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文档简介
高中数学公式大全
高中数学常用公式及常用结论
1.元素与集合的关系
xAxCUA,xCUAxA.
2.德摩根公式
CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.
3.包含关系
ABAABBABCUBCUA
ACUBCUABR
4.容斥原理
card(AB)cardAcardBcard(AB)
card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)
card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).
nnn5.集合{al,a2,,an}的子集个数共有2个;真子集有2-1个;非空子集有2-
个;非空的真子集有2n-2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
⑴般式f(x)axbxc(a0);
(2)顶点式f(x)a(xh)k(a0);
⑶零点式f(x)a(xxl)(xx2)(a0).
7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式22
Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0f(x)NMNMN0||f(x)Mf(x)22
11.f(x)NMN
8.方程f(x)0在(kl,k2)上有且只有一个实根,与f(kl)f(k2)0不等价,前者是后者
的一个必要而不是充分条件.特别地,方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在2
(kl,k2)内,等价于f(kl)f(k2)0,或f(kl)0且kl
klk2bk2.22a
9.闭区间上的二次函数的最值bklk2,或f(k2)0且2a2
二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x2b处及区2a
;间的两端点处取得,具体如下:(1)当a>0时,若xbb则fxp,q,
()nmf(,xi2a2axmaxma(f,)p()fq
bP,q,f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q).2a
b)iminfp()fq(若)(2)当a<0时,若xp,q,则f(xm,,n2axx
b
p,q,则f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q).2a
10.一元二次方程的实根分布
依据:若f(m)f(n)0,则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根.设
f(x)x2pxq,则
p24q0
(1)方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p;
m2
f(m)0f(n)0
(2)方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0
mpn2
f(m)0f(n)0或或
af(n)Oaf(m)0
p24q0
(3)方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p.
m2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间(,)的子区间L(形如,,,,,不
同)上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)min0(xL).
(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成
立的充要条件是f(x,t)man0(xL).
a0
a042
(3)f(x)axbxc0恒成立的充要条件是b0或2.
b4ac0c0
12.
pq非pp或qp且q
真其假真真
真假假真假
假真真其假
假假真假假
13.
原结论反设词原结论反设词
是不是至少有一个一个也没有
都是不都是至多有一个至少有两个
大于不大于至少有fl个至多有(/一1)个
小于不小于至多有〃个至少有(〃+1)个
对所有X.存在某X,
成立不成立P或g「p且F
对任何X,存在某X,
不成立成立P且,r7或f
14.四种命题的相互关系
15.充要条件
(1)充分条件:若Pq,则P是q充分条件.
(2)必要条件:若qP,则p是q必要条件.
(3)充要条件:若pq,且qp,则p是q充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
16.函数的单调性
⑴设xlx2a,b,xlx2那么
f(xl)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数;xlx2
f(xl)f(x2)(xlx2)f(xl)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.
xlx2
(2)设函数yf(x)在某个区间内可导,如果f(x)0,则f(x)为增函数;如果
f(x)0,则f(x)为减函数.
17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;
如果函数yf(u)^IIug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增
函数.(xlx2)f(xl)f(x2)0
18.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果•个函数的图
象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个
函数是偶函数.
19.若函数yf(x)是偶函数,则f(xa)f(xa);若函数yf(xa)是偶函数,
则f(xa)f(xa).
20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数
xabab厂两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22
a21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称;若2
fa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.
nn122.多项式函数P(x)anxanlxa0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数yf(x)的图象的对称性
(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)
f(2ax)f(x).
⑵函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2
f(abmx)f(mx).
24.两个函数图象的对称性
(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.
(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x
lab对称.2m(3)函数yf(x4Hyf(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位,得到函数yf(xa)b的图象;
若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位,得到曲线f(xa,yb)0的图象.
26.互为反函数的两个函数的关系
f(a)bf1(b)a.
27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y1l[f(x)b],并不是k
ly[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y[f(x)b]的反函数.k
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数f(x)ex,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.
(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.
(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).
(4)幕函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(l).
