自动控制原理电子教学案

第一章自动控制原理的基本概念

主要内容：

＞自动控制的基本知识

＞开环控制与闭环控制

＞自动控制系统的分类及组成

＞自动控制理论的开展

§1.1引言

控制观念

生产和科学实践中，要求设备或装置或生产过程按照人们所期望的规律运

行或工作。

同时，干扰使实际工作状态偏离所期望的状态。

肉以7：卫星运行轨道，导弹飞行轨道，加热炉出口温度，电机转速等控制

控制：为了满足预期要求所进展的操作或调整的过程。

控制任务可由人工控制和自动控制来完成。

§1.2自动控制的基本知识

1.2.1自动控制问题的提出

一个简单的水箱液面.，因生产和生活需要，希望液面高度h维持恒定。当

水的流入量与流出量平衡时，水箱的液面高度维持在预定的高度上。

当水的流出量增大或流入量减小，平衡则被破坏，液面的高度不能自然地维

持恒定。

所谓控制就是强制性地改变某些物理量（如上例中的进水量），而使另外某些

特定的物理量〔如液面高度人）维持在某种特定的标准上。人工挣制的例子。

这种人为地强制性地改变进水量，而使液面高度维持恒定的过程，即是人工

控制过程。

1.2.2自动控制的定义及基本职能元件

1.自动控制的定义

自动控制就是在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象（或过程）的某

些物理量（或状态）自动地按预先给定的规律去运行。

当出水与进水的平衡被破坏时，水箱水位下降（或上升），出现偏差。这偏差

由浮子检测出来，自动控制器在偏差的作用下，控制阀门开大（或关小），对偏差

进展修正，从而保持液面高度不变。

2.自动控制的基本职能元件

自动控制的实现，实际上是由自动控制装置来代替人的基本功能，从而实现

自动控制的。画出以上人工控制与动控制的功能方框图进展对照。

对比两图可以看出，自动控制实现人工控制的功能，存在必不可少的三种代

替人的职能的基本元件：

>测量元件与变送器（代替眼睛）

>自动控制器（代替大脑）

>执行元件（代替肌肉、手）

这些基本元件与被控对象相连接，一起构成一个自动控制系统。以以

以下图是典型控制系统方框图。

1.2.3自动控制中的一些术语及方框图

1.常用术语

控制对象控制器系统系统输出操作量参考输入扰动特性

2.系统方框图

将系统中各个局部都用一个方框来表示，并注上文字或代号，根据各方框之

间的信息传递关系，用有向线段把它们依次连接起来，并标明相应的信息。

§1.3自动控制系统的基本控制方式

控制方式：开环控制和闭环控制

1.3.1开环控制

定义:控制量与被控量之间只有顺向作用而没有反向联系。

开环控制系统的典型方框图如以以下图。

例如：交通指挥红绿灯，自动洗衣机，自动售货机

1.按给定控制

以以以下图是一个直流电动机转速控制系统。

工作原理：

以上的控制过程，用方框图简单直观地表示出来。

2.按扰动控制

图示是一个按扰动控制的直流电动机转速控制系统。

控制过程可用方框图表示成如图示的形式。

