高中数学公式大全

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高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA.

2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUA

ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

nnn5.集合｛al,a2,,an｝的子集个数共有2个；真子集有2-1个；非空子集有2-

个；非空的真子集有2n-2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

⑴般式f(x)axbxc(a0);

(2)顶点式f(x)a(xh)k(a0);

⑶零点式f(x)a(xxl)(xx2)(a0).

7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式22

Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0f(x)NMNMN0||f(x)Mf(x)22

11.f(x)NMN

8.方程f(x)0在(kl,k2)上有且只有一个实根，与f(kl)f(k2)0不等价，前者是后者

的一个必要而不是充分条件.特别地，方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在2

(kl,k2)内，等价于f(kl)f(k2)0,或f(kl)0且kl

klk2bk2.22a

9.闭区间上的二次函数的最值bklk2,或f(k2)0且2a2

二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x2b处及区2a

;间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若xbb则fxp,q,

()nmf(,xi2a2axmaxma(f,)p()fq

bP,q,f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q).2a

b)iminfp()fq(若)(2)当a<0时，若xp,q,则f(xm,,n2axx

b

p,q,则f(x)maxmaxf(p),f(q),f(x)minminf(p),f(q).2a

10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)0,则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根.设

f(x)x2pxq,则

p24q0

(1)方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p；

m2

f(m)0f(n)0

(2)方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0

mpn2

f(m)0f(n)0或或

af(n)Oaf(m)0

p24q0

(3)方程f(x)0在区间(，n)内有根的充要条件为f(m)0或p.

m2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(，)的子区间L(形如，，，，，不

同)上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是

f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间(，)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成

立的充要条件是f(x,t)man0(xL).

a0

a042

(3)f(x)axbxc0恒成立的充要条件是b0或2.

b4ac0c0

12.

pq非pp或qp且q

真其假真真

真假假真假

假真真其假

假假真假假

13.

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有fl个至多有（/一1）个

小于不小于至多有〃个至少有（〃+1）个

对所有X.存在某X，

成立不成立P或g「p且F

对任何X,存在某X,

不成立成立P且,r7或f

14.四种命题的相互关系

15.充要条件

（1）充分条件：若Pq,则P是q充分条件.

（2）必要条件：若qP，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq,且qp,则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

⑴设xlx2a,b,xlx2那么

f(xl)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；xlx2

f(xl)f(x2)(xlx2)f(xl)f(x2)00f(x)在a,b上是减函数.

xlx2

(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0,则f(x)为增函数；如果

f(x)0,则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内，和函数f(x)g(x)也是减函数;

如果函数yf(u)^IIug(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数yf[g(x)]是增

函数.(xlx2)f(xl)f(x2)0

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果•个函数的图

象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个

函数是偶函数.

19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，

则f(xa)f(xa).

20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数

xabab厂两个函数yf(xa)与yf(bx)的图象关于直线x对称.22

a21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称；若2

fa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

nn122.多项式函数P(x)anxanlxa0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

⑵函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)2

f(abmx)f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x

lab对称.2m(3)函数yf(x4Hyf(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象;

若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y1l[f(x)b],并不是k

ly[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y[f(x)b]的反函数.k

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)ex,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)幕函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(l).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx,f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y),

(xf(0)1,1imx0g(x)1.x

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=a；

(2)f(x)f(xa)0,1(f(x)0),f(x)

1或f(xa)(f(x)0),

f(x)

1或f(xa),(f(x)0,1)，则f(x)的周期T=2a；2

1(3)f(x)1(f(x)0),则f(x)的周期T=3a；f(xa)

f(xl)f(x2)(4)f(xlx2)且f(a)l(f(xl)f(x2)1,0|xlx2:2a),则

1f(xl)f(x2)

f(x)的周期T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；

(6)f(xa)f(x)f(xa),则f(x)的周期T=6a.或f(xa)30.分数指数累

行

(2)amn

n(a0,m,nN,且n1).(a0,m,nN,且n1).

n31.根式的性质（1

(2)当n

|a|

32.有理指数累的运算性质

(1)aaa

rs

rrsrrrsrsa,a0.a,a0(a0,r,sQ).(2)(a)a(a0,r,sQ).

⑶(ab)ab(a0,b0,rQ).

p注：若a>0,p是一个无理数，则a表示一个确定的实数.上述有理指数累的运算性

质，对于无理数指数幕都适用.

