高中数学总复习资料必修1-5

高中数学总复习资料汇总(必修1-5)

高考数学复习必修1

第一章、集合

一、基础知识(理解去记)

定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母

来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素》在集合A中，称》属于A,

记为xeA,否则称》不属于A,记作x2A。

例如，通常用N,Z,Q,B,Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理

数集，不含任何元素的集合称为空集，用°来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集

合的方法，如｛1,2,3)；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如｛有理数｝,｛可苫>0｝分别表示有理数集和正实数集。

定义2子集：对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,

则A叫做B的子集，记为A1,例如N胃Z。规定空集是任何集合的子集，如果A是

B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不

属于A,则A叫B的真子集。

便于理解：人口8包含两个意思：①A与B相等、②A是B的真子集

定义3交集，408=｛小6A且xeB｝.

定义4并集，AUB=｛A|XeA§JtreB].

定义5补集，若AC，'则GA"®**/，-日/走*称为人在i中的补集。

定义6集合例<圻记作开区间(”向，集合

｛^a<x<b,x&R,a<b｝记作闭区间[a,b]R记作(-8,+8).

定义7空集。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

补充知识点对集合中元素三大性质的理解

(1)确定性

集合中的元素，必须是确定的.对于集合4和元素要么aeA,要么aeA,二者

必居其一.比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的.而“较大

的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的.再如，“较大的树”、“较高的人”

等都不能构成集合.

(2)互异性

对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.任何两个相同的对象在同一集合中

时，只能算作这个集合中的一个元素.如：由片组成一个集合，则。的取值不能是°或

1.

(3)无序性

集合中的元素的次序无先后之分.如：由L2,3组成一个集合，也可以写成1，3,2组成一

个集合，它们都表示同一个集合.

帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题

(1)注意。与｛4的区别.。是集合｛4的一个元素，而｛4是含有一个元素。的集合，

二者的关系是

(2)注意0与｛0｝的区别.0是不含任何元素的集合，而｛°｝是含有元素°的集合.

(3)在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或｛R｝来表示实数集R这一类错误,

因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思.

用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特

征性质，从而准确地理解集合的意义.例如：

集合中的元素是(羽”这个集合表示二元方程、的解集，或

者理解为曲线上的点组成的点集；

集合卜卜="｝中的元素是为,这个集合表示函数中自变量》的取值范围；

集合｛"'=«｝中的元素是y,这个集合表示函数中函数值)'的取值范围；

集合｛)'="｝中的元素只有一个(方程y=五)，它是用列举法表示的单元素集合.

(4)常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-l个真子集，有2n-2个

非空真子集。

二、基础例题(必会)

例1已知A=W--4x+3,xeR｝,8=｛中=-》2_2》+2,xeR｝,求从B

正解：=f-4x+3=(x-2)2-IN—1,

y—x2—2x+2=—(x+1)~+3W3

••.A={i等一1}5={y|yW3}

.♦.A8={y|-lWyW3}

解析：这道题要注意研究的元素(看竖线前的元素)，均是y,所以要求出两个集合中y的

范围再求交集，A中的y范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合.

,,jA=[2>4,/一2/一。+7;

例2若I>,

B=J1,a+1,cT—2.ci+2,—（tz--3G—8）,ci^+ct'+3u+"7?,_Jo

12J,且A试求实数a.

正解：:ACBM{2,5},.•.由/一2/—a+7=5,

解得。=2或"=±1.

当a=l时，〃—2a+2=l与元素的互异性矛盾，故舍去。=1；

业°一一118={1,。524}MA8={245}、于匕AB=战歹

当。一1时，（兀此时（J,这与i）矛盾，故又

舍去。=-1;

当。=2时，A={245},B={132525},此时A§={25卜茜足题意，故“=2为所

求.

解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：①确定性②互异性③无序性

三、趋近高考（必懂）

1.（2010年江苏高考1）设集合A={-1,1,3）,B={a+2,a2+4},ACB={3},则实数

a=______________

方法：将集合B两个表达式都等于3,且抓住集合三大性质。【答案】1.

