高中数学：对数运算三难点

高中数学：对数运算三难点

对数函数是重要的函数，自然也是高考的知识点，学习

对数函数常会遇到一些难点，使解题思维陷入困境，归

纳起来主要有三个方面。

难点1底数不统一

对数的运算性质是建立在底数相同的基础上的，但实际

问题中，却经常要遇到底数不相同的情况，碰到这种情

形，该如何来突破呢？主要有三种处理的方法：

(1)化为指数式

对数函数与指数函数互为反函数，它们之间有着密切的

关系：logaN=boa13=N,因此在处理有关对数问题

时，经常将对数式化为指数式来帮助解决。

(2)利用换底公式统一底数

换底公式可以将底数不同的对数通过换底把底数统一起

来，然后再利用同底对数相关的性质求解。

(3)利用函数图象

函数图象可以将函数的有关性质直观地显现出来，当对

数的底数不相同时，可以借助对数函数的图象直观性来

理解和寻求解题的思路。

例1.若aW1,bW1,a>0,b>0,且满足关系式

Ioga2/°g/f,求a,b的值。

分析：已知关系式中的底数不相同，因此可设

Ioga2=losi4-1°s"3=m,转化为指数来来解决

解：设Ioga2」°g「」°g"二m,贝ij

=2,卞=4。

于是有2d=("

因为am>0,

匕二।、।」一=2>艮口/=—1

所以2*,

于是Ioga2=logb3=—1,

1,1

解得"=2-6=3O

例2.设Iogz3=a,Iog37=b,求Iog4256的值。

分析：两个已知对数式的底数不相同，无法直接进行计

算，所以首先应考虑统一底数，从条件看应该把底数统

一为3o

解：由Iog23=a,可得

1c1

log32=-

a,

1呜256=幽色=皿37+31呜2

所以logs42log32+log37+l

ab+3

ab+(7+1o

例3.若Ioga2vlogb2<0,则a,b满足的关系是

()

(A)1<a<b

(B)1<b<a

(C)0<a<b<1

(D)0<b<a<1

分析：两个对数式底数不同，但真数相同，把两个对数

式看作是两个对数函数在自变量取同一个值时的两个不

同的函数值，可通过图象来分析。

解：loga2,Iogb2可以看成是对数函数y=logax,

V=logbx在x=2时的两个函数值，可得大致图象(如

图)。显然，a,b均小于1,

根据对数函数的底数和图象的关系可得0<bva<1,

故选(D)。

难点2.真数是和差的形式

利用对数的运算性质可将运算级别较高的运算降底为级

别较低的运算，而和与差是运算中的最低级别，所以在

处理真数是和差形式的对数问题时，难度较大，主要有

两种处理方法：①整体考虑；②对真数因式分解。

例4.求满足等式

lg(J/+1_力+lg(74x2+1_2x)-3x=0的X的值O

分析：所给等式出现了对数之和的同时，又出现了一项

含有X但又不带对数符号的项，因此直接运用对数的运

算法则及相关的性质无法运算，但两个带有对数符号的

项的结构相似，因此解答此题要从结构上整体考虑。

解:由lg(8+1_X)+lg(J4/+1-2x)-3x=o,

得lg(Jx?+1-x)-x+lg(+1-2x)-2x=0,

所以正+1-x)-x

=-[lg(+1-2x)-2x],

令f(x)=lg(J7+1-x)-x,则

f(2x)=lg(J4x?+1-2x)-2x,

于是有f(x)=-f(2x),

易证f(x)是R的减函数，又是奇函数，

故由f(x)=f(—2x),可得

x—2x,x—0o

难点3对数与对数相乘

两对数相乘无法利用对数的运算性质求解，因此在解决

此类问题时，要根据所给的关系式认真分析其结构特

点，主要有三种处理方法：①利用换底公式；②整体考

虑；③化各对数为和差的形式。

例5.设

Iogz3•Iog34•Iog45-Iogs6•Ioge7•log78•logs

m=log327,求m的值。

分析：已知等式是七个对数之积，其特点是：从第二个

对数开始的每一个对数的底数是前一个对数的真数，真

数是后一个对数的底数，因此采用换底公式将各对数换

成以2为底的两个对数的商，然后约分可达到目的。

解：由已知条件得

Iogz3•Iog34・Iog45•Iogs6•Ioge7•log78•logs

m

*4.log2log26_*8一log2-

=log23•log23log24log25log26log27log28

=log2m=log327=3

所以m=8o

例6.计算:(Ig2)2lg250+(lg5)2lg40o

分析：对数的乘积，无法直接运用对数性质，可以将对

数lg250,lg40的真数分解为积的形式，进而将对数转

化为和差的形式。

解：原式

=(Ig2)21g(52x10)+(Ig5)2lg(22XlO)

=Qg2)2(2lg5+1)+(lg5)2(2lg2+1)

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