33.指数式与对数式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).logma

n推论logambnlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).mlogaN

35.对数的四则运算法则

若a>0,aWLM>0,N>0,则

(1)loga(MN)logaMlogaN;MlogaMlogaN;N

n(3)logaMnlogaM(nR).(2)loga

236.设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为2

R,则a0,且0;若f(x)的值域为R,则a0,月.0.对于a0的情形，需要单独

检验.

37.对数换底不等式及其推广

],则函数ylogax(bx)a

11(1)当ab时，在(0,)和(，)±ylogax(bx)为增函数.aa

11

，(2)当ab时，在(0,)和(，)±ylogax(bx)为减函数.aa若

a0,b0,x0,x

推论:设nm1,p0,a0,且a1,贝ij

(1)logmp(np)logmn.

(2)logamloganloga2mn.2

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有

yN(1p)x.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1si,an(数列｛an｝的前n项的和为snala2an).snsn1,n2

40.等差数列的通项公式

anal(nl)ddnald(nN*)；

其前n项和公式为

n(alan)n(n1)nald22

dln2(ald)n.22sn

41.等比数列的通项公式

analqn1alnq(nN*)；q

其前n项的和公式为

al(1qn),q1sn1qna,q11

alanq,q1或sn1

na,q11

42.等比差数列an:an1qand,alb(q0)的通项公式为

b(nl)d,q1anbqn(db)qn1d；,q1q1

其前n项和公式为

nbn(nl)d,(q1)sn.dlqnd(b)n,(q1)1qq11q

43.分期付款(按揭贷款)ab(lb)n

每次还款x元(贷款a元,n次还清，每期利率为b).n(lb)1

44.常见三角不等式

⑴若x(0,

2),则sinxxtanx.

),则1sinxcosx2

(3)|sinx||cosx|1.(2)若x

夜

(0,

45.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21,tan=

46.正弦、余弦的诱导公式sin,tancot1.cos

nn(l)2sin,sin()n12(l)2cos,n)cos,n(12

cos)n12(1)2sin,

47.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantan.tan()1tantan

sin()sin()sin2sin2（平方正弦公式）

cos()cos()cos2sin2.

asm

bcos=）（辅助角所在象限由点（a,b）的象限决

b定，tan）.a

48.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tan.tan21tan2

49.三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().33

cos34cos33cos4coscos()cos()33

3tantan3tan3taritan()tan().13tan233

50.三角函数的周期公式

函数ysin（x）,x^R及函数ycos（x）,x6R（A,w,为常数，且

AWO,3>0）的周期T.2

；函数ytan（x）,xk

2,kZ（A,%为常数，且A

WO,3>0）的周期T.

（n为偶数）

（n为奇数）

（n为偶数）

（n为奇数）

51.正弦定理

abc2R.sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2b2c22bccosA;

b2c2a22cacosB;

c2a2b22abcosC.

53.面积定理

lllahabhbchc(ha、hb、he分别表示a、b、c边上的高).222

111(2)SabsinCbesinAcasinB.

-(OAOB)2

222(3)SOAB(1)S

54.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB).222

k55.简单的三角方程的通解sinxaxk(l)arcsina(kZ,|a|1).

cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特别地,有

sinsink(l)k(kZ)

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinxa(|a1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(a|1)X(2karcsina,2karcsina),kZ.

cosxa(Ia|1)X(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(a1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k

2),kZ.

tanxa(aR)x(k

2,karctana),kZ.

57.实数与向量的积的运算律

设入、口为实数，那么

(1)结合律：A.(ua)=(Xu)a;

(2)第一分配律:(X+p)a=Xa+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的数量积的运算律：

(1)a•b=b•a(交换律)；

(2)(a)•b=(a•b)=a,b=a,(b);

(3)(a+b)•c=a,c+b•c.

59.平面向量基本定理

如果el、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且

只有一对实数入1、入2,使得a=、lel+A2e2.

不共线的向量el、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.60.向量平行的坐标

表示

设a=(xl,yl),b=(x2,y2),且b0,则ab(b0)xly2x2yl0.53.a与b的数

量积(或内积)a・b=|a|b|cos0.61.a•b的几何意义

数量积a・b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的乘积.62.平面向量

的坐标运算

(1)设a=(xl,yl),b=(x2,y2),则a+b=(xlx2,yly2).

(3)设A(xl,yl),B(x2,y2),则ABOBOA(x2xl,y2yl).

⑷设a=(x,y),R,则a=(x,y).

⑸设a=(xl,yl),b=(x2,y2),则a•b=(xlx2yly2).