把负载变化视为外部扰动输入，对输出转速产生的影响及控制补偿作用，分

别沿箭头的方向从输入端传送到输出端，作用的路径也是单向的，不闭合的。有

时我们称按扰动控制为顺馈控制。

开环控制的特点：

>构造简单、调整方便、成本低。

>给定一个输入，有相应的一个输出。

>作用信号是单方向传递的，形成开环。

>输出不影响输入。

>假设系统有外界扰动时，系统输出量不可能有准确

的数值，即开环控制精度不高，或抗干扰能力差

1.3.2闭环控制

定义：但凡系统输出信号对控制作用有直接影响的系统，都叫做闭环控制系统。

常用术语：

反响控制系统闭合闭环控制系统

♦反响控制原理：被控变量作为反响信号，与希望值对比得到偏差输入；

根据输入偏差大小，调整控制信号；控制信号通过执行器的操作消除偏差，实现

控制目标。

反响：输出量经测量后的信号回送到输入端。

反响连接方式有负反响和正反响。

负反响：反响信号的极性与输入信号相反，使被控对象的输出趋向希望值。

直流电动机转速闭环控制的例子。

闭环控制的特点：

＞由负反响构成闭环，利用偏差信号进展控制；

＞抗干扰能力强，精度高；

＞存在稳定性问题。系统元件参数配合不当，容易产生振荡，使系统不能正

常工作；

＞自动控制理论主要研究闭环系统。

闭环控制系统的典型方框图如以以下图。

一、开环与闭环控制系统的对比

二、复合控制方法

常见的方式有以下两种：

1.附加给定输入补偿

2.附加扰动输入补偿

§1-4

自动

输入控制

系统

的分

类基本组成

1.4.1按给定信号的特征划分

1.恒值控制系统：

＞系统任务：c(t)=r(t)r(t)常数

＞分析设计重点:研究干扰对被控对象的影响，抑制扰动

液位控制系统，直流电动机调速系统等等。

2.随动控制系统：

＞系统任务：c(t)=r(t)r(t)随机变化

＞分析设计重点:系统跟踪的快速性，准确性

跟踪卫星的雷达天线系统

3.程序控制系统：

＞系统任务：c(t)=r(t)r(t)按预先规定时间函数变化

＞分析设计重点:输出按一定的规律变化

机械加工中的程序控制机床等等。

1.4.2按系统的数学描述划分

1.线性系统

当系统各元件输入输出特性是线性特性，系统的状态和性能可以用线性微分(或

差分)方程来描述时，则称这种系统为线性系统。

2.非线性系统

系统中只要存在一个非线性特性的元件，系统就由非线性方程来描述，这种系统

称为非线性系统。

1.4.3按信号传递的连续性划分

1.连续系统

连续系统的特点是系统中各元件的输入信号和输出信号都是时间的连续函

数。这类系统的运动状态是用微分方程来描述的。

连续系统中各元件传输的信息在工程上称为模拟量，其输入输出一般用中)和C⑺

表示。

2.离散系统

控制系统中只要有一处的信号是脉冲序列或数码时，该系统即为离散系统。

这种系统的状态和性能一般用差分方程来描述。

1.4.4按系统的输入与输出信号的数量划分

1.单变量系统(SISO)

2.多变量系统(MIMO)

