初中数学第18章勾股定理作业设计

初中数学单元作业设计

一、单元信息

基本学科年级学期教材版本单元名称

信息数学八年级第二学期沪科版勾股定理

单元

组织自然单元口重组单元

方式

序号课时名称对应教材内容

课时

1勾股定理第18.l(P52-57)

信息

2勾股定理的逆定理第18.2(P58-63)

二、单元分析

（一）课标要求

1.体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题.

2,会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.

知识技能：理解勾股定理及其逆定理，掌握直角三角形的判别条件，并能

运用勾股定理解决一些实际问题.

数学思考：通过合情推理探索勾股定理及其逆定理，借助图形思考问题，

初步建立几何直观，感受数形结合和数学模型思想，发展从实际问题抽象出数

学问题的能力.

问题解决：通过拼图活动从不同角度探究勾股定理，能够用勾股定理的逆

定理判定直角三角形，体验解决问题方法的多样性.

情感态度：通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价

值.在解决问题活动中，感受成功的快乐，养成独立思考的良好学习习惯，形

成严谨求实的科学态度.

（二）教材分析

1.知识网络

勾股定理।]

直角三角形J应用

勾股定理的逆定理）

2.内容分析

勾股定理是平面几何中的基本定理，弓I发了对无理数的探索，反映了直角三角形

三边的关系，既是三角形三边关系的延伸，也是解直角三角形和余弦定理的必要基5出.

本单元主要研究直角三角形的勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用.采用“问题

一探究猜想一证明”的形式探究勾股定理重点关注勾股定理的发现过程，

渗透T殳化的数学思想让学生利用面积计算、数形结合的方法证明勾股定理.通过读

2

数学史和动手操作等活动引出逆命题（勾股定理的逆定理）的概念在实例中展现利用

勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，给予学生适当空间思考，使学生更好地

理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的信心.

本单元的教学重点是勾股定理、勾股定理的逆定理的内容及其应用.教学难点是勾

股定理的发现过程中所体现的数学思想

（三）学情分析

学生经过一年的几何学习，已具有初步的观察和逻辑推理能力，而且“勾股定理”

“勾三股四弦五”等在学生看来颇感新鲜，能激发学生的好奇心和求知欲，他们更希

望独立思考和发表自己的见解，渴望获得积极的数学体验，但学生尚未接触利用面积

的“割补”给出庭里证明的示例，在学习勾股定理的面积证法上仍旧存在困难.其次学

生生活经验的欠缺以及从实际问题中抽象出数学问题的能力不足，不能充分理解直角

三角形中形的特征转化为三边的数量关系以及T殳化、形与数的密切联系因此应加

强勾股定理及其逆定理的几何问题练习，在不同题型中深入理解直角三角形三边的数

量关系，培养学生的运算和推理能力，体会数形结合思想的作用，并利用实际应用题，

强化学生分析问题和解决问题的能力，在借助勾股定理解决具体的实际问题中，体会

勾股定鳏源于生活也服务于生活的重要性.

三、单元学习与作业目标

1.理解勾股定理并能够应用定理解决一些具体问题，在适当的作业练习下提高对勾

股定理的掌握程度，增强运算能力，体会数形结合思想的独特地位

2.掌握勾股定理的逆定理，学会直角三角形的判定方法，在具体运算中加深对勾股

数的记忆，发展学生的推理能力，提升符号意识.

3.灵活运用勾股定理及其逆定理，在解决综合性问题的过程中，进一步加深对两定

理互逆关系的理解，体会数学的严谨性，形成完整的勾股定理认知体系.

四、单元作业设计思路

分层设计作业.每课时均设计“基础过关”（面向全体，体现课标，基石蜘识和基

本技能训练题量3T题，要求生生过关）、“能力提升”（体现基础知识和基本技

能的变式训练，题量3-5题，力求生生过关）、“探究拓展”（综合面广、灵活度深、

创新意识强，针对学有余力的学生，以拓宽学生思路和知识面，题量1-2题，学生选做）

和“综合实践”（紧密联系生活实际，通过观察、操作、实验等活动培养学生乐于动

手、勤于实践的意识和习惯，题量1题学生选做）.具体设廿体系如下：

基础知识训练

基础过关生生过关

基本技能训练

基础知识变式训练

能力提升力求生生过关

基本技能变式训练

作业设计体系综合面广

探究拓展灵活度深

创新意识强

体验和感受生活

综合实践选做I

观察、操作和实验

3

五、课时作业

第1课时（18.1勾股定理）

作业1（基础过关）

1.作业内容

（1）在平面直角坐标系中，点（3,-2）到原点的距离是

（2）直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么

a2c212,则c2的值为（）

A.4B.5C.6D.7

（3）如图，一棵大树在离地面5m高的B处断裂，断裂后树顶A与树底C

的距离为12m,则大树断裂之前的高度为（）

A.17mB.18mC.21mD.24m

(4)在RtAABC中

糠,联30。C90则AB.