X2y2

{（x,y）|---F--=1}“

2.（2010.湖北卷2.）设集合A=416,8=乂匕"1'=,则ACB的子集

的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

方法：注意研究元素，是点的形式存在，A是椭圆，B是指数函数，有数形结合方法，交于

两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是22=4【答案】A

集合穿针转化引线（最新）

一、集合与常用逻辑用语

3若p：3f-8x+4>0,q:（x+l）（x-2）>0,则是[4的（）,

（A）充分条件（B）必要条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

2

解析：...“：3》2-8X+4>。，即或X〉2,

2-

-7?:—Wx<2

-3

...q:(x+l)(x-2)>0,即x<_］或x>2,

・一>q:-1Wx<2

由集合关系知：「〃=>」4,而「夕4「P.

.♦.「p是的充分条件，但不是必要条件.故选（A）.

22

X»=1

4.若,则“%>3”是“方程及一3k+3表示双曲线”的（）.

（A）充分条件（B）必要条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

%2

y1

解析：方程左.3k+3表示双曲线

o（k-3此（+3》展或&<一3.故选（A）.

二、集合与函数

_,_.p={y|y——x2+2,xeR},Q={x\y=-x+2,XGR},那么pQ等于

5.已知集合,々J

（）.

(A)(0,2),(1,1)(B){(0,2),(1,1))

(D)3产2}

(C){1,2}

解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P集合是函数丁=一9+2中的y的取值范

围，故P集合的实质是函数丁=一*+2的值域.而Q集合则为函数丁=一*+2的定义域,

从而易知00={y|yW2},选⑴）.

评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元

素而错选（B）或（C）.

三、集合与方程

A={x|x?+（〃+2）x+l=0,xeR},B={%|x>0）n-（7>4小―

6.已知i|，i।且mAA求实数p的取

值范围.

解析：集合A是方程%2+（0+2口+1=°的解集,

则由A8=0,可得两种情况:

①A=0,则由AMIP+Z)—-4<0,得-4</?<0；

②方程/+（.+2）%+1=0无正实根，因为玉/=1>0

△NO,

则有[-（P+2）<&于是pNO

综上，实数p的取值范围为{'I">"4}.

四、集合与不等式

[/.什人A={a\ax2+4犬-12-2x2-々恒成立},B=[x\x2-（2m+l）x+m[m+l）<0}

7.I__i集口f

若A3*0,求实数m的取值范围.

解析：由不等式*2+4x-l>-2%2一。恒成立，

可得（«+2|+4+1,（※）

、3

X少一

（1）当。+2=°,即。=一2时，（※）式可化为4,显然不符合题意.

+2〉0,

（2）当a+2r°时，欲使（※）式对任意x均成立，必需满足【AWO，

a>-2,

即4~-4（。+2）（。—1）W0,

解得A=[a\a^2}

集合B是不等式V-（2m+1*+砥6+1）<°的解集，

可求得3={%帆<》<加+1},

结合数轴，只要加+1>2即可，解得">1.

五、集合与解析几何

例6已知集合4={（刘刈/+皿7+2=0}和8={（x,y）|x_y+l=Q0WxW2},

如果A8*0,求实数m的取值范围.

解析：从代表元素*'刃看，这两个集合均为点集，又于+如一丁+2=°及

%一丁+1=°是两个曲线方程，故A8#0的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译

成数学语言即为：“抛物线幺+的―y+2=0与线段x_y+l=0（0WxW2）有公共点，

求实数m的取值范围

x2+mx-y+2=0,

由［x_y+l=0(0WxW2),,得

x24-(m-1)x+1=0(色①

・•・ABw0，

•••方程①在区间［0,2］上至少有一个实数解.

首先，由△=(加T)2_4N0,得加23或加<—1.

当m23时，由玉+%2=一(加一1)(°及玉龙2=1知，方程①只有负根，不符合要求；

当机<—1时，由％+%=一(加一］)>°及%％=1>°知［,方程①有两个互为倒数的正

根，故必有一根在区间(°'1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0,2］内.

综上，所求m的取值范围是(一8，-1］.

第二章、函数

一、基础知识(理解去记)

定义1映射，对于任意两个集合A,B,依对应法则f,若对A中的任意一个元素x,在B

中都有唯一一个元素与之对应，则称f:A-B为一个映射。

定义2函数，映射f:A-B中，若A,B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的

定义域，若xGA,yGB,且f(x)=y(即x对应B中的y),则y叫做x的象，x叫y的原象。

集合｛f(x)|x€A｝叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意

义的未知数的取值范围，如函数y=3«-l的定义域为｛x|x20,xGR｝.