1.4.5自动控制系统的基本组成

在形形色色的自动控制系统中，反响控制是最基本的控制方式之一。一个典

型的反响控制系统总是由控制对象和各种构造不同的职能元件组成的。除控制对

象外，其他各局部可统称为控制装置。每一局部各司其职，共同完成控制任务。

下面给出这些职能元件的种类和各自的职能。

给定元件：其职能是给出与期望的输出相对应的系统输入量，是一类产生系

统控制指令的装置。

测量元件：其职能是检测被控量，如果测出的物理量属于非电量，大多情况下

要把它转换成电量，以便利用电的手段加以处理。

对比元件：其职能是把测量元件检测到的实际输出值与给定元件给出的输入

值进展对比，求出它们之间的偏差。

放大元件：其职能是将过于微弱的偏差信号加以放大，以足够的功率来推动

执行机构或被控对象。

执行元件：其职能是直接推动被控对象，使其被控量发生变化。

校正元件：为改善或提高系统的性能，在系统基本构造根基上附加参数可

灵活调整的元件。工程上称为调节器。常用串联或反响的方式连接在系统中。

§1.5对控制系统的要求和分析设计

1.5.1对系统的要求

各类控制系统为到达理想的控制目的，必须具备以下两个方面的性能(基本要

求)：

1.使系统的输出快速准确地按输入信号要求的期望输出值变化。

2.使系统的输出尽量不受任何扰动的影响。

对自控系统性能的要求一般可归纳为三大性能指标：

(1)稳定性：要求系统绝对稳定且有一定的稳定裕量。

(2)瞬态质量：要求系统瞬态响应过程具有一定的快速性和变化的平稳性。

(3)稳态误差：要求系统最终的响应准确度，限制在工程允许的范围之内，是系

统控制精度的恒量。

1.5.2控制系统的分析和设计

1.系统分析

系统给定，在规定的工作条件下，对它进展分析研究，其中包括稳态性能和动态

性能分析，看是否满足要求，以及分析某个参数变化时对上述性能指标的影响，

决定若何合理地选取等。

2.系统的设计

系统设计的目的，是要寻找一个能够实现所要求性能的自动控制系统。因此，在

系统应完成的任务和应具备的性能的条件下，根据被控对象的特点，构造出适合

的控制器是设计的主要任务。应进展的步骤如下：

(1)熟悉对系统性能的要求。

(2)根据要求的性能指标综合确定系统的数学模型。

(3)假设控制对象是的，根据确定的系统数学模型和局部的数学模型，求得控

制器的数模和控制规律。

(4)按综合确定的数模进展系统分析，验证它在各种信号作用下是否满足要求。

假设不满足，及时修正。

(5)样机设计制造和试验，验证设计结果。

§1-6自动控制理论的开展概况

三个时期：

＞早期的自动控制工作

＞经典控制理论

＞现代控制理论

作业：1.21.3

学习指导与小结

＞通过例如介绍了控制系统的基本概念

1.反响控制原理

2.控制系统的基本组成

3.控制系统的基本类型

＞给出控制系统的基本要求

1.稳

2推

3.快

第二章控制系统的数学模型

主要内容:

＞数学模型的概念、建模原则

＞线性系统的传递函数

＞系统的构造图

＞信号流图及梅逊公式

§2-1引言

什么是数学模型

所谓的数学模型，是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式。

2.1.1数学模型的特点

L相似性

2.简化性和准确性

3.动态模型

4.静态模型

＞静态模型和动态模型

一、静态模型

1.不含时间变量，的代数方程

2.平衡状态下各变量间对应关系

3.变化量不随时间而变化

二、动态模型

1.表达式是含时间变量t的微分方程

2.描述了系统的非平衡过程

3.变量随时间而变化

4.静态模型包含在静态模型中

2.1.2数学模型的类型

1.微分方程

2.传递函数

3.状态空间表达式

2.1.3数学模型的建模原则

数学模型的建设方法：

1.分析法（微分方程和代数方程）

2.实验法

数学模型的建模原则：

1.建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求,

选择适宜的分析方法。

2.按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式。

3.根据允许的误差范围，进展准确性考虑然后建设尽量简化的、合理的数学模型。

§2.2系统微分方程的建设

2.2.1列写微分方程式的一般步骤

1.分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清

各变量之间的关系。

2.做出符合实际的假设，以便忽略一些次要因素，使问题简化。

3.根据支配系统动态特性的基本定律，列出各局部的原始方程式。

4.列写各中间变量与其他变量的因果式。

5.联立上述方程，消去中间变量。

6.将方程式化成标准形。

2.2.2机械系统举例

例2-1弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力产⑺为输入量，以质量的

位移y⑺为输出量的运动方程式。

解：遵照列写微分方程的一般步骤有：

1.确定输入量为F«）,输出量为y⑺，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk⑴

和粘滞阻力可W，均作为中间变量。

2.设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。

3.按牛顿第二定律列写原始方程，即

4.写中间变量与输出量的关系式

5.将以上辅助方程式代入原始方程，消去中间变量，得

6.整理方程得标准形

令刀”2=机伏，Tf=f!k，则方程化为

2.2.3电路系统举例

例2-2电阻一电感一电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以〃r(t)为输入

量，〃c(t)为输出量的网络微分方程式。

L-R-C网络

u"+—u'+—u=-^—Ur-----2阶线性淀O-

『LcLCcLC

u

2.2.4实际物理系统线性微分方程的一般特征r

O-

观察实际物理系统的运动方程，假设用线性定■.一

以下形式:

式中，C⑺是系统的输出变量，中)是系统的输入变量。

列写微分方程式时，一般按以下几点来写：

1.输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端；

2.左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件;

