函数的单调性与最值 教案 高中数学新湘教版必修第一册（2022-2023学年）

3.2函数的基本性质

3.2.1函数的单调性与最值

最新课程标准学科核心素养

1.理解函数单调性的定义及相关概念，理解函数最大（小）

1.借助函数图象，会用符号语言表

值的定义.（数学抽象）

达函数的单调性.

2.能用单调性的定义证明函数的单调性.（逻辑推理）

2.理解单调性的作用和实际意义.

3.会利用函数的单调性求函数的最大（小）值.（数学运算）

新知初探

教材要点

要点一函数最大（小）值

设。是函数7U）的定义域，/是。的一个非空的子集.

（1）如果有“GD,使得不等式式外《人幻对一切XCD成立，就说兀0在％=“处取到最大值例

=加）,称M为次X）的最大值，“为_/u）的最大值点；

（2）如果有aCD,使得不等式/（X）刃（幻对一切XGD成立，就说J（x）在x=a处取到最小值M

=J（a）,称M为/（x）的最小值，a为_/（x）的最小值点.

状元随笔最大（小）值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y=-x2（xdR）的最

大值是0,有/0）=0.

要点二增函数与减函数的定义

|/二优对任意国，出司

|增函数卜~-I减函数|

状元随笔定义中的X1，X2有以下3个特征

（1）任意性，即“任意取X1,X2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般;

（2）有大小，通常规定X1VX2；

(3)属于同一个单调区间.

要点三单调性与单调区间

如果函数y=/(x)在区间1上是增函数或减函数，那么就说函数y=/(x)在这一区间上具有(严

格的),区间/叫作y=/(x)的.

状元随笔一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“U”连接，而应该用“和”

连接.如函数丫=:在(-8,0)和(0,+8)上单调递减，却不能表述为：函数y=(在(_8,())U(0,

+8)上单调递减.

基础检测

1.思考辨析(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)函数<恒成立，则风r)的最大值是1.()

(2)函数y=*x)在［1,+8)上是增函数，则函数的单调递增区间是［1,+8).()

(3)函数、=:的单调递减区间是(-8,0)U(0,+8).()

(4)如果函数y=/(x)在区间［小切上单调递减，在区间g,c］上单调递增，则函数y=/(x)在区

间［a,c］上在x=b处有最小值的).()

2.函数、=-*+3%的单调递减区间是()

A.［0,+8)B.(-8,0)

C.(-8，扣.［；，+8)

3.(多选)如果函数式x)在3,6］上是增函数，对于任意为，X2^［a,句(X1#X2)，则下列结论中

正确的是()

A；-(xl)-f(x2)>0

X1-X2

B.(X|-X2)［/(X1)>0

CKa)WJtxi)(双X2)W£b)

D次X|)>/(X2)

4.函数段)在［-2,2］上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是.

题型探究

题型1利用图象求函数的单调区间

例1已知函数«x)=/-4|x|+3,xGR.

(1)将函数写成分段函数的形式；

(2)画出函数的图象；

(3)根据图象写出它的单调区间.

方法归纳

(1)求函数单调区间时:若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据

其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象,

根据图象写出其单调区间.

(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“U”连接两个单调区间，而要用

“和”或“，”连接.

跟踪训练1(1)已知函数y=/(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为()

A.(-3,1)U(1,4)

B.(-5,3)U(-1,1)

C.(-3,-1),(1,4)

D.(-5,—3),(―1,1)

(2)函数y=-f+2|川+3的单调递增区间是,递减区间是.

题型2函数的单调性判断与证明

例2用定义证明函数;(x)=x+：(&>0)在(0,+8)上的单调性.

方法归纳

利用定义证明函数单调性的步骤

注：作差变形是解题关键.

跟踪训练2已知函数段)=品，判断并用定义证明大x)在(0,+8)上的单调性.

题型3函数单调性的应用

角度1比较大小

例3已知函数在［0,+8)上是减函数，则()

A：/g)>火层一〃+1)B./(|)<X«2-«+1)

C./©W-«+l)加2"+1)

状元随笔利用单调性比较函数值或自变量的大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个

单调区间上.