定义3反函数，若函数f:A-B(通常记作y=f(x))是一一映射，则它的逆映射f-1:AfB

叫原函数的反函数，通常写作y=f-l(x).这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x

得*=11。)，然后将x,y互换得y=f-l(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：

1

函数y=1-x的反函数是y=l-x(x*0).

补充知识点：

定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。

定理2在定义域上为增(减)函数的函数，其反函数必为增(减)函数。

定义4函数的性质。

(1)单调性:设函数f(x)在区间I上满足对任意的xl,x2ei并且xl<x2,总有f(xl)<f(x2)(f(x-

)>f(x2)),则称f(x)在区间I上是增(减)函数，区间I称为单调增(减)区间。

(2)奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D,且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x

GD,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数；若对任意的xWD,都有f(-x)=f(x),则称f(x)是

偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

(3)周期性：对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内每一个

数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在

最小的正数TO,则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。

定义5如果实数a<b,则数集｛x[a<x<b,xGR｝叫做开区间，记作(a,义,集合｛x|aWxWb,x

CR｝记作闭区间[a,b],集合｛x|a<x〈b｝记作半开半闭区间(a,b],集合｛x|aWx<b｝记作半闭半

开区间[a,b),集合｛x|x>a｝记作开区间(a,+~),集合｛x|xWa｝记作半开半闭区间(-~,a].

定义6函数的图象，点集｛(x,y)|y=f(x),xGD｝称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义

域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；

(1)向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；

(2)向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；

(3)向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；

(4)与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；

(5)与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；

(6)与函数y=f-l(x)的图象关于直线y=x对称；(7)与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。

1

定理3复合函数y=f[g(x)]的单调性，记住四个字：“同增异减"。例如y=2-x,u=2-x在(-

1

8,2)上是减函数，y="在(0,+8)上是减函数，所以y=2-x在(-8,2)上是增函数。

注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。

一、基础知识(初中知识必会)

1.二次函数：当时、y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称

bb

轴为直线x=-2。,另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中x0=-2。,下同。

2.二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间(-8,xO]上随自变量x增大

函数值减小(简称递减)，在[x0,-8)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。当a<0时，

情况相反。

3.当a>0时，方程f(x)=O即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③

与函数f(x)的关系如下(记△=b2-4ac)。

1)当△>()时，方程①有两个不等实根，设xl,x2(xl<x2),不等式②和不等式③的解集分别

是｛x|x<xl或x>x2｝和｛x|xl<x<x2),二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写

成f(x)=a(x-xl)(x-x2).

b

2)当△=()时，方程①有两个相等的实根xl=x2=xO=2。,不等式②和不等式③的解集分别

b

w----

是｛x|x2。｝和空集0,f(x)的图象与X轴有唯一公共点。

3)当△<()时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和0.f(x)图象与x轴无公

共点。

当@<0时・，请读者自己分析。

4ac-b2

4.二次函数的最值：若a>0,当x=xO时，f(x)取最小值f(xO)=4。，若a<0,则当

b4ac-b2

x=xO=2a时，f(x)取最大值f(xO)=4。.对于给定区间［m,n］上的二次函数

f(x)=ax2+bx+c(a>0),当xOG|m,n］时，f(x)在［m,n］上的最小值为f(xO);当xO<m时。f(x)在

［m,n］上的最小值为f(m)；当xO>n时，f(x)在［m,n］上的最小值为f(n)(以上结论由二次函数

图象即可得出)。

定义1能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联

结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合

命题。

一定注意：“p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”

复合命题只有当p,q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真

一假。

定义2原命题：若p贝q(p为条件，q为结论)；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；

逆否命题：若非q则非p。

一定注意：原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

一定注意：反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3如果命题“若p则q”为真，则记为p=>q否则记作pHq.在命题“若p则q”中，

如果已知p=>q,则p是q的充分条件；如果q=p,则称p是q的必要条件；如果p=q但

q不=p,则称p是q的充分非必要条件；如果p不=q但p=q,则p称为q的必要非充

分条件；若p=q且q=p,则p是q的充要条件。

二、基础例题(必懂)

例2(2010.广西模拟)求函数f(x)="的最大值。

J(x2-2)2+(x-3)2-J(x2-1)2+(x-0)2,

【解】f(x)='9，记点P(x,x-2),A(z3,2),

B(0,1),则f(x)表示动点P到点A和B距离的差。

因为|PAHPA|W|AB|=+Q-=W，当且仅当p为AB延长线与抛物线y=x2的交点

时等号成立。

所以f(x)max="^,

2.函数性质的应用。

(x-l)2+1997x-l)=-l

V

例3(10>全国)设x,y《R,且满足1)+199/y1)-1,求

【解】设f(t)=t3+1997t,先证f(t)在(-8,+oo)上递增。事实上，若a<b,则

f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以f(t)递增。

由题设f(x-l)=-l=f(l-y),所以x-l=l-y,所以x+y=2.

