高中数学必修四(期末试卷 含答案)

数学必修四测试卷

一、选择题（本大题共12道小题，每题5分，共60分）

1.函数尸sin+cos的值域为（）.

A.（0,1）B.（-1,1）C.（1,拒］D.（-1,72）

2.锐角三角形的内角48满足tan=tanB,则有（）.

sin2A

A.sin24—cos8=0B.sin2/+cos8=0

C.sin2J—sin8=0D.sin2/+sin6=0

3.函数/'（x）=511120：+：）—5111:2卜：一：）是（）.

A.周期为的偶函数B.周期为的奇函数

C.周期为2的偶函数D.周期为2的奇函数

4.下列命题正确的是（）

A.单位向量都相等

B.若五是共线向量，B与"是共线向量，则£与2是共线向量

C.\a+b\=\a-b\,则万石=0

D.若Z与瓦是单位向量，则玛•a=1

5.已知］,5均为单位向量，它们的夹角为60°,那么k+3可=（）

A.V7B.V10C.V13D.4

6.已知向量Z，石满足同=1,忖=4,且£4=2,则£与］的夹角为

A..—71cD

6B-7-f-T

7.在ABC中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA=V3，则C的大小应为（）

A.71BC.三或*万D

7662

8.若则对任意实数的取值为（）

A.区间（0,1)B.1C.D.不能确定

9.在中,,则的大小为（）

A.B.C.D.

27r

10.已知角a的终边上一点的坐标为(sin—被7），则角a的最小值为

3

（）。

5%R2乃1\TC

6336

11.A,B,C是AABC的三个内角，且tanAtanB是方程3尤2—5x+l=0的两个实

数根，则八八1^是（）

A、等边三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、钝角三角形

12.已知sinxcosy=，M!］cosxsiny的取值范围是（）

311311

A、［—1,1］B、C、D、

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知方程X?+4QX+3Q+1=0（a为大于1的常数）的两根为tana,tan（3,

且a、则tan寸的值是.

14.若向量|Z|=1,|B|=2,|£-切=2,则|£+引=-

15.给出四个命题：①存在实数a,使sinacosa=l；②存在实数a,使

sina+cosa=—；③丫=sin（至一2x）是偶函数；④］二巳是函数丫=5山（21+2）

2284

的一条对称轴方程；⑤若a,夕是第一象限角，且a>/?,则sina>sinp。其中

所有的正确命题的序号是____O

16.sin（：+ajsin］：—“=:则sin4的值为.

三、解答题（本题共6小题，共70分）

17.（10分）已知，求的最小值及最大值。

18.(12分)已知c咤+>|,…与,求笔等的值.

19.(12分)已知函数/(x)=sin(@r+①)(<y>O,OW①或万)是R上的偶函数，其

图像关于点M弓肛0)对称，且在区间［0,擀］上是单调函数，求①和”的值。

20.(12分)已知向量M=(cos|■光,sin］)石=(cos,-sin鼻，且xw0,/,求

(1)五石及卜+可；

(2)若f(x)=a-b-2A|«+b\的最小值是-1，求实数2的值.

__2亚

21.(12分)已知向量a=(cosa,sina),石=(cos/7,sin?)，=.

(1)求cos(a-/?)的值；

(2)若0<a<生，--</?<0»且sin/?=--—,求sina的值.

2213

22.(12分)已知向量a=(cos上，sinX),=(cos—,—sin—),c=(V3»-1),

2222

其中xeR.

(1)当a_L)时，求x值的集合；

（2）求|a-c|的最大值.

2011~2012学年度下学期期末考试

高一数学答案(理科)

第I卷(选择题，共12题，共60分)

1-5CABCC6-10CBBAD11-12DD

1.C解析：sin+cos=V2sin(+—),又G(0,—),值域

42

为(1,为].

2.A解析：由tanA——!—=tanB,得一!—=tan/—tanB=>----'----=

sin2Asin2A2sinAcos4

sin(A—B)

cosAcos8

=>cos8=2sinAsin(A—^)=>cos[—A\=2sin/sin(4一而

=>cos(^—^)cos/I—sinZsinQl—⑸=0,即cos(22—而=0.

•・•△力阿是锐角三角形，

——<2/1—BV兀，

2

2A~B=—sin24=cosB,即sin24—cosB=0.

2

3.B解析：由sin(x—=sin(：—'=cos2(£+x],

得f{x)=sin[x+5)—cos?仲+x)=—cos(2x+5)=sin2x.

4.C单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当坂=0时，]与1可以为任

意向量；

\a+h\=\a-b\,即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角

5.C忖+35卜J万2+6万区+9〃2=J1+6cos600+9=V13

6.ccose=^^=2=Le=工

|明423

7.正确答案：B错因：学生求C有两解后不代入检验。

8.解一：设点，则此点满足

解得或即

选B

解二：用赋值法，令同样有选B

说明：此题极易认为答案B最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们

忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D。

9.解：由平方相加得

若则

又选A

说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。这里提示我

们要注意对题目条件的挖掘。

10.正解：D

2V35Tli一」ri•2八2^^人

tana—cos—TI=------,/.cc=-a——JI,而sin——>0cos——<0

336633

所以，角e的终边在第四象限，所以选D,a=-7r

6

、22、

误解：tana=tan—1，选B

33

11.正解：D

3

1tanA.+tanBD--

由韦达定理得：[5

tanAtanB=一

3

5

tanA+tan35

tan(A+B)3.

