高中数学校本课程《趣味数学》

《趣味数学》目录

第1课时集合中的趣题一"集合"与"模糊数学..........2

第2课时函数中的趣题——份购房合同...................3

第3课时函数中的趣题一孙悟空大战牛魔王...............4

第4课时三角函数的趣题一直角三角形..................6

第5课时三角函数的趣题一月平均气温问题...............7

第6课时数列中的趣题一柯克曼女生问题.................9

第7课时数列中的趣题一数列的应用....................11

第8课时不等式性质应用趣题海边夹不等式的推广及趣例......13

第9课时不等式性质应用趣题一均值不等式的应用...........15

第10课时立体几何趣题一正多面体拼接构成新多面体面数问题…16

第11课时立体几何趣题一球在平面上的投影..................19

12课时解析几何中的趣题一神奇的莫比乌斯圈.................21

13课时解析几何中的趣题—最短途问题.......................22

14课时排列组合中的趣题—抽屉原理.........................23

15课时排列组合中的趣题—摸球游戏.........................24

第16课时概率中的趣题....................................25

第17课时简易逻辑中的趣题................................28

第18课时解数学题的策略..............................31

1

第1课时集合中的趣题一

"集合"与"模糊数学"

教学要求：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造

地解决问题；

教学过程：

一、情境引入

1965年，美国数学家扎德发表论文《模糊集合》，开辟了一门新的数学分支——

模糊数

学。

二、实例尝试，探求新知

模糊数学是经典集合概念的推广。在经典集合论当中，每一个集合都必须由确定

的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数：

(

X(x)=1八—)来描述。扎德将特征函数为(X)改成所谓的“隶属函数”

A0,(X误HA

H(X)：0<|LI(x)<1,,这里A称为“模糊函数'NQ)称为x对A的“隶属度：：

AAA

经典集合论要求隶属度只能取0,1二值，模糊集合论则突破了这一限制，

N0=1时表示百分之百隶属于A；NG)=0时表示不属于A还可以有百分之二十

AA

隶属于A,百分之八十不隶属于A……等等，这些模糊集合为对由于外延模糊而导致

的事物是非判断上的上的不确性提供了数学描述。由于集合论是现代数学的重基石，

因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将模糊集合引进数学的各个分

支，从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等，它们一起形

2

成通常所称的模糊数学，模糊数学是20世纪数学发展中的新新事物，它在理论上还

不够成熟，方法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。

例1、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参加，又举办了一次球类

运动会，这个班有12名同学参加，那么这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？

⑴如果有5名同学两次运动会都参加了，问这两次运动会这个班共有多少名同学

参赛？

⑵如果每一位同学都只参加一次运动会，问这两次运动会这个班共有多少名同

学参赛？

解析：可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问

题。

（1）因为这5名同学在统计人数时，计算了两次，所以要减

去.8+12-5=15.

（2）8+12=20.这两次运动会这个班共有20名同学参赛.

三、本课小结

通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态

度和勇于创新的精神而进步的。

四、作业

下列各组对象能否形成集合？（1）高一年级全体男生；（2）高一年级全体高个

子男生（3）所有数学难题；（4）不等式x+2>0的解；

第2课时函数中的趣题——

一份购房合同

教学要求：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力.教

学过程:

3

一、情境引入

最早把"函数"（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（Gottfried

WilhelmLeibniz,1646-1716,德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数看成

是〃像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的

量1718年，瑞士数学家约翰。贝努利（JohnBernoulli,1667-1748,欧拉的数学

老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了“变量”这个词。他

写到：”变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。“他的学生，瑞士数学家欧

拉（LeonardEuler,1707-1783,被称为历史上最“多产”的数学家）将约翰。贝努利

的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为：”变量的函数是一

个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式”，欧拉的函数定义在18世纪后期

占据了统治地位。

二、实例尝试，探求新知

例1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容

是陈老师购买安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴

28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期

付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10年后付清，年利率为7.5%,房地产

开发公司要求陈老师每年付款4200元，但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们

你们能帮陈老师算一算么？

解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元那么10

年后第一年付款的本利和为1.0759a元，同样的方法算得第二年付款的本利和为

1.0758a元、第三年为1.0757a元，…，第十年为a元，然后把这10个本利和加起

来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+…

4

+a=(72X1000-28800-14400)XL075io,解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理