(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx,f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y),
(xf(0)1,1imx0g(x)1.x
29.几个函数方程的周期(约定a>0)
(1)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=a;
(2)f(x)f(xa)0,1(f(x)0),f(x)
1或f(xa)(f(x)0),
f(x)
1或f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期T=2a;2
1(3)f(x)1(f(x)0),则f(x)的周期T=3a;f(xa)
f(xl)f(x2)(4)f(xlx2)且f(a)l(f(xl)f(x2)1,0|xlx2:2a),则
1f(xl)f(x2)
f(x)的周期T=4a;
(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)
f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a;
(6)f(xa)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=6a.或f(xa)30.分数指数累
行
(2)amn
n(a0,m,nN,且n1).(a0,m,nN,且n1).
n31.根式的性质(1
(2)当n
|a|
32.有理指数累的运算性质
(1)aaa
rs
rrsrrrsrsa,a0.a,a0(a0,r,sQ).(2)(a)a(a0,r,sQ).
⑶(ab)ab(a0,b0,rQ).
p注:若a>0,p是一个无理数,则a表示一个确定的实数.上述有理指数累的运算性
质,对于无理数指数幕都适用.
33.指数式与对数式的互化式
logaNbabN(a0,a1,N0).
34.对数的换底公式
logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).logma
n推论logambnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).mlogaN
35.对数的四则运算法则
若a>0,aWLM>0,N>0,则
(1)loga(MN)logaMlogaN;MlogaMlogaN;N
n(3)logaMnlogaM(nR).(2)loga
236.设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为2
R,则a0,且0;若f(x)的值域为R,则a0,月.0.对于a0的情形,需要单独
检验.
37.对数换底不等式及其推广
],则函数ylogax(bx)a
11(1)当ab时,在(0,)和(,)±ylogax(bx)为增函数.aa
11
,(2)当ab时,在(0,)和(,)±ylogax(bx)为减函数.aa若
a0,b0,x0,x
推论:设nm1,p0,a0,且a1,贝ij
(1)logmp(np)logmn.
(2)logamloganloga2mn.2
38.平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有
yN(1p)x.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n1si,an(数列{an}的前n项的和为snala2an).snsn1,n2
40.等差数列的通项公式
anal(nl)ddnald(nN*);
其前n项和公式为
n(alan)n(n1)nald22
dln2(ald)n.22sn
41.等比数列的通项公式
analqn1alnq(nN*);q
其前n项的和公式为
al(1qn),q1sn1qna,q11
alanq,q1或sn1
na,q11
42.等比差数列an:an1qand,alb(q0)的通项公式为
b(nl)d,q1anbqn(db)qn1d;,q1q1
其前n项和公式为
nbn(nl)d,(q1)sn.dlqnd(b)n,(q1)1qq11q
43.分期付款(按揭贷款)ab(lb)n
每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).n(lb)1
44.常见三角不等式
⑴若x(0,
2),则sinxxtanx.
),则1sinxcosx2
(3)|sinx||cosx|1.(2)若x
夜
(0,
45.同角三角函数的基本关系式
sin2cos21,tan=
46.正弦、余弦的诱导公式sin,tancot1.cos
nn(l)2sin,sin()n12(l)2cos,n)cos,n(12
cos)n12(1)2sin,
47.和角与差角公式
sin()sincoscossin;
cos()coscossinsin;
tantan.tan()1tantan
sin()sin()sin2sin2(平方正弦公式)
cos()cos()cos2sin2.
asm
bcos=)(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决
b定,tan).a
48.二倍角公式
sin2sincos.
cos2cos2sin22cos2112sin2.
2tan.tan21tan2
49.三倍角公式
sin33sin4sin34sinsin()sin().33
cos34cos33cos4coscos()cos()33
3tantan3tan3taritan()tan().13tan233
50.三角函数的周期公式
函数ysin(x),x^R及函数ycos(x),x6R(A,w,为常数,且
AWO,3>0)的周期T.2
;函数ytan(x),xk
2,kZ(A,%为常数,且A
WO,3>0)的周期T.
(n为偶数)
(n为奇数)
(n为偶数)
(n为奇数)
51.正弦定理
abc2R.sinAsinBsinC
52.余弦定理
a2b2c22bccosA;
b2c2a22cacosB;
c2a2b22abcosC.