3.方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。

4.方程的系数均为实常数，是由物理系统自身参数决定的。

§2.3非线性数学模型线性化

3.2.1线性化意义和常用方法

＞为什么要线性化

1.实际对象总存在一定的非线性

2.线性系统具有较完整的理论

＞线性化条件

1.实际工作情况在某平衡点附近(静态工作点)

2.变量变化是小范围的

3.函数值与各阶导数连续，至少在运行范围内如此。

满足上述条件，则工作点附近小范围内各变量关系近似线性

＞线性化方法

1.泰勒级数展开

2.取线性局部

＞线性化定义：是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高

阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。

假设元件的输出与输入之间关系x2=73)的曲线如图，元件的工作点为(xio,

X2())o将非线性函数x2=;(xl)在工作点(X10,X20)附近展开成泰勒级数：

当(力一力0)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成：

其中为自备(两o,%20)处的斜率，即此时以工作点处的切线代替曲线，得

到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。

例某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。

解：在工作点(xo,yo)处展开泰勒级数

取一次近似，且令

既有Aj=—Ensinx0-2\x

§2-4线性系统的传递函数

一.复习拉氏变换及其性质

1.定义X(5)=£x(t)e~sldt

记X(s)=L[x(t)]

2.进展拉氏变换的条件

(l)r<0,</)=0；当/NO,x(f)是分段连续；

(2)当「充分大后满足不等式风。区是常数。

3.性质和定理

(1)线性性质

L[ax\(f)+bx2(。]=aXl(s)+bX2(s)

(2)微分定理

假设(0)=以0)=…=0，则:

(3)积分定律

假设x-1(0)=x-2(0)=…=0,x⑺各重积分在仁0的值为0时，

(4)终值定理

假设x⑺及其一阶导数都是可拉氏变换的，limx⑺存在，并且sX(s)除原点为单极

点外，在_/3轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x⑺的终值为：

(5)初值定理

如果x(f)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且lims礴在，则

5—>00

(6)延迟定理

L[x{t-r)-l(z-r)]=eT-sX(s)

L\e-atx(f)]=X(s+d)

(7)尺度变换

(8)卷积定理

4.举例

例2-3求单位阶跃函数x(f)=l⑺的拉氏变换。

解：。0

例2-4求单位余谶独强枢t=^£选换。

解：x⑸二£5而工『嬴'力

例2-5求正弦函薪x(f)=sinM”的辑氏变换。

=一与嘘+「久-"力=二

解：SS~

sinm=--------

例2-6求函数x⑺的拉氏变换。2j

解：x(r)=xi(r)+x2(r)

=41(。-41(10)

例2-7求ea,的拉氏变换。

解：8

例2-8求e-02期朔变换"=」一e-)[；=—

1a-s10s-a

解：

例2-9求从汕)汝城;71

s+a

解：x(0)=limsX(s)=limS=1

5—>005—>00$+Q

二.复习拉氏反变换

1.定义由象函数X(s)求原函数x(t)

2.求拉氏反变换的方法

①根据定义，用留数定理计算上式的积分值

②查表法

③局局部式法

一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即

通常机＜〃，ai,...,fl„；。0,…，狐均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则

式中SI,是4s)=0的根,称为X(s)的极点。分两种情况讨论:

(l)A(s)=0无重根。

式中ci是待定常数，称为X(s)在极点si处的留数。

(2)A(s)=0有重根。设有r个重根si，则

7=0,1,r-l

i=r+\,...,nq=Ji^(s-s,)X(s)

3.举例

s+2

例2-10X(5)=-y1—----求原函数X(。。

s+45+3

解：s2+4s+3=(s+3)(s+1)

例2-11求的原函数xa)。

解：52+25+2=(5+1)2+1=(5+1+7)(5+1-j)