解的是自己若按时付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但

不妨用这种方法来解释：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的款额，且10

年中一次都不付款，那么第一年应付的款额a元到第10年付款时，你不仅要付本金a

元，还要付a元所产生的利息，共为1.0759a元，同样，第二年应付的款额a元到第

10年付款时应付金额为1.0758a元，第三年为1.0757a元，…，第十年为a元，而

这十年中你一次都没付款，与你应付余款72X1000-28800-14400在10年后一次付清

时的本息是相等的。仍得到1.0759a+l.0758a+l.0757a+…%=(72X1000-

28800-14400)X1.075io.用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。

例2、经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，

就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。我们

该如何定价才能赚最多的钱？

解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下

的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出

40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元

三、本课小结

通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，可以多角度、

多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考

四、作业

家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量。呈指数函数

型变化，满足关系式Q=ge-o.oo25，,其中的是臭氧的初始量，r是所经过的时间.

1)随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？

5

2）多少年后将会有一半的臭氧消失?

第3课时函数中的趣题——

孙悟空大战牛魔王

教学要求：体会数学在实际问题中的应用价

值.教学过程：

一、故事引入

孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。可是，牛

魔王不简单，他会变。他见悟空紧紧追赶，便随身变成一只白鹤，腾空飞去。悟空一

见，立刻变成一只丹凤，紧追上去。牛魔王一想：凤是百鸟之王，我这只白鹤那里斗

得过这个丹凤？！他无可奈何，只好飞下山崖，变作一只香獐，装着悠闲的样子，在

崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他马上变作一只饿

虎，猛扑过去。牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得分明，就地一

滚，变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招，现出原形，原来是

一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他对悟空说：“你还

能把我怎样？”只见悟空弯腰躬身，大喝一声“长”！立即身高万丈，手持大铁棒朝牛

魔王打去。牛魔王见势不妙，只好复了本象相，急忙逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊天动

地，惊动了天上的众神，前来帮助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗，又变成一头大白牛，

用铁角猛顶托塔天王，被哪吒用火轮烧得大声吼叫，最后被天王用照妖镜照定，动弹不

得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈火，唐僧四人翻越山岭，继续往西天

取经

6

二、实例尝试，探求新知

这段故事很吸引人，而且它和初中代数中所学的函数概念有关。

首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大，都能变。他们能变

飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地”，也可变成一个小虫儿。当然，这些都是

神话，不是真情实事。不过，世界上一切事物的确无有不在变化着的。既然物质在变化,

表示它们量的大小的数，自然也要随着而变化了。这就告诉我们，要从变化的观点来

研究数和量以及它们之间的关系。

其次，我们再来看一看，是不是所有的量在任何情况下，都始终变化着的呢？不是

的。研究问题的某个特定过程中，在一定的范围内，有的数量是保持不变的。或者，虽

然它也在变，但变化微小，我们把它看成是不变的。还是用唐僧师徒来做例子。孙悟

空的本事最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会变，所以妖怪一看就认得他。都想

吃他的肉。在代数中，把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量，孙悟空就好象

是一个“变量”；把一定范围内保持不变的量叫做常量，唐僧就好象是一个“常量”。

例1、1202年，意大利比萨的数学家斐波那契（约1170年〜约1250年）在他所著的

《算盘书》里提出了这样一个有趣的问题：假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一雌

一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。那么，若年初时有1对小兔，按

上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外情况，1年后将有多少对兔子？

解析：第一个月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍

是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对；第

四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是

3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也已

7

长大并且也生了1对小兔，因此共有兔子5对；一直这样推算下去，可以得到下面的表:

如果仔细观察，就不难发现其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔子对数都是前两

个月的兔子对数之

和。表中兔子对数构成的一列数1,1,2,3,5,8…就称为斐波那契数列。斐波那

契数列有很有趣的性质和重要的应用。

例2、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子,现准备多种一些橙子树以

提高产量，但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根

据经验估计,每多种--棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.