角度2解不等式

例4兀v)是定义在(-2,2)上的减函数，若1A则实数〃?的取值范围是()

3

A.>OB.O</??<-

2

C.-lV，〃<3D.1-<m<3之

22

状元随笔利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数的对应法则，构造不等式(不等

式组)求解，注意函数的定义域，所有自变量都必须在函数的定义域内.

角度3利用函数的单调性求参数的取值范围

例5若式x)=-*+4〃a与g(x)=1^在区间［2,4］上都是减函数，则相的取值范围是()

A.(-8,0)U(0,1］B.(-1,0)U(0,1］

C.(0,+8)D.(0,1］

方法归纳

“函数的单调区间为/”与“函数在区间/上单调”的区别

单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是/,指的是函数递减的最大范围为区间

/,而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的

单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义.

角度4求函数的最值

例6已知函数凡r)=£(xG［2,6J),求函数的最大值和最小值.

方法归纳

1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤

(1)判断函数的单调性.

(2)利用单调性求出最大(小)值.

2.函数的最大(小)值与单调性的关系

(1)若函数次x)在区间口，句上是增(减)函数，则4x)在区间m，句上的最小(大)值是人a),最大

(小)值是加).

⑵若函数./U)在区间［a,句上是增(减)函数,在区间屹，c］上是减(增)函数,则|x)在区间［a,

c］上的最大(小)值是火份，最小(大)值是4a)与犬c)中较小(大)的一个.

跟踪训练3(1)己知函数_Ax)=f+bx+c图象的对称轴为直线x=2,则下列关系式正确的

是()

A.A-1)<XD<X2)B7(i)</(2)</(-i)

C.A2)<XD<A-DD.XD<A-D<X2)

(2)函数y=/(x)在R上为增函数，且42〃?)力i-m+9),则实数，"的取值范围是()

A.(-8,-3)B.(0,+8)

C.(3,+°°)D.(-°°>-3)U(3.+°°)

(3)已知函数«x)=|2r-a|的单调递增区间是［3,+«>),则a的值为.

(4)已知函数氏0=竟“求函数y(x)在［1,5］上的最值.

易错辨析忽视函数的定义

—ax—5(x<1),

例7已知函数/x)=是R上的增函数，则〃的取值范围是()

21)，

A.-3«0B.aW-2

C.a<0D.-3，W-2

—x2—ax—5fxv］),

解析：函数/(X)=az、一是R上的增函数，则人幻=一/一数一5。・1)单调递

9>1),

增，故它的对称轴即aW-2,此时/U)=：(x>l)也单调递增，所以。<0,要保证在

R上是增函数.还需在尸1处满足-12-4X1-5=,即心-3.综上所述，-3WaW-2.

答案：D

易错警示

易错原因纠错心得

只考虑贝x)=-f-奴-5(xWl)单调递增与危)分段函数如果都能单调递增还需保证断点左

=%>1)单调递增，1侧的值小于或等于右侧的值.

X1a<0

本题中：-l2-aX1-5^.

；.aW-2,忽视增函数的定义出错.

课堂练习

1.(多选)如图所示的是定义在区间［-5,5］上的函数y=/(x)的图象，则下列关于函数4x)的说

法正确的是()

A.函数在区间［-5,-3］上单调递增

B.函数在区间［1,4］上单调递增

C.函数在区间［-3,1JU［4,5］上单调递减

D.函数在区间［-5,5］上没有单调性

2.函数y=W的单调减区间是()

A.(-8,1),(1,H-OO)B.(-8,1)U(1,+8)

-xWl}D.R

3.函数y=系在［2,3］上的最小值为()

A.lB.i

3

C.-D.-

32

4.设关于x的函数y=(k-2)x+l是R上的增函数，则实数k的取值范围是.

5.已知危)是定义在［-1,1］上的增函数，且加求x的取值范围.

参考答案

新知初探

要点二

於I)勺(X2)於l)MX2)增函数减函数

要点三

单调性单调区间

［基础检测］

1.答案：⑴x(2)X(3)X(4)J

2.解析：借助图象得)・=-"+3》的单调减区间是悖，+8).

答案：D

3.解析：由函数单调性的定义可知，若函数y=/(x)在给定的区间上是增函数，则xi-X2与兀q)

-火X2)同号，由此可知，选项A,B正确；对于C,D,因为为，及的大小关系无法判断，则

人为)与‘危⑵的大小关系也无法判断，故C、D不正确.故选AB.