例4(10、全国)奇函数f(x)在定义域(-1,1)内是减函数，又f(l-a)+f(l-a2)<0,求a的

取值范围。

【解】因为f(x)是奇函数，所以f(l-a2)=-f(a2-l),由题设f(l-a)<f(a2-l)。

又f(x)在定义域(-1,1)上递减，所以解得0<a<l。

例5(10、全国)设f(x)是定义在(―，+oo)上以2为周期的函数，对kdZ,用Ik表示

区间(2k-l,2k+l],已知当xGIO时,f(x)=x2,求f(x)在Ik上的解析式。

【解】设xWIk,贝ij2k-l<xW2k+l,

所以f(x-2k)=(x-2k)2.

又因为f(x)是以2为周期的函数，

所以当xGIk时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.

例6(10•全国)解方程：(3x-l)(-6x+5+1)+(2X-3)(一⑵+13+1)=0

【解】令m=3x-l,n=2x-3,方程化为

mN，"?+4+i)+n(J〃2+4+i)=().①

若m=0,则由①得n=0,但m,n不同时为0,所以m。。,n。。.

i)若m>0,则由①得n<0,设f(t)=t(J/+4+1),则f(t)在(0,+8)上是增函数。又f(m)=f(-n),

4

所以m=-n,所以3x-l+2x-3=0,所以x=5

4

ii)若m<0,且n>Oe同理有m+n=O,x=5，但与m<0矛盾。

4

综上，方程有唯一实数解

3.配方法。

例7(经典例题)求函数y=x+，2x+l的值域。

_____］______

［解】y=x+，2x+l=2历+1+2)2%+1+1卜］

J______j_J_

=2(J2x+1+］)/22_=2.

J_J_j_

当x=-2时，y取最小值-2,所以函数值域是［-2,+8)。

4.换元法。

例8(经典例题)求函数y=(‘1+”-％+2)(&-+1,e［0,1］的值域。

【解】令"l+1一天二11,因为x£［0,l］,所以2Wu2=2+2Jl—*2W4,所以五WuW2,

+2〃+2u~〃+2

所以2W2W2,1W2W2,所以y=2,u2G［立+2,8］。

所以该函数值域为［2+J5,8］。

5.判别式法。

—3x+4

例9求函数丫=,+3》+4的值域。

【解】由函数解析式得(y・l)x2+3(y+l)x+4y《=0.①

当yWl时，①式是关于x的方程有实根。

所以△=9(y+l)2・16(y・l)220,解得7WyWl.

又当y=l时，存在x=0使解析式成立，

所以函数值域为［7,7b

6.关于反函数。

例10(10年宁夏)若函数y=f(x)定义域、值域均为R,且存在反函数。若f(x)在(-8,+oo)

上递增，求证：y=f-l(x)在(-8,+8)上也是增函数。

【证明】设xl<x2,Kyl=f-l(xl),y2=f-l(x2),则xl=f(yl),x2=f(y2),若yl2y2,则因为f(x)

在(-8,+8)上递增，所以xl2x2与假设矛盾，所以yl<y2。

即y=f-l(x)在(-8,+8)递增。

例11(经典例题)设函数f(x)=、3x+2,解方程：f(x)=f-i(x).

2j_

【解】首先f(x)定义域为(-8，-5)u[-4,+oo),其次，设Xl,x2是定义域内变量，

24X2+14%j+15(X2一七)

3x2

且xl<x2<-^；2+3$+2=(3X2+2)(3%+2)>0

2£

所以f(x)在(-8,_3)上递增，同理f(x)在[-4,+oo)上递增。

在方程f(x)=f-l(x)中，记f(x)=f-l(x)=y，则y20,又由f-l(x)=y得f(y)=x,所以x20,所以

]_

x,y£[-4,+oo).

若x#y,设x<y,贝!|f(x)=y<f(y)=x,矛盾。

同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.

