的斜率不存在时，|。4卜\OB\=JL2血=4,

当/的斜率存在时，|。4卜|0用=8（1+［：）=4+-4

1111l+2k21+2k2

A4<|0/1|-|05|<8

综上|。4卜|。目的最大值是8,最小值是4.

22.解：（1）函数/（x）的定义域为（0,+8）.

当a=0时，/（x）=21nx+—,.'.f（x）=——-=——r—

XXXX

由r（x）=o得x=g.

/（X），/（X）随X变化如下表：

X］_A、

呜）（5,+8）

2

减