答案：AB

4.解析：由图象知点(1,2)是最高点，点(-2,-1)是最低点，

*"ymax—2，Nmin一—L

答案：-L2

题型探究

X2-4x4-3,x>0,

例1解析：(iyu)=f-4k|+3=

.X?+4x+3,x<0.

(2)如图.

(3)由图象可知单调递增区间为[-2,0),[2,+°°),单调递减区间为(-8,-2),[0,2).

跟踪训练1解析：(1)在某个区间上，若函数y="r)的图象是上升的，则该区间为增区间,

若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(-3,-1),(1,4).

—x2+2x+3,x>0,

(2)y=-f+2|x|+3=

—x2-2x4-3,x<0.

画出函数图象如图，由图可知函数y=-/+2|x|+3的单调递增区间是：(-8,-1],(0,1].

递减区间是：[-1,0],[1,+°°).

答案：(1)C(2)(-co,-1],(0,1J[-1,0],[1,+8)

例2证明：设汨，及£(0，+°°),且为＜%2,

xX2-X1/.Xi-X

则於1)一段2)=(xi+-(2+怖)=(为一工2)+6一擀)=(乃一及)+左、2

t^=(x'~x2)~k塞

/\XjXo-k

=(X|-X2)•二^—

X1X2

因为0<九1<X2,所以X]—犬2<0，X]X2>0.

当为，X2^(0,Vk]B't,X/2-攵＜0=73)-於2)＞0，此时函数危)为减函数;

当为，X2^(Vk,+8)时，X\X2-k>O^fix\)-X^2)<0,此时函数«¥)为增函数.

综上，函数式x)=x+：(QO)在区间(0,上为减函数，在区间(灰，+8)上为增函数.

跟踪训练2解析：於)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.

证明如下：VX1，12W(0，+°°)»且X1VX2，

有fir、一行丫>—X1-_%1(0+4)--2(/+4)_02-41)(守2-4)

刊八八&)一而一而(好+4)3+4)(*+4)(媚+4)'

因为0<X\<X2,所以％2-Xi>0,(%I+4)(%2+4)>0.

当x>2时，/亚一4>0,笔端詈U>0,yUi)-y(X2)>0,即火XI)次X2),此时大x)单调递减.

1X1+4AX2+4J

当0。<2时，X62-4<0,笔噜竽U<0,於|)-段2)<0，即火X1)勺(X2),此时共X)单调递

lXl+4AX2+4J

增.

所以，7U)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.

2

例3解析：・・・a2-a+i=(a—=)+[之又:函数y=/W在[°，+8)是减函数，.\/(a2_a

\2/44

+l)勺G).故选c.

答案：c

-2V7H—1V2,

-2<2m-1<2,解得0<w<|.

{m—1<2m—1,

故选B.

答案：B

例5解析：函数於)=-1+4〃犹的图象开口向下，且以直线x=2,〃为对称轴，若在区间⑵

4]上是减函数，则2加<2,解得机W1,8。)=察的图象由y=等的图象向左平移一个单位长

度得到的，若在区间[2,4]上是减函数，则2机>0,解得初>0.综上可得相的取值范围是(0,

1].故选D.

答案：D

例6解析：Vxi，X2^[2,6],且X[<T2，则

o=______2_2[(X2-1)-(X1-1)]一2(X2-X1)

2,

“"八Xt-1x2-l(Xi-l)(x2-l)(Xj-DCXj-l),

由2WXI<X2W6,得超-»>0,(XL1)(犬2-1)>0,

于是於|)-小2)>0，

即於1)次X2工

所以，函数.穴》)=含在区间［2,6］上单调递减.

因此，函数负》)=作在区间［2,6］的两个端点处分别取得最大值与最小值.在x=2时取得最

大值，最大值是2；在x=6时取得最小值，最小值是0.4.

跟踪训练3解析：(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2,所以兀v)在(-

8,2］上单调递减,因为所以22RU)勺(-1).故选C.

(2)因为函数y=/U)在R上为增函数，且12*相-,”+9),所以2ni>-m+9,即心3.故选

C.

(2x—a,x>-

⑶*x)=|2x-a|=2

(―2x+a,x