63.两向量的夹角公式

A+支,Jq+)2

(2)设a=(xl,yl),b=(x2,y2),则a-b=(xlx2,yly2).

cos

(a=(xl,yl),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式

J(七一为)二+(为一力下

d

X/AB^AB

A,B=|AB|(A(xl,yl),B(x2,y2)).

65.向量的平行与垂直

设a二(xl,yl),b=(x2,y2),且b0,则Abb=Xaxly2x2yl0.

ab(a0)a•b=0xlx2yly20.66.线段的定比分公式

PP2,则设P112的分点，是实数,且PPl(xl,yl),P2(x2,y2),P(x,y)是线段PP

xlx2xOP110P2

OP

yyi21

1

1

),OPtOPl(1t)OP2(t

1

67.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(xl,yl)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是

xlx2x3y1y2y3

,).33

68.点的平移公式

注：图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y),且PP的坐标为

(h,k).

'x'xhxx'h

OPOPPP.''

yykyyk

69.“按向量平移”的几个结论⑴点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点

P(xh,yk).

(2)函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为

yf(xh)k.

(3)图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式

为yf(xh)k.

(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(xh,yk)0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要条件

设0为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则

'''''''222(1)0为ABC的外心0AOB0C.

(2)0为ABC的重心0AOB0C0.

(3)0为ABC的垂心

0AOBOB0C0C0A.(4)0为ABC的内心

aOAbOBcOC0.(5)0为ABC的A的旁心

aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

22(1)a,bRab2ab(当且仅当a=b时取"=”号).

ab(当且仅当取“=”号).2

333(3)abc3abc(a0,b0,c0).(2)a,b

yfab

R

(4)柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

(5)ababab.

72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

(1)若积xy是定值p,则当xy时和xy有最小值2p；

(2)若和xy是定值s,则当xy时积xy有最大值

推广已知x,yR,则有(xy)(xy)2xy

(1)若积xy是定值，则当|xy|最大时，|xy|最大；

当|xy|最小时，|xy|最小.

(2)若和|xy|是定值，则当|xy|最大时，|xy最小；

当|xy|最小时，|xy1最大.

73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0),如果a与2212s.

422

ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根

之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

xlxx2(xxl)(xx2)0(x1x2)；

xxl,或xx2(xxl)(xx2)0(xlx2).

74.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

xax2aaxa.2xax2a2xa或xa.

75.无理不等式

(1

f(x)0g(x)0.

f(x)g(x)

f(x)0f(x)0g(x)g(x)0或.g(x)0f(x)[g(x)]2

f(x)0g(x)g(x)0.

f(x)[g(x)]2(2

“(X)

(3

yffW

76.指数不等式与对数不等式

(1)当a1时，

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)

(2)当0a1时，

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)

77.斜率公式

ky2yl(Pl(xl,yl)>P2(x2,y2)).x2xl

78.直线的五种方程

(1)点斜式yylk(xxl)(直线1过点Pl(xl,yl),且斜率为k).

(2)斜截式ykxb(b为直线1在y轴上的截距).

yylxxl(yly2)(Pl(xl,yl)>P2(x2,y2)(xlx2)).y2ylx2xl

xy(4)截距式l(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab

(5)一般式AxByC0(其中A、B不同时为0).(3)两点式

79.两条直线的平行和垂宜

⑴若ll:yklxbl,12:yk2xb2

①111112klk2,blb2;

②1112klk21.

(2)若ll:AlxBlyCl0,12:A2xB2yC20,且Al、A2、Bl、B2都不为零,

①11||12A1B1C1；A2B2c2②1112A1A2B1B20；80.夹角公式

k2kl

I.

1k2kl

(11:yklxbl,12:yk2xb2,klk21)

ABA2B1

⑵tan|121.

A1A2B1B2

(ll:AlxBlyCl0,12:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan

直线1112时，直线11与12的夹角是81.11到12的角公式

2

k2kl

1k2kl

(ll:yklxbl,12:yk2xb2,klk21)

ABA2B1

(2)tan12.

A1A2B1B2

(ll:AlxBlyCl0,12:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan

直线1112时，直线11到12的角是

.2

82.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线

xxO),其中k是待定的系数；经过定点PO(xO,yO)的直线系方程为

A(xxO)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数.

(2)共点直线系方程：经过两直线ll:AlxBlyCl0,12:A2xB2yC20的交点的

直线系方程为(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0(除12),其中人是待定的系数.

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方

程.与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0),人是参变量.

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A20,B20)垂直的直线系方程是

BxAy0,X是参变量.