53.面积定理
lllahabhbchc(ha、hb、he分别表示a、b、c边上的高).222
111(2)SabsinCbesinAcasinB.
-(OAOB)2
222(3)SOAB(1)S
54.三角形内角和定理
在△ABC中,有ABCC(AB)
CAB2C22(AB).222
k55.简单的三角方程的通解sinxaxk(l)arcsina(kZ,|a|1).
cosxax2karccosa(kZ,|a|1).
tanxaxkarctana(kZ,aR).
特别地,有
sinsink(l)k(kZ)
coscos2k(kZ).
tantank(kZ).
56.最简单的三角不等式及其解集
sinxa(|a1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.
sinxa(a|1)X(2karcsina,2karcsina),kZ.
cosxa(Ia|1)X(2karccosa,2karccosa),kZ.
cosxa(a1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.
tanxa(aR)x(karctana,k
2),kZ.
tanxa(aR)x(k
2,karctana),kZ.
57.实数与向量的积的运算律
设入、口为实数,那么
(1)结合律:A.(ua)=(Xu)a;
(2)第一分配律:(X+p)a=Xa+ua;
(3)第二分配律:X(a+b)=Xa+Xb.
58.向量的数量积的运算律:
(1)a•b=b•a(交换律);
(2)(a)•b=(a•b)=a,b=a,(b);
(3)(a+b)•c=a,c+b•c.
59.平面向量基本定理
如果el、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且
只有一对实数入1、入2,使得a=、lel+A2e2.
不共线的向量el、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.60.向量平行的坐标
表示
设a=(xl,yl),b=(x2,y2),且b0,则ab(b0)xly2x2yl0.53.a与b的数
量积(或内积)a・b=|a|b|cos0.61.a•b的几何意义
数量积a・b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的乘积.62.平面向量
的坐标运算
(1)设a=(xl,yl),b=(x2,y2),则a+b=(xlx2,yly2).
(3)设A(xl,yl),B(x2,y2),则ABOBOA(x2xl,y2yl).
⑷设a=(x,y),R,则a=(x,y).
⑸设a=(xl,yl),b=(x2,y2),则a•b=(xlx2yly2).
63.两向量的夹角公式
A+支,Jq+)2
(2)设a=(xl,yl),b=(x2,y2),则a-b=(xlx2,yly2).
cos
(a=(xl,yl),b=(x2,y2)).
64.平面两点间的距离公式
J(七一为)二+(为一力下
d
X/AB^AB
A,B=|AB|(A(xl,yl),B(x2,y2)).
65.向量的平行与垂直
设a二(xl,yl),b=(x2,y2),且b0,则Abb=Xaxly2x2yl0.
ab(a0)a•b=0xlx2yly20.66.线段的定比分公式
PP2,则设P112的分点,是实数,且PPl(xl,yl),P2(x2,y2),P(x,y)是线段PP
xlx2xOP110P2
OP
yyi21
1
1
),OPtOPl(1t)OP2(t
1
67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(xl,yl)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
xlx2x3y1y2y3
,).33
68.点的平移公式
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP的坐标为
(h,k).
'x'xhxx'h
OPOPPP.''
yykyyk
69.“按向量平移”的几个结论⑴点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点
P(xh,yk).
(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为
yf(xh)k.
(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式
为yf(xh)k.
(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(xh,yk)0.
(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).
70.三角形五“心”向量形式的充要条件
设0为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则
'''''''222(1)0为ABC的外心0AOB0C.
(2)0为ABC的重心0AOB0C0.
(3)0为ABC的垂心
0AOBOB0C0C0A.(4)0为ABC的内心
aOAbOBcOC0.(5)0为ABC的A的旁心
aOAbOBcOC.
71.常用不等式:
22(1)a,bRab2ab(当且仅当a=b时取"=”号).
ab(当且仅当取“=”号).2
333(3)abc3abc(a0,b0,c0).(2)a,b
yfab
R
(4)柯西不等式
(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.
(5)ababab.
72.极值定理
已知x,y都是正数,则有
(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2p;
(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值
推广已知x,yR,则有(xy)(xy)2xy
(1)若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大;
当|xy|最小时,|xy|最小.
