高中数学高考冲刺二面角题型总结

高中数学高考冲刺二面角题型总结

有棱二面角

1定义法

即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即

得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高

千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.

例1正方体ABCD-ABCD中，求二面角A-BD-G的正切值力.

分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求嬴

二面角C-BD-G的“补角”.教材中根本就没有“二

这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就」

AB

思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知/%》

是二面角C-BD-Ci的平面角，且tan/COC产血。

将题目略作变化，二面角A「BD-G的余弦值为.

在图1中，NAQG是二面角A「BD-G的平面角，设出正方体的棱长，

用余弦定理易求得

COSZAIOCF!

3AA]

例2如图2(1),在正三角形ABC

中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，/日次

EB二CF：FA二CP：BP=1：2.如图2(2),将XAEF折题cBQP(

图2⑴图2⑵

到△AJEF的位置，使二面角A「EF-B成直二面角，连

接AB、AR

(I)与(II)略；(III)求二面角B-AF-F的余弦值。

分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的

启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点

Q,连接EQ,则在正三角形ABC中，很容易证得△BEQ04

PEQ^APEF^AAEF,那么在图2(2)中，有AQ二AE作FM1A.P于

M,连接QH、QF,则易得△AQP0ZXAFP,AQMP^AFMP,所以

ZPMQ=ZPMF=90°,NQMF为二面角B-AF-F的平面角，使题解取得

了突破性的进展.设正三角形的边长为3,依次

可求得AF二百，Q归FM=竽，在△QMF中，由

余弦定理得cosNQMF=—工。

8H

练习：如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长

为1的菱形,

且NDAB=60°,%=尸。=曰，PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.

⑴证明：AD，平面DEF；(2)求二面角P-AD-B的余

弦值.

解：(2)由(1)知NPG8为二面角P-AD-B的平面角,

在Rt\PGA中,PG2=V22-(^)2；在RMGA中，

BG2=l2-(^)2；

4,…PG2+BG2-PB2V2T

在\PGB中,cosZPGB=------------=----.

IPG-BG7

2三垂线法

这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面

角的定义.

此法最基本的一个模型为：如图3,设锐二面角

图3

内一点P作PA，a于A,作AB，/于B,连接PB,由三垂线定理得

PB

±2,则NPBA为二面角口一/一尸的平面角，故称此法为三垂线法.

最重要的是在“变形（形状改变）”和“变位（位置变化）”中能迅速

作

出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形（最好是直角三角

形，如图3中的RtAPAB）中求解.对于钝二面角也完全可以用这种

方法，锐角的补角不就是钝角吗？

例3如图4,平面a，平面"，aC°=1,AGa,B£q，点A在耳

~五

线1上的射影为Ai,点B在/的射影为B,,已知

BBI二隹求：

（I）略；（II）二面角4—AB—Bi的正弦值.乙-----

分析与略解：所求二面角的棱为AB,不像图3的那样一看就明白

的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深

刻性.

作A1E±AB1于ABi于E,则可证AF_L平面AB.B.过E作EF±A

B交AB于F,连接AF,则得AF_LAB,•••NAiFE就是所求二面角的

平面角.

依次可求得ABi=BiB=d^,AiB=V3,AiE=-^-,AiF-,贝（］在RtZXAiEF

上AiE乖

中，sinZAiFE=-.

Air3

与图3中的RtAPAB比较，这里的RtZ\AEF就发生了“变形”和

“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备.

3垂面法

事实上，图1中的平面COG、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面

PAB、图4中的平面AFE都是相关二面角棱的垂面，为电歹弹二

面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在^♦逑

方法可取得良好的效果.\/c/

例4空间的点P到二面角_的面a、尸及棱1的盅离鲍别

为4、3、3詈，求二面角夕―/一月的大小.

分析与略解：如图5,分别作PAJ_a于A,PB,Q于B,则易知

/_L平面PAB,设/A平面PAB二C,连接PC,则/_LPC.

分别在RtAPAC.RtAPBC中,PC二冬詈，PA=4,PB=3,则AC二竽，

BC=^.

3

因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PO2R,二面角a—/一夕

的大小为例

分别在aPAB、AABC中，由余弦定理得

AB=AC2+BC2-2•AC-BCCOS^PA2+PB-2-PA-PBcos(*。),

则可解得cos。=—g,0=120°,二面角a―的大小为120".