83•点到直线的距离

\JA~+B~

84.AxByC0或。所表示的平面区域

设直线l:AxByC0,则AxByC0或0所表示的平面区域是：若B0,当B

与AxByC同号时，表示直线1的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线1

的下方的区域.简言之，同号在上,异号在下.

若B0,当A与AxByC同号时，表示直线1的右方的区域；当A与AxByC异号

时，表示直线1的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

85.(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域设曲线

C:(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0(A1A2B1B20),贝I」

(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是:

d

(点P(xO,yO),直线1：AxByC0).

(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分；

(AlxBlyCl)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.

86.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(xa)(yb)r.

(2)圆的一般方程xyDxEyF0(D2E24F>0).(3)圆的参数方程

2

22

2

2

xarcos

ybrsin

0圆的直径的端点是(4)圆的直径式方程

(Xxl)(xx2)(yyl)(yy2)(A(xl,yl)>B(x2,y2)).

87.圆系方程

(1)过点A(xl,yl),B(x2,y2)的圆系方程是

(xxl)(xx2)(yyl)(yy2)[(xxl)(yly2)(yyl)(xlx2)]0

(Xxl)(xx2)(yyl)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB

的方程，X是待定的系数.

22

(2)过直线l:AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程

是xyDxEyF(AxByC)0,X是待定的系数.

(3)过圆Cl:x2y2DlxElyFl0与圆C2:x2y2D2xE2yF20的交点的圆

系方程是xyDlxElyFl(xyD2xE2yF2)0,X是待定的系数.

88.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种

-x0)"+(/?-y0)-

若d

2

2

2

2

2

2

2

22

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

2

2

2

dr相离0;dr相切0;dr相交0.

AaBbC

其中d

22AB

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为01,02,半径分别为rl,r2,0102d

drlr2外离4条公切线；drlr2外切3条公切线；

rlr2drlr2相交2条公切线；drlr2内切1条公切线；

0drlr2内含无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆xyDxEyF0.

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

22

D(x0x)E(yOy)

F0.22

D(x0x)E(yOy)

当(xO,yO)圆外时，xOxyOyF0表示过两个切点

22

xOxyOy

的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0),再利用相切条件求k,这时必有两

条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为ykxb,再利用相切条件求b,必有两条切线.

(2)已知圆xyr.

①过圆上的PO(xO,yO)点的切线方程为xOxyOyr;②斜率为k

yj\+k2

的圆的切线方程为ykx222

2

xacosx2y2

92.椭圆22l(ab0)的参数方程是.

abybsin

x2y2

93.椭圆22l(ab0)焦半径公式

ab

a2a2

PF1e(x),PF2e(x).

cc

94.椭圆的的内外部

x2y2

(1)点P(x0,y0)在椭圆22l(ab0)的内部

abx2y2

(2)点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部

ab

95.椭圆的切线方程

22

xOyO

1.a2b222x0y0

21.2ab

xxyyx2y2

⑴椭圆22l(ab0)上一点P(xO,yO)处的切线方程是02021.

ababx2y2

(2)过椭圆22l(ab0)外一点P(xO,yO)所引两条切线的切点弦方程是

ab

xOxyOy

21.a2b

x2y2

(3)椭圆22l(ab0)与直线AxByC0相切的条件是

ab

A2a2B2b2c2.

x2y2

96.双曲线22l(a0,b0)的焦半径公式

aba2a2

PF1|e(x)I，PF2|e(x)|.

cc

97.双曲线的内外部

x2y2

(1)点P(xO,yO)在双曲线22l(a0,b0)的内部

abx2y2

⑵点P(xO,yO)在双曲线22l(a0,b0)的外部

ab

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

22

xOyO

21.2ab22x0y01.a2b2

x2y2x2y2b

(1)若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

ababa

x2y2xyb

⑵若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

ababa

x2y2x2y2

⑶若双曲线与221有公共渐近线，可设为22(0,焦点在x

abab

轴上，0,焦点在y轴上).

99.双曲线的切线方程

xxyyx2y2

⑴双曲线22l(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2

(2)过双曲线22l(a0,b0)外一点P(x0,y0)所弓|两条切线的切点弦方程是

ab

xOxyOy

21.a2b

x2y2

(3)双曲线22l(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是

ab

A2a2B2b2c2.

2

100.抛物线y2Px的焦半径公式

p2

抛物线y2px(p0)焦半径CFxO.

2

PP

过焦点弦长CDxlx2xlx2p.