即f(x)=x,化简得3x5+2x4-4x-I=0,

即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,

因为x20,所以3x4+5x3+5x2+5x+l>0,所以x=L

7.待定系数法。

例1(经典例题)设方程x2-x+l=0的两根是a,B,求满足f(a)=B,f(B)=a,f(l)=l的二

次函数f(x).

【解】设f(x)=ax2+bx+c(a丰0),

则由已知f(a)=B,f(B)=a相减并整理得(a-0)[(a+0)a+b+l]=0,

因为方程x2-x+l=0中△0(),

所以aHB,所以(a+B)a+b+l=0.

又a+B=1,所以a+b+l=0.

又因为f(l)=a+b+c=l,

所以c-l=l,所以c=2.

又b=-(a+1),所以f(x)=ax2-(a+l)x+2.

再由f(a)=B得aa2-(a+l)a+2=B,

所以aa2-aa+2=a+6=1,所以aa2-aa+1=0.

即a(a2-a+l)+l-a=0,即l-a=0,

所以a=l,

所以f(x)=x2-2x+2.

8.方程的思想

例2(10.全国)已知f(x)=ax2-c满足-4Wf(l)W-l,-lWf(2)W5,求f(3)的取值范围。

【解】因为-4Wf(l)=a-cW-l,

所以l^-f(l)=c-a^4.

85

又-1Wf(2)=4a-cW5,f(3)=3f(2)-3f(l),

8585

所以3X(-l)+3Wf(3)W3x5+3x4,

所以-lWf(3)W20.

9.利用二次函数的性质。

例3(经典例题)已知二次函数f(x尸ax2+bx+c(a,b,c£R,a。。)，若方程f(x)=x无实根，求

证：方程f(f(x))=x也无实根。

【证明】若a>0,因为f(x)=x无实根，所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口

向上，所以对任意的xeR,f(x)-x>0即f(x)>x,从而f(f(x))>f(x)o

所以f(f(x))>x,所以方程f(f(x))=x无实根。

注：请读者思考例3的逆命题是否正确。

10.利用二次函数表达式解题。

例4(经典例题)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)=x的两根xl,x2满足

0<xl<x2<a,

(I)当x£(0,xl)时，求证：x<f(x)<xl；

(II)设函数f(x)的图象关于x=x0对称，求证：x0<2

【证明】因为xl,x2是方程f(x)-x=0的两根,所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),

即f(x)=a(x-xl)(x-x2)+x.

(I)当xW(0,xl)时，x-xl<0,x-x2<0,a>0,所以f(x)>x.

j_

其次f(x)-xl=(x-xl)[a(x-x2)+l]=a(x-xl)[x-x2+a]<0,所以f(x)<xl.

综上，x<f(x)<xl.

(II)f(x)=a(x-xl)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,

a(x}+x2)-1_Xj+x21

所以x0=2a22a,

所以222a2

11.构造二次函数解题。

例5(经典例题)已知关于x的方程(ax+l)2=a2(a-x2),a>l,求证：方程的正根比1小，负

根比-1大。

【证明】方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.

构造f(x)=2a2x2+2ax+l-a2,

f(l)=(a+l)2>0,f(-1)=(a-1)2>0,f(0)=1-a2<0,即△>(),

所以f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。

即方程的正根比1小，负根比-1大。

12.定义在区间上的二次函数的最值。

X，++5

例6(经典例题)当x取何值时，函数y=+1产取最小值？求出这个最小值。

_J_=

【解】y=l『+l(尸+1广，令/+1u,则0<启1。

L-4+坐

y=5u2-u+l=512020

119

u=—

且当1°即*=±3时，ymin=2°.

例7设变量x满足x2+bxW-x(b<-l),并且x2+bx的最小值是2,求b的值。

【解】由x2+bxW-x(b<-l),得0WxW-(b+l).

b_

i)-2w-(b+l),即bW-2时，x2+bx的最小值为-4'42,所以b2=2,所以力=±J5

(舍去)。

b

ii)-2>-(b+l),即b>-2时，x2+bx在［0,-(b+1)］上是减函数，

_L1

所以x2+bx的最小值为b+l,b+l=-2,b=-2.

2

综上，b=-2.

13.一元二次不等式问题的解法。

r22

x—x一ci<0

*

例8(经典例题)已知不等式组lx+2a>i

①②的整数解恰好有两个，求a

的取值范围。

【解】因为方程x2-x+a-a2=0的两根为xl=a,x2=l-a,

若aWO,则xl〈x2.①的解集为a<x<l-a,由②得x>l-2a.