1-tanAtanB22

3

在AA3C中，tanC=tan[/r一(A+B)]=-tan(A+B)=<0

2

・•・NC是钝角，「.AABC是钝角三角形。

12.答案:D设cosxsiny=t,贝U(sinxcosy)(cosxsiny)=,可得sin2xsin2y=2t,

由卜in2xsin2^|<唧团41/.<r<o

错解：B、C

错因：Wsinxcosy=；与cosxsiny=Z相力口得sin(x+y)=g+f由

1Q1

-14sin(x+y)<l得-+得-选B,相减时选3没有考虑上述

两种情况均须满足。

第II卷(非选择题，共90分)

一、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.-214.V615.③④16.一警

13.正确解法：a>1，tana+tan/?=-4Q<0,tana・tan/?=3a+l>o

tana.tan(3是方程元之+4or+3a+l=0的两个负根

又a、Be

由tan（a+⑶janattanQ=中j，可tan^=-2.

'1-tana-tan/?l-（3o+l）32

答案：-2.

14.新由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得

,+@+|a-&|2=2同2+2时=卜+51=2同2+2同一,_§1=2+2x4-4=6

15.正解：③④

①sinacosa=—sin2aesinacosa=1不成立。

222

②sina+cosa=V2sin（a+—）e[-V2,V2],—e[-V2,V2],.\不成立。

42

③丁=5亩（生-2%）=5111（工-2%）=（：052%是偶函数，成立。

22

④将％=工代入2%+.得红，.•.X=工是对称轴，成立。

8428

⑤若a=390°,，=60°,。>民但sina<sin4,不成立。

误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。

⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是（0。,90。）的角，从而根据

y=sinx做出了错误的判断。

4V2

16.------.

9

兀

解析：•二sin——a=sin

/.cos2='，又e(,Ji),/.2(Ji,2JI).

32

*/sin2=-Jl—cos22a=一2立,

3

•二sin4=2sin2cos2=-.

9

三、解答题(本题共6小题，共70分)

17.解：

令贝I

而对称轴为当时，；当时，

说明：此题易认为时，，最大值不存在，这是忽略了条

件不在正弦函数的值域之内。

18.解：—<%<—,，-<-+^<2.又cos任+j=3>0,

12464U75

・冗,%」_/・•（兀（兀

・・—3—I20f・・sin—+x—4,,tan—+x4—.

2414J5（4J3

又sin2x=-cos（/+2x]=-cos2停+f=-2cos[：+xJ+1=卷，

・原式=sin2x+2sin2x_sin2xcosx+2sin2xcosx_sin2x(cosA:+sinx)

sinxcosx-sinxcosx-sinx

cosx

=sin2x(l+tanx)=sin2*•tan(N+x)=—空.

1—tanx475

19.正解：由/(x)是偶函数，得/(-幻=/(幻

故sin(-m+①)=sin((ux+①)，，-cos①sin以=cos①sin5

对任意x都成立，且。>0,；.cos中=0

依题设0W①或)，，<1)=卫

2

由/(X)的图像关于点M对称，得/(-万-x)=-/(-^+x)

44

取x=0W((%)=一/(54),，/(2不)=0

r/3..3caxit、八

/(-%)=sin(—+—)=cos(-^-),.\cosf^-)=0

T7八/.FT7C..“c

又@>0,得---=—I-k.7t,k=0,1,2

42

<y=|(2^+1),A:=0,1,2...

当左=0时，啰=2,/(x)=sin(2x+马在「0,%］上是减函数。

3322

jr7T

当左=1时，co=2,/(x)=sin(2x+万)在［0,耳］上是减函数。

当％22时，0=岑J(x)=sin(m+g在［0,自上不是单调函数。

、，2

所以，综合得口=一或切=2。

3

误解：①常见错误是未对K进行讨论，最后。只得一解。

②对题目条件在区间［0,刍上是单调函数，不进行讨论，故对不

23

能排除。

20.错误分析：⑴求出归+可=(2+2cos2x后,而不知进一步化为2cosX,人为增

加难度；

(2)化为关于cosx的二次函数在［0,1］的最值问题，不知对对称轴

方程讨论.

答案：⑴易求5=cos2x,归+可=2cosx;

(2)

/(x)=a-b-2布+B卜cos2x-22•2cosx=2cos2x-4/lcosx-1

=2(cosx-2)2-222-1

*/x€COSXG[o,l]

从而：当;l<0时，/(x)min=T与题意矛盾，几<0不合题意；

Q1

当0<4<1时，/(4nhi=-2方一「一家;

当八1时，/)而11=1一4/1=一］,解得/1=：,不满足

28

2>1;

综合可得：实数X的值为

2

21.解(I)•/a=(cosa,sin,b=(cosp,sin/?),

/.a-b=(cosa—cosJ3,sina-sin0).

••归也咨cosa-cos/y+(sina-sin〃)2=~~^~

4、3

即2-2cos(a-/)