例2-12求的原函数》⑺。

2.4.1.线性常系数微分方程的求解

用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：

1.对微分方程两边进展拉氏变换。

2.求解代数方程，得到微分方程在s域的解。

3.求s域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。

例2-13求解方程：

初始条件：＞-(0)=-1,y(0)=2

解：两边取拉氏变换

s2y⑸ry(0)-y(0)+3sY(s)-3y(0)+2Y(s尸5/s

y(t)=5/2-5e-r+3/2e-2'

例2-14图2-5所示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压外⑺的变

化规律。

解：设输入量为〃,⑺，输出量

-I-----1-

为Mc(/)o写出R电路运动方程

电容初rCT°始电压为〃c(0),

o

对方程两端取拉氏变换

当输入为阶跃电压ur⑺=»01⑺时，得

式中右端第一项为哪一项由输入电压决定的分量，是当电容初始状态Mc(O)

=0时的响应，故称零状态响应；

第二项是由电容初始电压〃c(0)决定的分量,是当输入电压M,-(/)=0时的响应,

故称零输入响应。

根据线性系统的叠加原理，将初始电压〃以0)视为一个输入作用，则可在复数域

内分别研究RC电路的零状态响应及零输入响应。假设令〃c(0)=0,则有

当输入电压小⑺给定时，其拉氏变换U『(s)亦是确定的。于是，输出电压便完全

由l/(HCs+l)所确定。这时，上式也可写成

上式说明，输出电压Uc(s)与输入电压行⑸之比，是s的一个有理分式函数，

它只与电路的构造形式及其参数有关，故可以作为在复数域内描述RC电路输入

--输出关系的数学模型，称为传递函数，记作G⑸。

Uc(s)=G(s)U,(s)

2.4.2传递函数的定义

定义：在线性(或线性化)定常系统中，初始条件为零时，系统输出的拉氏变换

与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。

设线性定常系统的微分方程式为

式中，r⑺是输入量，c⑺是输出量。

在零初始条件下，对上式两端进展拉氏变换得

,,-1

(aos"+<2hv+...+an-\s+an)C(s)=

(bosm+b\sm~'+...+bm-is+bm)R(s)

求出传递函数为

传递函数的实际意义

零初始条件有两方面的含义：一是输入在，=0以后才作用于系统，即输入及其各

阶导数在，=0的值为零；二是系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各

阶导数在f=0的值为零。

传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运

动情况。(零状态解)

对于非零初始条件的响应，可用叠加原理进展处理。

§2-5典型环节及其传递函数

典型环节有6种，分述如下：

1.比例环节

运动方程式c⑺=Kr(t)

传递函数G(s)=K

单位阶跃响应C(.v)=G(s)R(s)=K/s

c«)=Kl⑺

可见，当输入量中)=1⑺时，输出量c⑺成比例变化。

2.惯性环节

微分方程式：T竽+cH)=r(f)

dt

传递函数：

式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点p=

-1/T,无零点。

单位阶跃响应:

阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。|

3.积分环节I

微分方程式：c(f)=，J：r⑺drC(t)

传递函数：

单位阶跃响应：C(s)=，21卜

当输入阶跃函数时，该环磊储5出随时间直线增长］增长速度由1/T决定。

当输入突然除去，积分停顿，输出维持不变，故有记忆上能。

4.微分环节

,、_dr(t)

微分方程式为：cH)=T.

传递函数为：G(s)=7s

单位阶跃响应：C(s)=Ts--=T

c(t)=Td^t)

由于阶跃信号在时刻t=0有一跃变,

其他时刻均不变化，所以微分环节对

阶跃输入的响应只在t=0时刻产生一个响应脉冲。

5.振荡环节

微分方程式为:T2等噜+的3

传递函数为：G(s)=

72s2+26+1

式中，T>0,0<久1,(on=l/T,T称为振荡环节的时间常数，:为阻尼比，防

为无阻尼振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共扰极点：

单位阶跃响应:

式中，£=cos-l的响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。

6.延迟环节

微分方程式为：c(f)=r(t-r)

传递函数为：G(s)=eT-S

单位阶跃响应：C(s)=e-0--

s

c(t)=1(/T-)