,BC1则AB

AC

则

2.时间要求(10分钟)

3.评价设计

作业评价表

等级

评价指标ABC备注

A等，答案正确、过程正确.

B等，答案正确、过程有问题.

答题的准确性

C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过

程错误或无过程.

A等，过程规范，答案正确.

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确.

C等，过程不规范或无过程，答案错误.

A等，解法有新意和独到之处，答案正确.

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.

C等,常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.

AAA、AAB综管W）A等；ABB、BBB、AAC综甜

综合评价等级

价为B等；其余情况综合评价为C等.

4

4.作业分析与设计意图

作业第⑴题要求学生作出辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理解决问题感

受定理在平面直角坐标系中的独特1乍用.第⑵题考查学生能否正确对应斜边，尝试“消

元”，利用整体思想求解，力睬对勾股定理的理解抓住定理核心.第⑶题以生活问

题为线索，已知两直角边求斜边，利用勾股定理解决具体实际问题.第⑷题要求学生利

用勾股定理进行列式，熟练掌握勾股定理其中第②^考查了含30。角的直角三角形的性

质体现了前后知识的联系，第酶渗透了分类讨论的数学思想，考查学生对勾股定理

斜边分类的理解，培养学生严谨求实的科学态度和细致的学习习惯.

作业2（能力提升）

1.作业内容

（1）如图，折叠长方形纸片ABCD,点D落在BC边的点F处（AE为折痕）.已知

AB=8,BC=10,求EC的长.

(2)如图，在Rtz^ABC中，BD10cm,ADACBDBC16cm,求AB的长

（3）国庆黄金周期间池州的秋浦河漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工

作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）.在离水面高度为8m的岸

上点C,工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m,工作人员以Q7m/s

的速度拉绳子，经过10s后游船移动到点D的位

置，问此时游船移动的距离AD的长是多少m?

5

2.时间要求（10分钟）

3.评价设计

作业评价表

等级

评价指标ABC备注

A等，答案正确、过程正确.

B等，答案正确、过程有问题.

答题的准确性

C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过

程错误或无过程.

A等，过程规范，答案正确.

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确.

C等，过程不规范或无过程，答案错误.

A等，解法有新意和独到之处，答案正确.

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.

C等,常规解法，思路不清楚过程复杂或无过程.

AAA、AAB综管平畿A等；ABB、BBB、AAC综甜

综合评价等级

价为B等；其余情况综合评价为C等.

4.作业分析与设计意图

第（1）题考查学生对于翻折变换与勾股定理的理解，运用勾股定理得出方

程是解决问题的关键，要求学生对图形有深刻地认识，发展获取关键信息的能力.

第（2）题要求学生在多边条件下，抓住关键点ADAC16cm,列方程求解，

感受方程与勾股定理的结合所带来的优势，强调学生对知识的综合运用.第（3）

题将实际问题抽象为几何问题，考查了勾股定理的应用，学生要熟练掌握已知直

角边和斜边求第三边的运算过程，强化学生对于定理的理解，提高熟练程度.

6

作业3（探究拓展）（选做）

1.作业内容

《算法统宗》中记载：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五

尺板高离地译文：如图，秋千0A静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），

将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千

绳索的长度.

2.时间要求（10分钟）

3.作业分析与设计意图

探究拓展作业综合面广、灵活度深、创新意识强，针对学有余力的学生，以

拓宽学生思路和知识面，可以选做.通过我国数学家程大位编著的《算法统宗》

中问题，使学生感受数学史的文化价值，激发爱国热情.利用日常生活中秋千问

题，引发数学思考，考查学生理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，建立

数学模型，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力.