解析：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有

(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子.

y=(100+x)(600-5x)=-5x+100x+60000.=~5(x-10)-2+60500

即种:100+10=110棵时,产量最高是：60500

三、本课小结

通过本课学习我们知道了，不仅《西游记》和我们的数学还很有关系其实，只要

我们留意，到处都充满着数学的原理。

四、作业

某市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，

种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：

作物品种每亩地所需职工数每亩地预计产值

蔬菜1/21100元

烟叶1/3750元

小麦1/4600元

8

请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20名职工都有工作，且使农作物

预计总产值最多。（设工人数）

第4课时三角函数的趣题一

直角三角形

教学要求：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应

用。

教学过程：

一、情境引入

直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏

了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边

角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等

测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.

二、例题分析

例1、海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始

在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之

后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？

9

A

解析：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到RtAABD和RtAACD,从而BD=AD

tan55",CD=ADtan25°,由BD—CD=BC,又BC=20海里得

ADtan55°-ADtan25°=20.

AD（tan55:-tan25'）=2O,

AD=____2?______勺20.79（海里）.

tan55°-tan25°

这样AD720.79海里＞10海里，所以货轮没有触礁的危险

例2、如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B

处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风

中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆

形区域（包括边界）均受到影响.

⑴问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.

⑵为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？

解析：⑴过点B作BD1AC.垂足为D.

依题意，得/BAC=30°，在RtAABD中，BD=AB=I2OX16=160V200,

22

AB处会受到台风影响.

⑵以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F,由勾股定理可求得DE=120.

10

AD=160J3.

AE=AD-DE=160抑-120,

细-吧=3.8（小时）.

40

因此，咳船应在3.8小时内卸完货物.

练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300m,再爬30°的山坡100m,

求山高.（结果精确到0.01m）

三、本课小结

本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析

和

解决实际问题的能力.

四、作业

如图，RtAABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12m,它的坡角为

45’,为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD,求DB

的长.（结果保留根号）

第5课时三角函数的趣题一

月平均气温问题

教学要求：选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数

11

学、学好数学的欲望.

教学过程:

一、谈话导入

数学的应用，随着人类的进步和科技的发展，已经渗透到社会的各个方面，“数学

已无处不在：下面我们看看三角函数在生活中有哪些应用。

二、典例分析

例1、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨

潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间

t（n<f<24,单位：时）的函数，记作y=f（t）,下面是该港口在某季节每天水深的数

据。

t（时）0361215182124

y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0

y=3sin—f+10

根据数据求出y=f（t）的拟合函数，76,一般情况下，船舶航行时，

船底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰

海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内

安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）

解析：依题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米，3s1n2"

万/、1■xwx&wc,5

62,2666,得12m2N+5（Nez）,在同一天内，取k=0

或1,1<f<5或,所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时

退出，在港口内最多停留16小时。

例2、某工厂因生产需要，要生产1200个如图形状的三角形铁片，已知在aABC

中，乐山+^^=号_*。=25/8=35,，问要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积（精

确到lcm2）.

12

c8

解析：sinA+cosA=。-,①(sinA+cosA)2=T.

,1

/.2sinAcosA=—.2V0°<A<1800,，sinA>0,cosA<0.

3_

*/(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=T,

yr

/.sinA-cosA=2.②

WZ飞

①+②，得sinA=4，

/.5—CMBrirU&二:(^/2+V6)(cm2).

2244

...要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积为：120°x副百)777").

答：所以要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积约3477cm2.

三、本课小结

三角函数不但应用于数学的各个分支，也广泛应用于其他的学科及社会生产实践

中，.在实际生活中，也会经常碰到一些需要运用三角函数来解决的问题,特别是一些线

段的度量和角的计算等问题我们要灵活运用

四、作业

把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面

积最大？

第6课时数列中的趣题一

13

柯克曼女生问题

教学要求：通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极

性.教学过程：

一、问题引入：

有一个学校有15个女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一周内的

每天做三人行散步时，与其她同学在组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一

小组，应怎样安排？

二、典例分析

例1、大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，

问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。(假定相邻两层楼

梯长相等)

分析：设相邻两层楼梯长为a,则

S=a[(1+2++k—1)+0+(1+2++(n-k))]

m+n

=a[k2-(n+1)/c+21(1<k<n)

分n为奇数和n为偶数两类讨论.