(2)若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,|xy最小;
当|xy|最小时,|xy1最大.
73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0),如果a与2212s.
422
ax2bxc同号,则其解集在两根之外;如果a与ax2bxc异号,则其解集在两根
之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
xlxx2(xxl)(xx2)0(x1x2);
xxl,或xx2(xxl)(xx2)0(xlx2).
74.含有绝对值的不等式
当a>0时,有
xax2aaxa.2xax2a2xa或xa.
75.无理不等式
(1
f(x)0g(x)0.
f(x)g(x)
f(x)0f(x)0g(x)g(x)0或.g(x)0f(x)[g(x)]2
f(x)0g(x)g(x)0.
f(x)[g(x)]2(2
“(X)
(3
yffW
76.指数不等式与对数不等式
(1)当a1时,
af(x)ag(x)f(x)g(x);
f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.
f(x)g(x)
(2)当0a1时,
af(x)ag(x)f(x)g(x);
f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0
f(x)g(x)
77.斜率公式
ky2yl(Pl(xl,yl)>P2(x2,y2)).x2xl
78.直线的五种方程
(1)点斜式yylk(xxl)(直线1过点Pl(xl,yl),且斜率为k).
(2)斜截式ykxb(b为直线1在y轴上的截距).
yylxxl(yly2)(Pl(xl,yl)>P2(x2,y2)(xlx2)).y2ylx2xl
xy(4)截距式l(a、b分别为直线的横、纵截距,a、b0)ab
(5)一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).(3)两点式
79.两条直线的平行和垂宜
⑴若ll:yklxbl,12:yk2xb2
①111112klk2,blb2;
②1112klk21.
(2)若ll:AlxBlyCl0,12:A2xB2yC20,且Al、A2、Bl、B2都不为零,
①11||12A1B1C1;A2B2c2②1112A1A2B1B20;80.夹角公式
k2kl
I.
1k2kl
(11:yklxbl,12:yk2xb2,klk21)
ABA2B1
⑵tan|121.
A1A2B1B2
(ll:AlxBlyCl0,12:A2xB2yC20,A1A2B1B20).
(1)tan
直线1112时,直线11与12的夹角是81.11到12的角公式
2
k2kl
1k2kl
(ll:yklxbl,12:yk2xb2,klk21)
ABA2B1
(2)tan12.
A1A2B1B2
(ll:AlxBlyCl0,12:A2xB2yC20,A1A2B1B20).
(1)tan
直线1112时,直线11到12的角是
.2
82.四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程:经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线
xxO),其中k是待定的系数;经过定点PO(xO,yO)的直线系方程为
A(xxO)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线ll:AlxBlyCl0,12:A2xB2yC20的交点的
直线系方程为(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0(除12),其中人是待定的系数.
(3)平行直线系方程:直线ykxb中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方
程.与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0),人是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线AxByC0(A20,B20)垂直的直线系方程是
BxAy0,X是参变量.
83•点到直线的距离
\JA~+B~
84.AxByC0或。所表示的平面区域
设直线l:AxByC0,则AxByC0或0所表示的平面区域是:若B0,当B
与AxByC同号时,表示直线1的上方的区域;当B与AxByC异号时,表示直线1
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若B0,当A与AxByC同号时,表示直线1的右方的区域;当A与AxByC异号
时,表示直线1的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.
85.(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域设曲线
C:(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0(A1A2B1B20),贝I」
(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是:
d
(点P(xO,yO),直线1:AxByC0).
(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分;
(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.
86.圆的四种方程
(1)圆的标准方程(xa)(yb)r.
(2)圆的一般方程xyDxEyF0(D2E24F>0).(3)圆的参数方程
2
22
2
2
xarcos
ybrsin
0圆的直径的端点是(4)圆的直径式方程
(Xxl)(xx2)(yyl)(yy2)(A(xl,yl)>B(x2,y2)).
87.圆系方程
(1)过点A(xl,yl),B(x2,y2)的圆系方程是
(xxl)(xx2)(yyl)(yy2)[(xxl)(yly2)(yyl)(xlx2)]0
(Xxl)(xx2)(yyl)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB
的方程,X是待定的系数.