4面积法

如图1,设二面角C-BD-G的大小为8，则在RtZSCOG中，cos

COBD

e=CO=2在某些情况下用此法特别方便.

G。BDS&GBD

例5如图6,平面a外的△ABG在a内的射影是边长为1的正三角

形ABC,且AA尸2,BB尸3,CG=4,求△ABG所在的平面与平面a所

成锐二面角的余弦值

分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BBi、

CC)取BD=CE=AAi,

则△A&GgZ\AJ)E,可求得AB二声，AC尸百，

血，所以等腰△ABG的面积为平，又正

设所求二面角的大小为九则cose=g./_______

5图6

无棱二面角

题目：如图1,正三棱柱ABC-ABG的各棱长都是1,M是棱C|C的中

点，求截面A|BM与底面ABC所成锐角二面角的大小。

图1

一.平移法

我们知道，两个平行平面与第三个平面相交，所成的两个同向二面

角相等。根据这个道理，可将二面角的一个面或两个面平移到适当

的位置，使其相交，构成一个易求解的二面角。

解法1：如图2,取AA1的中点D,AB的中点E,则平面DEC中的DE〃

A|B,DC//A|M,则A|B〃面DEC,AM〃面DEC,从而面人即〃面DEC。这

样，面A|BM与面ABC所成的锐二面角等于面DEC与面ABC所成的

锐二面角，即二面角D-EC-A。

图2

由题设条件的正三棱柱，易知CE1AE,CE1DE,则ZAED是二面角

D-EC-A的平面角。

在等腰RtAAED中，NAED=45。。所以面与面ABC所成的锐二面角

为45。。

二.补形法

将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整

的二面角。

解法2：延长AN与AC,相交于点P,连结BP,则所求的二面角是

A1-BP-A（图3）

图3

在4A|AP中，由MC//A|A,且MC=3A|A,可得AC=CP。

再由正AABC,可得AC=BC=PC,则BPIABo

又A|A_L面ABC,则有BP_LA|B。

所以ZA.BA是二面角A1-BP-A的平面角。

由等腰RtAA|BA,知NA|BA=45°。

三.射影法

设二面角a-/-0的大小为0,面a内有一个面积为S的封闭图形，该

图形在面p内的射影面积为S',则c°sO=］。利用这个结论，只要计算

S和S'的值，就可求出二面角的大小。这种方法可以免去寻找二面

角的平面角及其证明过程，使解法直截了当，方便快捷。

解法3：由正三棱柱的条件，可知AABC是AAiBM在底面内的射影。

取A|B的中点N,连结MN,易求得

MN=—,A,B=V2

2

贝1]等腰△A]BM的面积

S=-A,BMN=—,

2,4

等边AABC的面积S=3。

4

设所求二面角的大小为8,由

cos0=£=且，得0=45。。

S2

四.向量法

设二面角a-l-B的大小为0,m和n分别是平面«和平面。的法向量,

则角。与角＜蒜＞相等或互补。所以|cosO|=|cos＜),“。特别地，当。为

—>—>

锐角时,cos0=|cos<m,n>|o

解法4：以B为原点，与AC平行的直线为x轴，与AC垂直且相交

的直线为y轴，BB1为z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系,

知BCO,0,0),M(L；),O从而就i=g,*J),BK=(一；,争)。

图4

设平面A.BM的法向量是m=(x,y,z),则由m_LBM,m±BA),有

1百1八

222

x+^-y+z=0

22

取特值x=l,可解得y=-©z=2。所以4=（I,一0,2）。

显然可取平面ABC的一个法向量为]=（o,o,i）o

设平面ARM与平面ABC所成锐角二面角为。，由

—>—>|m-n|2_V2

cosQ=|cos<m-n>|=VsVl"2'

Im||n|

得所求二面角的大小为45。。

公式法

大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个

面的平面角的大小也就确定.它们之间一定存在着某种必然的内

在联系.事实上，我们有如下的定理.