作业4（综合实践）（选做）

1.作业内容

勾股定理是几何学中一条基础定理，被誉为“几何学的基石”.勾股定理是

第一个把数与形联系起来的定理，它是几何代数化的桥梁，勾股定理的公式被数

学家评定为改变世界面貌的公式当年我国卫星向外太空发送信号，华罗庚就提

议发送勾股定理的证明图案.从上可知，勾股定理意义非凡

科学实验一一勾股定理

实验目的：请同学们仔细观察右图所示装置，并尝试制作，验证勾股

定理得出结论

实验器材::更纸板、填充物（细沙或者其他颗粒物）等.

实验步骤：

1.制作三个等高，底面是正方形的长方体容器，并将其连接，使三个

正方形边长形成直角三角形，固定在圆盘上；

2.将填充物注入体积最大的长方体中，转动圆盘，观察填充物的流动变化；“3

3.当三个正方形边长围成锐角三角形、钝角三角形时，观察填充物的流动变化.

2.时间要求（不作限制）

3.作业分析与设计意图

通过动手操作一一观察猜想一一推理证明一一获得结论等一系列活动，激发

学生的学习热情，体验解决问题的方法多样性，获得成功克服困难的经历，发展

学生的数学语言表达能力和概括能力，培养学生的探索精神.

8

第2课时（18.2勾股定理的逆定理）

作业1（基础过关）

1.作业内容

（1）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A.A/2,FB.4,5,6C.1,2,3D.3Z,4Z,52

（2）下面各组数中，是勾股数的是（

BQ5

A.9,16,25.3,.4,

C.1,3,2D.7,24,25

（3）已知三角形的三边分别为6,8,10,则最长边上的高等于

（4）如图，有一四边形空地ABCD,AB±AD,AB=3,AD=4,BC=12,CD=

13,求四边形ABCD的面积.

B

c

D

2.时间要求（10分钟）

3.评价设计

作业评价表

等级

评价指标ABC备注

A等，答案正确、过程正确.

B等，答案正确、过程有问题.

答题的准确性

C等，答案不正确，有过程不完整；答案不准确，过

程错误或无过程.

A等，过程规范，答案正确.

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确.

C等，过程不规范或无过程，答案错误.

A等，解法有新意和独到之处，答案正确.

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.

C等,常规解法，思路不清楚过程复杂或无过程.

AAA、AAB综管平价为A等；ABB、BBB、AAC综甜

综合评价等级

价为B等；其余情况综合评价为C等.

9

4.作业分析与设计意图

第（1）题直接考查了勾股定理的逆定理，学以致用，在应用勾股定理的逆

定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的

平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.第（2）题考查勾股数，对

于常见的勾股数需要学生多积累，提高学生解题的速度，提高学生分析问题的能

力.第（3）题利用勾股定理逆定理判断直角三角形，再用面积法求出斜边上的高,

是课本例题的直接应用.第（4）题考查学生对勾股定理和逆定理的直接理解，把

四边形ABCD分成两个直角三角形是解题的关键，也是本题的难点.此题学生容

易漏证ABCD是直角三角形的过程.

作业2（能力提升）

1.作业内容

(1)已知aABC的三边分别为a、b、c,且Ja5+(b-12)2+|c-13|=0,则^

ABC的面积为（）

A.30B.60C.65D.无法计算

（2）关于△ABC,有下列条件：①NA+NB=NC；②NC=90。；③AC：BC：

AB=3：4：5；④a2=（b+c）（b-c）；⑤NA:NB：NC=2：3：4.其中能确

定aABC是直角三角形的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

（3）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm和2dm,

A和B是这个台阶的两个端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则

它所走的最短路线长度为.

B

（4）2022年8月1日是中国人民解放军建军95周年.为进一步弘扬中华民族的伟

大革命精神，社区开展了系列纪念活动.如图，有一块四边形空地，社区计

划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片.现测得AB=AD=26m,

BC=16m,CD=12m,且BD=20w.

①试说明NBCD=90°；

⑵求四边形展区（阴影部分）的面积.

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2.时间要求（10分钟）

3.评价设计

作业评价表

等级

评价指标ABC备注

A等，答案正确、过程正确.

B等，答案正确、过程有问题.

答题的准确性

C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，

过程错误、或无过程.

A等，过程规范，答案正确.

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确.

C等，过程不规范或无过程，答案错误.

A等，解法有新意和独到之处，答案正确.

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误.

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合

综合评价等级评价为B等；其余情况综合评价为C等.