22
(2)过直线l:AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程
是xyDxEyF(AxByC)0,X是待定的系数.
(3)过圆Cl:x2y2DlxElyFl0与圆C2:x2y2D2xE2yF20的交点的圆
系方程是xyDlxElyFl(xyD2xE2yF2)0,X是待定的系数.
88.点与圆的位置关系
点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种
-x0)"+(/?-y0)-
若d
2
2
2
2
2
2
2
22
dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:
2
2
2
dr相离0;dr相切0;dr相交0.
AaBbC
其中d
22AB
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为01,02,半径分别为rl,r2,0102d
drlr2外离4条公切线;drlr2外切3条公切线;
rlr2drlr2相交2条公切线;drlr2内切1条公切线;
0drlr2内含无公切线.
91.圆的切线方程
(1)已知圆xyDxEyF0.
①若已知切点(x0,y0)在圆上,则切线只有一条,其方程是
22
D(x0x)E(yOy)
F0.22
D(x0x)E(yOy)
当(xO,yO)圆外时,xOxyOyF0表示过两个切点
22
xOxyOy
的切点弦方程.
②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0),再利用相切条件求k,这时必有两
条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为ykxb,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆xyr.
①过圆上的PO(xO,yO)点的切线方程为xOxyOyr;②斜率为k
yj\+k2
的圆的切线方程为ykx222
2
xacosx2y2
92.椭圆22l(ab0)的参数方程是.
abybsin
x2y2
93.椭圆22l(ab0)焦半径公式
ab
a2a2
PF1e(x),PF2e(x).
cc
94.椭圆的的内外部
x2y2
(1)点P(x0,y0)在椭圆22l(ab0)的内部
abx2y2
(2)点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部
ab
95.椭圆的切线方程
22
xOyO
1.a2b222x0y0
21.2ab
xxyyx2y2
⑴椭圆22l(ab0)上一点P(xO,yO)处的切线方程是02021.
ababx2y2
(2)过椭圆22l(ab0)外一点P(xO,yO)所引两条切线的切点弦方程是
ab
xOxyOy
21.a2b
x2y2
(3)椭圆22l(ab0)与直线AxByC0相切的条件是
ab
A2a2B2b2c2.
x2y2
96.双曲线22l(a0,b0)的焦半径公式
aba2a2
PF1|e(x)I,PF2|e(x)|.
cc
97.双曲线的内外部
x2y2
(1)点P(xO,yO)在双曲线22l(a0,b0)的内部
abx2y2
⑵点P(xO,yO)在双曲线22l(a0,b0)的外部
ab
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
22
xOyO
21.2ab22x0y01.a2b2
x2y2x2y2b
(1)若双曲线方程为221渐近线方程:220yx.
ababa
x2y2xyb
⑵若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.
ababa
x2y2x2y2
⑶若双曲线与221有公共渐近线,可设为22(0,焦点在x
abab
轴上,0,焦点在y轴上).
99.双曲线的切线方程
xxyyx2y2
⑴双曲线22l(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.
ababx2y2
(2)过双曲线22l(a0,b0)外一点P(x0,y0)所弓|两条切线的切点弦方程是
ab
xOxyOy
21.a2b
x2y2
(3)双曲线22l(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是
ab
A2a2B2b2c2.
2
100.抛物线y2Px的焦半径公式
p2
抛物线y2px(p0)焦半径CFxO.
2
PP
过焦点弦长CDxlx2xlx2p.
22
2y2
,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y),其中101.抛物线y2Px上的动点可设为P(2p
y22px.
b24acb2
102.二次函数yaxbxca(x)(1)顶(a0)的图象是抛物线:
2a4a
b4acb2b4acb21,);,);点坐标为((2)焦点的坐标为((3)准线方程是
2a4a2a4a
4acb2ly.