定理设。-工3c为一个三面角，乙=%乙40c=09乙BOC=e2,

二面角A0C-B的平面角为。，则有

cosa

cos0=cos6]cos%+sin司sin82

略证：如图，ACIOC,BCA.OC,则令O4=a,

OB=b.在RtAUC。中，AC=asvae^OC=acos*.同理，BC=bsynG^

OC=bcosQ2.acosGx=bcosg.

又在△工OB中，/小=aW-2就cosw,①

222

在△/BC中，=i2sinsin-2^sinQxsin62cosa②

由①，②得cos0=cos6]cos62+sin司sin%cosa.毕

同理可证，当日，名中有一个为钝角（或直角）时，公式也

照样成立（这里从略）.

由此可知：（1）将此公式反过来，只要知道了刍，外,。，

即可求平面角（2）此公式与三角形中的余弦定理有相似之

处，不妨把它叫做三面角的余弦定理.

例如图，在梯形力比力中，ADHBC,AB=a,AD=3a,PA=a,

Z_ABC=—Z-ADC=arcsin—▽一”…、，一一4

2,5,孙，平面求以8为棱的二面角

尸-8/的大小.

略解：D-MC构成三面角，令则

PD=ylAD\PAl=710a,cos°=2,

10

ZADC=arcsin—sinfl=—cosfi=

设5,5,5.

75

.ZADC=arcsin——.4£

由工3=a,AD=3a,5,知BC=a,CD=^5a#

又在RtZ\R4B中，由取=a,AB=a,得

在Rt△产BC中，PC二区,令乙PDC=%则

八切+尸。2_尸。23盘「近

cos=--------------------------=-------sin%=——

2CDPD5,5.

37102后3近75773714

由公式得丁二丁丁*亍了侬：cosa=-------

14.

3714

a=arccos--------

\14.

扩展：三面角是立体几何的基本概念之一，是组成多面体的重要元

素。与平面几何中有关三角形的正、余弦定A理

类似，有关三面角的正、余弦定理是解三面/角

的重要依据。熟练掌握解三面角的方法，可——B以

较大地提高立体几何的解题能力。

0、什么是三面角？：

有公共端点且不共面的三条射线以及相邻两射线间的平面部分

所组成的图形叫三面角。

①点S为三面角s—ABC的顶点。

②射线SA、SB、SC为三面角S—ABC的三条棱，

③三条棱它们所对的NBSC、NCSA、NASB为三

面角S—ABC的三个面角。通常可用a、b、c表示。

④以SA、SB、SC为棱的二面角B—SA—C、C—SB—A、

A—SC—B可用A、B、C来表示。

⑤以SA为棱的二面角B—SA—C所对的面角为：ZBSC

以SB为棱的二面角C—SB—A所对的面角为：NCSA

以SC为棱的二面角A—SC—B所对的面角为：ZASB

一、三面角正弦定理：三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的

正弦的比

sinZA_sinZB_sinZC

sinZBSC~sinZASC~sinZBSA

简单证明：如图在SA上任取点P作PO_L面SBC

于。，作

PE±SC,PF±SB,##：sinC=—,sin/?=—,

PEPF

PO^PEsmC^PFsmB,

即5?4sinZBSA-sinC=5>lsinZCSA-sinB,

故sinZB_sinZC

AsinZASC-sinZBSA

二、三面角余弦定理：

第一余弦定理：三面角一个面角的余弦等于其他两个面角的余弦的

乘积加上它们的正弦及它们（即“其它两个面角”）所夹二面角余弦

的连乘积。

cosZBSC=cosZASCcosZBSA+sinZASCsinZBSAcosA

证明：分析不失一般性，对三面角s—ABC,只须证明

cost/=cosbcosc+sinZ?sinc•cosA

证明时利用上述公式H及三角形的余弦定理即

可。

证明如图，设三面角S—ABC的面角

b及c均为锐角。在SB、SC上分别取

ISB.hlSCj-lo

作B1B2_LSA于B2,CCSA于C2,则出良|二sine,

|CC|二sinb二面角B—SA—C中,

期产相R/+1CG|2+|B2c212—21BB|・|CC|•

cosA=sin2C+sin?B+(cose-cosh)?-2sincsinbcosA

222

△B1SC1中,IB{CX|=|SB.|+1SC.|-21551I-ISCX\-cosa=2-2cosA(有错误。

是a,不是A,是面角，不是二面角。M式中