4.作业分析与设计意图

第（D题在勾股定理逆定理的基础上结合已学过的非负数和为0的题型,

判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的

逆定理加以判断即可.第（2）题综合考查了直角三角形的判定，目前学生已

掌握的两个角度判断直角三角形，一是从已学角的角度判断，二是从边的角

度判断.第（3）题需要学生建立数学模型，考查了平面展开的最短路径问题,

利用展开到一个平面内，利用“两点之间所有连线中，线段最段”这个基本

事实，最后勾股定理参与计算.第（4）题需要学生建立数学模型，转化成勾

股定理模型，是基础过关第（4）题的延伸拓展，让学生回归生活，用数学解

决生活中问题.

11

作业3（探究拓展）（选做）

1.作业内容

如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm,7cm,12cm,一只蚂蚁想

从盒底的点A沿盒的表面爬行到B点，请同学们帮助这只蚂蚁想想办法，如何设

计让蚂蚁爬行的路径最短？

2.时间要求（不作限制）

3.作业分析与设计意图

此题考查学生分析问题的能力，考查分类讨论数学思想的运用，利用勾股定

理参与计算，从而解决生活中问题.作为探究拓展，学生根据自己的兴趣爱好自

由发挥，不作强制要求.

12

六、单元质量检测作业

（-）单元质量检测作业内容

一、选择题（单项选择）

1.下列哪组数据能作为直角三角形的三边长（）

A.4,5,6B.5,12,13C,12,18,22D.12,35,36

2.如图，正方形ABCD的顶点A,D在数轴上，且点A表示的数为-1,点D表示

的数为0,用圆规在数轴上截取AE=AC,则点E所表示的数为（）

A.1B.1-72C.72-1D.72

3.若直角三角形的两边长分别是5和12,则它的斜边长是（）

A.13B.13或C.-xfl9D.12或13

4.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾股定理的公

式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋

铭祖《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明,

下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

5.已知aABC的三个内角分别为NA、NB、ZC,三边分别为a、b、c,下列条

件不能判定AABC是直角三角形的是（）

A.ZA：ZB：ZC=3：4：7B.ZA=ZB-ZC

C.a：b：c=2：3：4D.b2=（a+c）（a-c）

二、填空题

6.为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温

仪离地AB=21m（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示

人体体温.一个身高1.6m的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2m的地方时（BC

=L2m）,测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于m.

13

7.若3,4,a是一组勾股数，ljllja=.

8.已知AABC中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,则AABC的面积是cm2.

9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,ZA=60°,BC=10,CD=8.则

NADC的度数为.

10.如图，一个圆桶，底面直径为16cm,高为18cm,则一只小虫从下底部点A

爬到上底点B处，问小虫所爬的最短路径长是cm（n取3）.

三、解答题

11.某广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD=4m,CD=3m,

AD±DC,AB=13m,BC=12m,绿化草坪价格150元/n）2.求这块地草坪绿化

的费用.

（跨学科综合）12.如图，在一张长48dm,宽10dm的长方形纸片ABCD的边CD

处放一平面镜，一束光线从纸片顶点A处射入，恰好由。点反射到B点，求光

线在纸片上通过的距离.（提示：作点A关于的对称点A,连接AB,交°17于0

点，贝即点就是光的反射点）

14

13.如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160叫

NNPQ=30。，拖拉机的速度是5m/s,拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影

响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；

若受到影响，那么学校受到影响的时间为多少秒？

（二）单元质量检测作业属性表

序号类型对应单元对应学习水平难度来源完成时间

作业目标了解理解应用

1选择题1V易改编

2选择题1V易选编

3选择题1V中选编

4选择题1V中改编

5选释题2V中改编

6填空题1V易改编

7填空题2V易选编30分钟

8填空题2V易原创

9填空题2V中改编

10填空题1中改编

11解答题3V中原创

12解答题3V较难选编

13解答题3较难选编

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七、参考答案

第1课时(18.1勾股定理)

作业1(基础过关)

⑴-713(2)C(3)B⑷①8也②生③6或2标

3

作业2(能力提升)

(1)解：•••四边形ABCD为矩形，

/.DC=AB=8；ZB=ZC=90°；

由题意得：AF=AD=BC=10,

由勾股定理得：BF^AFZ-AB'iea,.,.BF=6,

.,.CF=BC-BF=10-6=4；

设EF=DE=x,EC=8-x；在RtEFC中，由勾股定理得：(8-x)2,

解得：x=5,.,.EF=DE=5,.*.EC=CD-DE=8-5=3.

⑵解：YBD10cmADACBDBC16cm

BC=6cm,设AD=xcm,贝ljAC二(16-x)cm,

J在RtA