4a
2
103.抛物线的内外部
(1)点P(xO,yO)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0).点P(xO,yO)在抛物线
y2px(p0)的外部y2px(p0).(2)点P(xO,yO)在抛物线y2px(p0)的内部
y2px(p0).点P(xO,yO)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0).(3)
点P(xO,yO)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0).点P(xO,yO)在抛物线
x2py(p0)的外部x2py(p0).(4)点P(xO,yO)在抛物线x2py(p0)的内部
X2py(p0).点P(xO,yO)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0).104.
抛物线的切线方程
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
(1)抛物线y2Px上一点P(xO,yO)处的切线方程是yOyp(xx0).
(2)过抛物线y2Px外一点P(xO,yO)所引两条切线的切点弦方程是yOyp(xx0).
(3)抛物线y2px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB2AC.
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线fl(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是
2
2
2
2
fl(x,y)f2(x,y)0(为参数).
x2y2
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程221,其中kmax{a2,b2}.当
akbk
222
kmin{a,b}时,表示椭圆;当min{a,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
4占一为)’+(.»—.打尸
AB
](1+父)(七一司)2
>/1+tan2a
a
AB|xlx2|yly2(弦端点
A(xl,yl),B(x2,y2),由方程
ykxb2
消去y得到axbxc0,0,为直线
F(x,y)0
AB的倾斜角,k为直线的斜率).
107.圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲线F(x,y)0关于点P(xO,yO)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.
(2)曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是
F(x
2A(AxByC)2B(AxByC)
,y)0.2222
ABAB
2
2
108.“四线”•方程
对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0,用xOx代x,用yOy代y,用
2
2
xOyxyOxxyy代xy,用0代x,用0代y即得方程222
xyxyOxxyy
AxOxB0CyOyD0E0F0,曲线的切线,切点弦,中点
222
弦,弦中点方程均是此方程得到.
109.证明直线与直线的平行的思考途径(1)转化为判定共面二直线无交点;(2)
转化为二直线同与第三条直线平行;(3)转化为线面平行;(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.
110.证明直线与平面的平行的思考途径(1)转化为直线与平面无公共点;(2)转
化为线线平行;(3)转化为面面平行.
111.证明平面与平面平行的思考途径(1)转化为判定二平面无公共点;(2)转化
为线面平行;(3)转化为线面垂直.
112.证明直线与直线的垂直的思考途径(1)转化为相交垂直;(2)转化为线面垂
直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
113.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)数乘分配律:X(a+b)=Xa+Xb.
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的
以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(bWO),a〃b存在实数X使
a=Xb.P、A、B三点共线
AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.
AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且
AB、CD不共线.
推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对X,y,
使MPxMAyMB,或对空间任一定点0,有序实
数对x,y,使OP0MxMAyMB.119.对空间任一点
0和不共线的三点A、B、C,满足OPxOAyOBzOC
zk),则当k1时,对于空间任一点0,总有P、A、B、C四点共面;当
k1
若0平面ABC,贝IJP、A、B、C四点共面;若0平面ABC,贝ljP、A、B、C四点
共
不
118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,
使P
by.A、B、C、D四点
共
面
与AB、AC共面ADxAByAC
0D(1xy)OAxOByOC(0平面ABC).
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组
x,y,z,p=xa+yb+zc.
推论设0、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实
OPxOAyOBzOC.数x,y,z,使
121.射影公式’已知向量AB=a和轴1,e是1上与1同方向的单位向量.作A
点在1上的射影A,作B
'点在1上的射影B,则''AB|ABcos〈a,e〉=a,e
122.向量的直角坐标运算
设a=(al,a2,a3),b=(bl,b2,b3)则
⑴a+b=(albl,a2b2,a3b3);
⑵a—b=(albl,a2b2,a3b3);
(3)入a=(al,a2,a3)(XGR);
(4)a,b=albla2b2a3b3:
123.设A(xl,yl,zl),B(x2,y2,z2),则
124.空间的线线平行或垂直ABOB0A=
(x2xl,y2yl,z2zl).
rr设a(xl,yl,zl),b(x2,y2,z2),则
xlx2rrrrrraPbab(b0)yly2;
Zz2Irrrrabab0xlx2yly2zlz20.
125.夹角公式
设a=(al,a2,a3),b=(bl,b2,b3),则
cos〈a,b〉
M+a;+a;业;+/?;+/?;
2
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