因为l-2ael-a,所以aWO,所以不等式组无解。

若a>0,i)当0<a<2时,xl<x2,①的解集为a<x<l-a.

因为0<a<x<l-a<l,所以不等式组无整数解。

ii)当a=2时，a=l-a,①无解。

iii)当a>2时，a>l-a,由②得x>l-2a,

所以不等式组的解集为l-a<x<a.

又不等式组的整数解恰有2个，

所以a-(l-a)>l且a-(l-a)W3,

所以l<aW2,并且当l<aW2时，不等式组恰有两个整数解0,1。

综上，a的取值范围是l<aW2.

14.充分性与必要性。

例9(经典例题)设定数A,B,C使得不等式

A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)》0①

对一切实数x,y,z都成立，问A,B,C应满足怎样的条件？(要求写出充分必要条件，而且

限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示条件)

【解】充要条件为A,B,C20且A2+B2+C2W2(AB+BC+CA).

先证必要性，①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2N0②

若A=0,则由②对一切x,y,zGR成立，则只有B=C,再由①知B=C=0,若A。。，则因为②

恒成立，所以A>0,△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2W0恒成立，所以(B-A-C)2-4ACW0,即

A2+B2+C2W2(AB+BC+CA)

同理有B》0,C20,所以必要性成立。

再证充分性，若A20,B20,C20且A2+B2+C2〈2(AB+BC+CA),

1)若A=0,则由B2+C2W2BC得(B-C)2W0,所以B=C,所以△=(),所以②成立，①成立。

2)若A>0,则由③知△★(),所以②成立，所以①成立。

综上，充分性得证。

15.常用结论。

定理1若a,bCR,|a|-|b|^|a+b|^|a|+|b|.——绝对值不等式

【证明】因为-|a|WaW|a|,-|b|WbW|b|,所以-(|a|+|b|)Wa+bW|a|+|b|,

所以|a+b|W|a|+|b|(注：若m>0,则-mWxWm等价于|x|Wm).

又|a|=|a+b-b|W|a+b|+|-b|,

即|aHb|W|a+b|.综上定理1得证。

定理2若a,bGR,贝!]a2+b2>2ab；若x,yGR+,则x+y)

注定理2可以推广到n个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

第三章、基本初等函数

一、基础知识(必会)

1.指数函数及其性质：形如y=ax(a>0,atl)的函数叫做指数函数，其定义域为R,值域为

(0,+8),当0<a<l时，y=ax是减函数，当a>l时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点

(0,Do

1m__[m[

a"=y/a,a"='-\la1",a"———,a"=.

2.分数指数幕：a，'Nd”.

3.对数函数及其性质：形如y=logax(a>0,a¥l)的函数叫做对数函数，其定义域为(0,+~),

值域为R，图象过定点(1,0)。当0<a<l,y=logax为减函数，当a>l时，y=logax为增函

数。

4.对数的性质(M>0,N的);

1)ax=MOx=k>gaM(a>0,a。1)；

2)loga(MN)=logaM+logaN；

M

3)loga(N)=logaM-logaN；4)logaMn=nlogaM(万能恒等式)

]_log—

5)logaW="logaM；6)alogaM=M;7)logab=log<a(a,b,c>0,a,c*1).

a

［&,+00),单调递减区间为［-JZ，°)

5.函数产x+x(a>0)的单调递增区间是和

和(°，&L(请同学自己用定义证明)

6.连续函数的性质：若avb,f(x)在［a,b］上连续,且f(a)•f(b)<0,则f(x)=0在(a,b)上至少

有一个实根。

二、基础例题(必懂)

1.构造函数解题。

例1已知a,b,c£(-l,1),求证：ab+bc+ca+l>0.

【证明】设f(x)=(b+c)x+bc+l(x£(-l,1)),则f(x)是关于x的一次函数。

所以要证原不等式成立，只需证f(-l)>0且f(l)>0(因为-l<avl).

因为f(-l)=-(b+c)+bc+1=(l-b)(l-c)>0,

f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0,

所以f(a)>0,即ab+bc+ca+l>0.

例2(06)(柯西不等式)若al,a2/--,an是不全为0的实数，bl,b2,…,bnWR,则

Yai£生瓦

(<=')•(<=l)》(I)2,等号当且仅当存在〃GR,使ai=a，,i=l,2,…,n时

成立。

E«,2iaibi力;—

【证明】令f(x)=(,=|)x2-2(,=1)x+*='=iT

因为I>0,且对任意xGR,f(x)N0,

所以△=%i)-4(，=i)(<=>)W0.

