高中数学-课三角函数模型的简单应用一教学设计学情分析教材分析课后反思

《三角函数模型的简单应用（一）》教学设计

【课标分析】：

1、课标表述：

会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期

变化现象的重要函数模型。

2、目标分解

教科书通过4个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模

型的应用，根据图像建立解析式，根据解析式作出图像，将实际问题

抽象为与三角函数有关的简单函数模型。利用收集到的数据作出散点

图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型，根据材料的安

排，分两个课时完成这部分内容。例一、例二、例三为第一课时，例

四为第二课时。本节进行第一课时。

3、具体目标

初步学会由函数求解析式的方法；

体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；

体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

【教材分析】：

1、地位和作用

《三角函数模型的简单应用》是高中数学新课标人教A版必修4

的第一章最后一节的第一课时。其目的是让学生感受三角函数在解

决具有周期性变化规律的实际问题中的作用，体验三角函数与日常

生活的联系，增强应用意识，初步掌握在实际问题中建立函数模型

的基本方法，培养学生的创新精神和实践能力。

2、教学重点、难点

a、用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题；

b、将某些实际问题抽象为三角函数模型。

【教学目标】

1、知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学

生初步学会由图象求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性

质；c体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程；d体会三角函

数是描述周期变化现象的重要函数模型.

2、能力目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题

的数学“建模”思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、

抽象概括等能力.

3、情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解

决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴趣，培养锲而不

舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

【学情分析】

在学习了必修1第四章中函数的应用，学生已经有了数学建模的

基本思想和方法，又经过必修4第一章中三角函数的图像和性质的学

习，应用三角函数的基本知识解决实际问题，对学生来说顺理成章。

所以对本节《三角函数模型的简单应用》的学习，应该让学生多参与、

多思考，培养他们分析解决问题的能力，提高对所学知识的应用能力。

【教法分析】

1、本节课的内容示三角函数模型的简单应用，特点是三角函数的应

用。所以在教学中，要使学生“知其然”，更要是学生“知其所以然二

要让学生多参与、多探究，然后在老师的总结提炼中升华为分析解决

问题的能力。

2、多媒体辅助教学。通过几何画板、动画等技术制作多媒体课件，

直观反映生活总的三角函数例子，并用多媒体反应图像的变化过程。

【教学设计过程及设计意图】

一、复习回顾

如何绘制函数y=Asin（3：+0）（其中A>O,（y>0）的图像。

师：函数y=Asin（5+。）,Xe/?（其中的A>0,刃>0）的图象，

可以看作用下面的方法得到：

先把正弦曲线上所有的点向左（当夕>0时）或向右（当0<0时一）

平行移动个单位长度，

再把所得各点的横坐标缩短（当G>1时一）或伸长（当0<6><1）

到原来的一倍（纵坐标不变），

再把所得各点的纵坐标缩短（当A>1时）或伸长（当0<A<l）

时到原来的倍（横坐标不变）而得到.

生：学生独立完成，回答。

设计意图：复习旧知，唤醒对新知的渴望

一、课题引入(多媒体展示)

物理情景心理、生理现象地理情景日常生活现象

①简谐运动①情绪的波动①气温变化①涨潮与退潮

②星体的环②智力变化状况规律②车轮转动

绕运动③血压变化状况②月圆与月③峰谷电

缺

生：观察并思考、发现并感受身边的数学

师：引导学生进入三角函数模型的简单应用的学习。

师生：由此共同认识数学与生活的密切关系。

设计意图：通过静态图片和动态动画的展示，让学生在熟悉的问题中

进入课题，能充分激发学生的学习热情和兴趣。

三、由图像探究三角函数模型的解析式

例题1

如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数

y=Asin（5+（p）+bo

(1)求这一天的最大温差；

(2)写出这段曲线的函数解析式.

师：从图像可以看出哪些量的值能直接得到？哪些量的值需要计算得

到？可用怎样的方式计算得到?

生：观察、思考、回答问题。

设计意图：切入本节课的课题，让学生明确学习任务和目标，同时以

设问和探索的方式导入新课，创设情境，激发思维，让学生带着问题

有目的地参与以下教学活动。

解：（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20℃。

（2）从图中可以看出，从6时到14时的图象是函数

y=Asin（0r+o）+b的半个周期的图象，=14-6=8

.,.7=16,：.0)=%

O

又"=型』=10,戒四生=2。

22

77

，y=lOsin(—x+0)+2O,

8

377

将点(6,10)代入得:sin(—+<^)=-1

4

—+0=2kji+—,keZ

42

(D=2k7i+—,k&Z,取°=—,

44

TT37r

y=10sin(1x+亍)+20,(6<%<14)

引导学生探究：1、总结A、b的计算公式

2、探求夕的求法，精确掌握五点作图法的原理。

设计意图：提出问题，由学生动脑分析，自主探究。通过代多个点出

现问题从而体会点（10,20）在增区间上点区别于减取间上的平衡点，

培养数形结合的数学思考习惯。通过总结归纳总结这种方法解题的思

路方法，培养概括的能力。

总结：一般情况下，所求出的函数模型只能近似刻画某天某个时段的

温度变化情况，因此应当特别注意自变量的取值范围。

7T

练习1、函数y=Asin(5+0)(其中A>OM>O,|0]<])的部分图像

如图所示，则f(x)的解析式为

四、由解析式作出图像并研究其性质

例题2.画出函数y=binx|的图象并观察其周期.