22

2y2

,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)，其中101.抛物线y2Px上的动点可设为P(2p

y22px.

b24acb2

102.二次函数yaxbxca(x)(1)顶(a0)的图象是抛物线：

2a4a

b4acb2b4acb21,)；,)；点坐标为((2)焦点的坐标为((3)准线方程是

2a4a2a4a

4acb2ly.

4a

2

103.抛物线的内外部

(1)点P(xO,yO)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0).点P(xO,yO)在抛物线

y2px(p0)的外部y2px(p0).(2)点P(xO,yO)在抛物线y2px(p0)的内部

y2px(p0).点P(xO,yO)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0).(3)

点P(xO,yO)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0).点P(xO,yO)在抛物线

x2py(p0)的外部x2py(p0).(4)点P(xO,yO)在抛物线x2py(p0)的内部

X2py(p0).点P(xO,yO)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0).104.

抛物线的切线方程

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

(1)抛物线y2Px上一点P(xO,yO)处的切线方程是yOyp(xx0).

(2)过抛物线y2Px外一点P(xO,yO)所引两条切线的切点弦方程是yOyp(xx0).

(3)抛物线y2px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB2AC.

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线fl(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

2

2

2

2

fl(x,y)f2(x,y)0(为参数).

x2y2

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程221,其中kmax{a2,b2}.当

akbk

222

kmin{a,b}时，表示椭圆；当min{a,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

4占一为)’+(.»—.打尸

AB

](1+父)(七一司)2

>/1+tan2a

a

AB|xlx2|yly2(弦端点

A(xl,yl),B(x2,y2),由方程

ykxb2

消去y得到axbxc0,0,为直线

F(x,y)0

AB的倾斜角，k为直线的斜率).

107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F（x,y）0关于点P（xO,yO）成中心对称的曲线是F（2x0-x,2y0y）0.

（2）曲线F（x,y）0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F（x

2A（AxByC）2B（AxByC）

,y）0.2222

ABAB

2

2

108.“四线”•方程

对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0,用xOx代x,用yOy代y,用

2

2

xOyxyOxxyy代xy,用0代x,用0代y即得方程222

xyxyOxxyy

AxOxB0CyOyD0E0F0,曲线的切线，切点弦，中点

222

弦，弦中点方程均是此方程得到.

109.证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）

转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行.

110.证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转

化为线线平行；（3）转化为面面平行.

111.证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化

为线面平行；（3）转化为线面垂直.

112.证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂

直；

(3)转化为线与另一线的射影垂直；

(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.

113.证明直线与平面垂直的思考途径

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面；

(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

114.证明平面与平面的垂直的思考途径

(1)转化为判断二面角是直二面角；

(2)转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a+b=b+a.

(2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

(3)数乘分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的

以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(bWO),a〃b存在实数X使

a=Xb.P、A、B三点共线

AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且

AB、CD不共线.

推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对X,y,

使MPxMAyMB,或对空间任一定点0,有序实

数对x,y,使OP0MxMAyMB.119.对空间任一点

0和不共线的三点A、B、C,满足OPxOAyOBzOC

zk),则当k1时，对于空间任一点0,总有P、A、B、C四点共面；当

k1

若0平面ABC,贝IJP、A、B、C四点共面；若0平面ABC,贝ljP、A、B、C四点

共

不

118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,

使P

by.A、B、C、D四点

共

面

与AB、AC共面ADxAByAC

0D(1xy)OAxOByOC(0平面ABC).

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组

x,y,z,p=xa+yb+zc.

推论设0、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实

OPxOAyOBzOC.数x,y,z,使

121.射影公式’已知向量AB=a和轴1,e是1上与1同方向的单位向量.作A

点在1上的射影A,作B

'点在1上的射影B,则''AB|ABcos〈a,e〉=a,e

122.向量的直角坐标运算

设a=(al,a2,a3),b=(bl,b2,b3)则

⑴a+b=(albl,a2b2,a3b3)；

⑵a—b=(albl,a2b2,a3b3)；

(3)入a=(al,a2,a3)(XGR)；

(4)a,b=albla2b2a3b3：

123.设A(xl,yl,zl),B(x2,y2,z2),则

124.空间的线线平行或垂直ABOB0A=

(x2xl,y2yl,z2zl).

rr设a(xl,yl,zl),b(x2,y2,z2),则

xlx2rrrrrraPbab(b0)yly2；

Zz2Irrrrabab0xlx2yly2zlz20.

125.夹角公式

设a=(al,a2,a3),b=(bl,b2,b3),则

cos〈a,b〉

M+a；+a；业;+/?；+/?；

2