£a；fb；fa也

展开得(，T)(i)》(2)2。

等号成立等价于f(x)=O有实根，即存在〃，使ai=a，，i=l,2,…,n。

***注释：根据许多省市的2011年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学只需大致了解就即

可，不需深入做题。

f^+-Yy+-]

例3(10.全国卷)设x,yWR+,x+y=c,c为常数且c£(0,2],求u=''八的最小

值。

【解】u=lX人y人xy+yX盯2xy+XP+2・X

1

=xy+xy+2.

22

(x+y)=c1J

令xy=t,贝ij0<t=xyW44,设f(t)=t+,0<t^4

/2~|

2C

Jo,—

因为0<cW2,所以0<4Wl,所以f⑴在I4」上单调递减。

c2c24c24

所以f(t)min=f(4)=4+",所以u>4+"+2-

cc24

当x=y=5时，等号成立.所以u的最小值为4+〃+2.

2.指数和对数的运算技巧。

£

例4(经典例题)设p,q£R+且满足log9P=logl2q=logl6(p+q),求P的值。

【解】令log9p=log12q=log16(p+q)=t,则p=9t,q=121,p+q=16t,

所以9t+l2t=16t,即1+(3J<3；

q_12'_41±A/5

X=

记x=P9,3，则l+x=x2,解得2

£q_T士后

又户>0,所以p=2

例5(经典例题)对于正整数a,b,c(aWbWc)和实数x,y,z,w,若ax=by=cz=70w,且

1111

—十—+—=—

Xyz卬，求证：a+b=c.

【证明】由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.

_L_L11j_j_

所以Wlga=%lg70,wigb=丁坨70,lgc=zlg70,

相加得w(lga+lgb+lgc)=A"VZAg70,由题设X>zw,

所以lga+lgb+lgc=lg70,所以lgabc=lg70.

所以abc=70=2X5X7.

若a=l,则因为xlga=wlg70,所以w=0与题设矛盾，所以a>l.

又a〈b〈c,且a,b,c为70的正约数,所以只有a=2,b=5,c=7.

所以a+b=c.

例6(经典例题)已知x工1,ac工1,a"1,c工LJ3.logax+logcx=21ogbx,求证c2=(ac)logab.

【证明】由题设logax+logcx=21ogbx,化为以a为底的对数，得

logflx2\og&ax

lognx+-^^=

log.clog„b,

因为ac>0,ac。1,所以logab=logacc2,所以c2=（ac）logab.

注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。

3.指数与对数方程的解法。

解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调

性的应用和未知数范围的讨论。

例7（经典例题）解方程：3x+4x+5x=6x.

【解】则f(x)在(-

8,+8）上是减函数，因为f（3）=l,所以方程只有一个解x=3.

x"，=y'2

<

x+y=r3

例8（经典例题）解方程组：［）v-（其中x,y£R+）.

(x+y)lgx=121gy

【解】两边取对数，则原方程组可化为［*+y)igy=3gA①②

把①代入②得(x+y)21gx=361gx,所以［(x+y)2・36］lgx=0.

由lgx=0得x=1,由(x+y)2-36=0(x,yeR+)得x+y=6，

代入①得lgx=21gy,即x=y2,所以y2+y-6=0.

Xy>0,所以y=2,x=4.

X]=1x?=4

所以方程组的解为=1〔内=2.

例9已知a>O,aHl,试求使方程Ioga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。

(x_QZ)2=/—

<x-ak>0

丫2_2Q

【解】由对数性质知，原方程的解X应满足U.①②③

若①、②同时成立，则③必成立，

(X-elk)2=12—Cl~

<

故只需解[尤一〃左〉0

由①可得2kx=a(l+k2),④

a(l+&2)1+公

当k=0时，④无解；当k。。时，④的解是*=2k,代入②得2k>k.

若k<0,则k2>l,所以k<-l；若k>0,则k2<l,所以0<k<l.

综上，当kG(-8,_i)u(0,1)时，原方程有解。

高考数学总复习系列》一一高中数学必修二

立体几何初步

一、基础知识(理解去记)

(一)空间几何体的结构特征

(1)多面体一一由若干个平面多边形围成的几何体.

围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，

棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体一一把