例2、某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树

100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.

(1)若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化？

(2)若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%,

那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S,求S的表达式.

(3)若1.28坊4.3,计算S(精确到1立方米).

14

分析：由题意可知，各年植树亩数为：100,150,200,……成等差数列

三、本课小洁：下面回到课前问题，设15位女生用下面15个符号表示：x,

al,a2,bl,b2,cl,c2,dl,d2,el,e2,fl,f2,gl,g2将它们排成七行，每天五

个三人行小组(共十五人)，使x处于七行中的最前一位置上：(x,al,a2);(x,bl,b2);

(x,cl,c2);(x,dl,d2);(x,el,e2);(x,fl,f2);(x,gl,g2).

于是只须分配14个元素，再每一行中，后继三人行小组，即对有下标的七个元

素a,b,c,d,e,f,g进行三元素组合，填入每行，但每个字母只许出项两

次。即

Sunday:(x,a,a),(b,d,f),(b,e,g),(c,d,g),(c,e,f);

Monday:(x,b,b),(a,b,e),(a,f,g),(c,d,g),(c,e,f);

Tuesday:(x,c,c),(a,d,e),(a,f,g),(b,d,f),(b,e,g);

Wednsday:(x,d,d),(a,b,c),(a,f,g),(b,e,g),(c,e,f);

Thursday:(x,e,e),(a,b,c),(a,f,g),(b,d,f),(c,d,g)

Friday:(x,f,f),(a,b,c),(a,d,e),(b,e,g),(c,d,g);

Saturday:(x,g,g),(a,b,c),(a,d,e),(b,d,f),(c,e,f)

现在来填下标，如果在同一行中，可以有两个相同字母，例如在第三行中bdf,beg

中，b出现两次，可标上不同的脚标bl,b2;若每一个“三人行”，有两个脚标已定，

则在同一行，别的三人行组不能再用；若不是由两种原则定出脚标，就定为1。得到

解：

Sunday:(x,al,a2),(bl,dl,fl),(b2,el,gl),(cl,d2,g2),(c2,e2,f2);

Monday:(x,bl,b2),(al,b2,e2),(a2,f2,g2),(cl,dl,gl),(c2,el,fl);

Tuesday:(x,cl,c2),(al,dl,el),(a2,fl,gl),(bl,d2,f2),(b2,e2,g2);

15

Wednsday:(x,dl,d2),(al,b2,c2),(a2,f2,gl),(b2,el,g2),(cl,e2,fl);

Thursday:(x,el,e2),(al,bl,cl),(a2,fl,g2),(b2,dl,f2),(c2,d2,gl)

Friday:(x,fl,f2),(al,b2,cl),(a2,d2,el),(bl,e2,gl),(c2,dl,g2);

Saturday:(x,gl,g2),(al,bl,c2),(a2,dl,e2),(b2,d2,fl),(cl,el,f2)

三、作业

某林场有荒山3250亩，从96年开始，每年春季在荒山上植树造林，第一年植

100亩，计划以后每年比上一年多植树50亩(假定全部成活).

(1)需几年可将此荒山全部绿化.

⑵已知新植树苗每亩木材量为2m3,树木每年的自然增长率为10%,设荒山全部绿

化后的年底木材总量为S,求S的最简表达式

第7课时数列中的趣题一

数列的应用

教学要求：培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背

景，让学生自主探究知识的发生发展过程

教学过程：

一、诗词引入

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先由杜甫的诗《绝句》引出课题，每一句都与数有关系。再由一些生活中的例子

进一步探索数列的定义及其蕴含的数量关系

二、典例分析

例1、、有一序列图形PVP2,P3…….已知P］是边长为1的等边三角形，将P,的每条

边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉

得P2,…..，将Pz的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三

角形，再将中间部分的线段去掉得P。试分别求P。的周长。和面积S。.

解析：这序列图形的边数构成的数列为：3,3x4,3x42,,3x4,1,;

它们的边长构成的数列为：.

3323,1

1(4V-1

C—x3x4”-i-3xI_.