师：提出问题

(1)该函数与哪个常见函数类似？

(2)类比作出函数图像；

(3)画出函数图像并根据图像求周期；

(4)从定义域、值域、单调区间、奇偶性、对称性等方面与丁=sin%

作比较；

(5)用周期的定义和诱导公式验证观察结果。

生：回答问题并到黑板作图。

设计意图：通过画函数的图象来研究性质。由已知函数模型来研究函

数，培养学生应用已知函数解决问题方法。

分析与简解：如何画图？

法L去绝对值，化为分段函数(体现转化与化归！)；

法2：图象变换一一对称变换，可类比丁=国的作法.

从图中可以看出，函数y=|sinjc|是以"为周期的波浪形曲线.

反思与质疑：

①利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研

究数学问题的常用方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证：

f(x+7r)=|sin(x+^-)|=|一sinX=|sinA:|=f(x)

.,./(%)=Winx|的周期是〃.(体现数形结合思想！)

总结：根据解析式模型建立图像模型，是近几年高考考查的一个热点。

练习2：/(x)=binx|+sin%的周期是.

TT

/(%)=sin(x+j)的周期是.

五、应用数学知识解决实际问题。

例题3

如图所示,大风车的半径为2m,每12s旋转一周，它的最低点0离

地面0.5m.风车圆周上一点A从最低点。开始,运动t(s)

后与地面的距离为力m.

⑴求函数力=/1①的关系式.

⑵画出函数力=/1〃)的图象.(2]

解：(1)以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以0*

为始边,。6为终边的角为匹

62

故点B的坐标为(2cos(勺-马,2sin(勺-马).

6262

师：观察图片，结合本地风电建设，与实际问题结合，利用三角函数

建立数学模型研究有关的周期问题，并提出问题：

(1)求解析式的前提条件；

(2)根据实际确定不同的建系方式；

(3)要求学生根据自己选择的模型进行求解；

(4)根据计算过程的差异互相评价。

生：小组讨论，解决问题。

设计意图：利用三角函数解决生活中的实际问题，培养解决实际问题

的能力。

引导学生总结将实际问题抽象为三角函数模型的一般步聚：

理解题意——求解一还原解答

设计意图：优化学生的知识结构，使之系统化、条理化，加强知识间

内在联系的理解和认识。知识性、方法性内容的小结，可把课堂所学

知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地

理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好

的个性品质。

六.拓展练习：

1、函数y=-xcosx的部分图像是（）

2、函数y=45由（0¥+9）（其中24>0,69>0,0<、）的部分图像如图所

示，则该函数的表达式为()

57r

A、y=2sin(2%+——)

6

5万

B、y=2sin(2x--)

7T

C、y=2sin(2x+—)

TT

D、y=2sin(2x--)

设计意图：通过两个练习，巩固对三角函数模型的简单应用。

【教学反思】

1.本教案设计指导思想是：充分唤起学生已有的知识方法，调动

起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的

鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣.

2.应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问

题,确定它的周期,从而建立起适当三角函数模型.如果学生选择了不

同的函数模型，教师应组织学生进行交流，或让学生根据自己选择的

模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价.

3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计

算机或计算器处理数据，有条件的要用多媒体进行动态演示，以使学

生有更多的时间用于对问题本质的理解。

【学情分析】

在学习了必修1第四章中函数的应用，学生已经有了数学建模的

基本思想和方法，又经过必修4第一章中三角函数的图像和性质的学

习，应用三角函数的基本知识解决实际问题，对学生来说顺理成章。

所以对本节《三角函数模型的简单应用》的学习，应该让学生多参与、

多思考，培养他们分析解决问题的能力，提高对所学知识的应用能力。

效果分析

通过本节课的学习，学生能用三角函数解决一些简单实际问题,

更深入的体会到三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

例题和练习的选择，根据循序渐进的原则，从三个层面来介绍三

角函数模型的应用:

例题1是根据图像建立解析式，学生能够根据图像给出的信息进

行提炼解决问题，观察法和待定系数法并列进行，求出解析式中的参

数，从而确定其解析式。从理解例题的意图和对相应练习的解答来看,

学生对这一类题型的掌握情况良好，对各个系数的计算把握到位。

例题2是根据解析式作出图像，学生能够与已有的知识联系，并

通过类比的思想作出图像，并能根据图像认识性质。学生对本题的图

像和性质的把握到位，但对已学过的知识稍有疏漏，及时纠正，巩固

加强，要求熟练掌握，下节课检查效果。相对应的练习解答情况良好。

例题3是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的的数学模型,

然后根据所得的函数模型解决问题。直接根据例题中的图来建立函数

模型，学生有一定的困难，在层层设问下，学生能逐渐明朗解题思路，

建立不同的坐标系，由图来建立数学模型，解决问题。对于这一类型

的题目，需要不断的加强巩固。

总体来说，学生对本节课的掌握情况良好，本节课的效果能够达

到预期目标，圆满完成本节课的教学任务。

【教材分析】：

1、地位和作用

《三角函数模型的简单应用》是高中数学新课标人教A版必修4

的第一章最后一节的第一课时。其目的是让学生感受三角函数在解

决具有周期性变化规律的实际问题中的作用，体验三角函数与日常

生活的联系，增强应用意识，初步掌握在实际问题中建立函数模型

的基本方法，培养学生的创新精神和实践能力。

2、教学重点、难点

c、用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题;

d、将某些实际问题抽象为三角函数模型。

《三角函数模型的简单应用》试题

双向细目表

题题分简中较

□题目相关的知识点

型值单等难

15三角函数图像/

选25物理电流与三角函数模型/

择

35三角函数图像交点问题/

题

45三角函数模型的物理意义/

510周期性/

65三角函数模型实际应用/

填

空75三角函数模型实际应用/

题

810三角函数性质/

解

910三角函数模型实际应用/

答

1010三角函数模型实际应用/

题

《三角函数模型的简单应用》试题

双基达标(限时20分钟)

1.函数y=sin|x|的图象().

A.关于x轴对称B.关于原点对称

C.关于y轴对称D.不具有对称性

2.电流/(A)随时间*s)变化的关系是/=3sin100加，00,+°°),则电流/变化

的周期是().

A击B.50D.100

3.函数产singy=tanx的图象在(一方，目上的交点有().

A.4个B.3个C.2个D.1个

3

4.振动量函数y=d^sin(5+9)(①>0)的初相和频率分别为一兀和则它的相位

是.

5.函数y=tan(2x—与y=-a(aGR)的交点中距离最小为.

6.如图所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似地满足函数y=Asin(wx

+9)+h(0</<2兀).

10rr--L-1

1।।।

20・・T・Y+-：-一1

0-------------»----•----4

11111

___!__!____!_!__►

068101214X

(1)求这段时间的最大温差；

(2)写出这段曲线的函数解析式.

综合提高（限时25分钟）

7.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置。的距离scm和时间fs的

函数解析式为s=6sin（2加+1），那么单摆来回摆动一次所需的时间为（）.

A.2兀sB.7isC.0.5sD.1s

8.同时具有性质“①最小正周期是兀；②图象关于直线》=:对称;

7T

③在[o,上是增函数”的一个函数是（）.

X

A.y=sin弓B.y=cos2x

C.y=s\n2xD.y=cos/

9.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转.当

时间r=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d（cm）表示

成白）的函数，则4=，其中£[0,60].

10.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈凡r）=

TT

Asin（3+9）+3（A>0,①>0,|夕|<]）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高

价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定人犬）的解析式为

《三角函数模型的简单应用》试题答案

1、解析.."GR,

且大-x)=sin|—x|=sin|尤|=於).

...函数y=sin|x|是偶函数，图象关于y轴对称.

答案C

2、解析由题知丁=秒=需『点

答案A

3、解析当x=0时，sin尤=0,tanx=0,(0,0)为两函数图象的交点，当

时，tanx>sinx,两函数图象无交点.

当［一冬oj时，tanx<sinx,两函数图象无交点.

所以所求交点只有1个.

答案D

4、解析T=5=|,半=3兀，

相位COX+^=3TIX—71.

答案3心一兀

5、解析y=tan(2x—野与y=一。的交点中距离最小为一个周期

答案方

6、解(1)由图可知，这段时间的最大温差是

30-10=20(℃).

⑵•.,从6时到14时的图象是函数y=Asin(3小+夕)+人的半个周期的图象,

/.lr=14—6,.*.T=16,£0=?，4=1(30—10)=10,

/oZ

b=£(30+10)=20,此时y=10sin&+，+20.

将x=6,y=10代入上式，得s=苧，

综上所求的解析式为y=lOsin值：+华）+20,xW[6,14].

7、解析单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期，...0=271,...7=

2兀，

五=ls.

答案D

8、解析最小正周期为兀，可排除A、D；

B、C的周期均为兀，

但当x=彳时，cos（2X：）=cos方=0，

7T

.,.x=Z不是y=cos2x的对称轴，排除B.

答案c

d

7TTTt2

9、解析经过rs秒针转了右/rad.由图知sin应=三，所以