«3n-1I3)

S

S2比S1多3个面积为』的正三角形.即

S-

S-S=」x3,同理，

219

S

S—S=—1x12,

3292

17

s

S—S=1x3x4*2,累加得：

N—9A-1

S.S=1，+UI++匕(”工.*1

"13I[⑼19；19；J39|Ll可J

例2.在E1000,2000]内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

解析：不妨设a=3n,b=4m+1(m,ne/V*),

nm

则k。｝为｛2口｝与｛1｝的公共项构成的等差数列(1000WCpW2000)

'."an=bin,B|J：3n=4m+l令n=3,则m=2:q=9且有上式可知：d=12

,'.cp=9+12(p-l)(peN*)

711

由1000WcW2000解得：83_<p<166_

n12~2

；.p取84、85、...、166共83项。

三、本课小结

根据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己通过联想、类比、对比、归

纳的方法迁移到新情境中，将新的知识内化到学生原有的认知结构中去。

四、作业

1.一梯形两底边长分别为12cm22cm,将梯形一腰10等分，经过每分点作平行于底

边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度和.

2.某化工厂生产一种溶液，按市场的要求杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质

0.2%,每过滤一次可使杂质减少L,问至少过滤多少次才能使产品达到市场的要求

3

18

第8课时不等式性质应用趣题一

两边夹不等式”的推广及趣例

教学要求：理解“两边夹不等式”的推广及应用

教学过程：

一、情境引入

大家都熟知等比定理：若：=：,则!若将条件中的等式改为不

bdbb+dd

ac

等式，如H〈二，那么结论如何呢?课本上有这样一道练习：已知a,b,c,d都是正数,

bd

19

且bc>ad,则二<高中数学第二册（上）（人教版）），在平时的教学过程中，

bb+dd

稍不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明问题的方便，称不等

式°<a+c<°为两边夹不等式。当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这个

bb+dd

不等式却别有一番风味.对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的.

二、“两边夹不等式”理解推广

1、两边夹不等式的两种理解

Q

解（1）实际意义的理解：有同种溶液（如糖水）A、B,已知溶液A的浓度为，溶

b

ca+c

液B的浓度;，现将两种溶液混合成溶液C,此时溶液浓度为一一由日常生

db+d

活经验知道有a+cc

bb+dd

（2）几何意义的理解：由分式联想

到直线的斜率，设

0A_

=（b,a）,OB=（d,c）则直线0A、

OB斜率分别是：（如图1）,则

bd

OA+OB=（^b+d,a+c）,它表示图中的

OC,显然直线OC的斜率A于OA、

0B的斜率之间，即0<a+jc

bb+dd

进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如OD=OA+2OB=（b+2d,a+2c）得

到不等式二<£±上.<：,仿此还可到几个不等式链：

bb+2dd

(1)a<a+ca+2ca+3c<...<a+nc<...<c

bb+db+2db+3db+ndd

bb+d2b+d3b+dnb+dd

QC

(3)_<%t上.<…v_(其中m,〃£N*)

bmb+ndd

20

2.两边夹不等式的一个简单应用

练习1、利用此不等式，可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知都

是正数，且a<b,求证：+m

bb+m

分析：a<b,.<1=上，由两边夹不等式立即得二<£上巴.

bmbb+m

3.两个有意义的推广

aaa

推论1（等比定理的推广）：已知a,beR+（i=1,2,3,,n）,t7<<n,

b

12n

利用两边夹不等式可以容易得到证明，这里从略。

由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值不变，那么将：与1的分子

bd

分母各乘以非零实数九，九又有什么结论呢？

12

nr

推论2（一般性推广）：若正数Q,b,c。及非零实数九，入满足<，则

12bd

Q<〉Q+九

b土匕一_

bdd

12

aXacXcac

证明：

12

aXa+Xcc

由两边夹不等式立即得___

练习2、无限夹数游戏

⑴给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一些数吗?

如1与1,1与2,2与1等。

323552

依据两边夹不等式可以得到

21

2

1

1

介±

于与I司

-

-

-

5

3

2

Z

3

1

介2

于与司

-

-

-

X

8

3

介5

3

2

1

于与I司

2

7

5

广。

种推

及两

理解

意义

几何

等式

夹不

两边

讲了

主要

：本节

小结

本节

三