§2-6系统的构造图

2.6.1构造图的定义及基本组成

1.构造图的定义

定义：由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称

为系统的构造图。

例如讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图来描述其构造和作用原理，见

图。

把各元件的传递函数代入方框中去，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动

态构造图。

2.构造图的基本组成

♦画图的4种基本元素如下：

信号传递线是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递

的信号。

分支点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完

全一样。

电,H(s)_、

F'-(s)’

相加点对两个以上的信号进展代数运算，“+〃号表示相加，可省略不写,

〃号表示相减。

方框表示R⑸7?($)士伙$)对信号进展的数学运算。

方框中写入元部件的传递函数。

2.6.2构造图的绘制步骤

(1)列写每个元件的原始方程，要

考虑相互间负载效应。

(2)设初始条件为零,对这些方程进展拉氏变换，并将每个变换后的方程,

分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具

有典型环节的形式。

(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的构造图。

例2-15画出以以以下图所示RC网络的构造图。

解：(1)列写各元件的原始方程式

(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式

(3)将这些方框依次连接起来得图。

2.6.3构造图的基本连接形式

1.三种基本连接形式

(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一

个环节的输入，依次按顺序连接。

由图可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)

消去变量U(s)得C(s)=GI(S)G2(S)H(S)=G(s)R(s)

故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。

(2)并联。并联各环节有一样的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。

由图有Cl(5)=Gl(5)7?(5)

C2(s)=IG(s)G2(S)H(S)

消去Gl(s)和G2(s),得

C(5)=[Gl(5)

±G2(S)]R(S)

故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。

(3)反响连接。连接形式是两个方框反向并接，如以以下图。相加点处做加法

时为正反响，做减法时为负反响。

由图有C(s)=G⑶E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)±B(s)

消去B(s)和风s),得

C(s)=G(5)fR(S)±H(S)C(S)]

上式称为闭环传递函数，是反响连接的等效传递函数。

G(s):前向通道传递函数

"(s):反响通道传递函数

H(s)=l单位反响系统

G(s)H(s):开环传递函数

2.闭环系统的常用传递函数

考察带有扰动作用下的闭环系统如以以下图。它代表了常见的闭环控制系统

的一般形式。

(1)控制输入下的闭环传递函数

令N(s)=0有

(2)扰动输入下的闭环传递函数

令R(s)=0有

至此，可以给出求单回路闭环传递函数的一般公式为

式中负反响时取“+”号，正反响时取“一”号。

(3)两个输入量同时作用于系统的响应

(4)控制输入下的误差传递函数(D(s)=O)

(5)扰动输入下的误差传递函数(R(s)=O)

(6)两个输入量同时作用于系统时的误差

2.6.4构造图的等效变换

变换的原则：变换前后应保持信号等效。

1.分支点后移

2.分支点前移

3.对比点后移

前移

5.对比点互换或合并

2.6.5构造图的简化

对于复杂系统的构造图一般都有相互穿插的回环，当需要确定系统的传函时，就

要根据构造图的等效变换先解除回环的穿插，然后按方框的连接形式等效，依次

化简。

例2-16用构造图化简的方法求以以以下图所示系统传递函数。

I-----rrCZtr~।解：方

法1

方法2

例2-17

用构造

图化简

的方法

/♦

求以以

以下图所示系统传递函数。

解:

§2-7信号流图及梅逊公式

2.7.1信号流图的基本概念

1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。

先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述:

X2=ai2X|

式中，为输入信号（变量）；X2为输出信号（变量）；ai2为两信号之间的传输（增益）。

即输出变量等于输入变量乘上传输值。假设从因果关系上来看，X!为“因〃，X2

为“果”。这种因果关系，可用以以以下图表示。

下面通过一个例子，说明信号流图是若何构成的。

设有一系统，它由以下方程组描述：

X2=a\2x\+6（32X3

X3=<223x2+443X4

X4=。24X2+434X3+044X4

X5=025X2+445X4

2.信号流图的基本元素

（1）节点：用来表示变量，用符号"0”表示，并在近旁标出所代表的变

量。

（2）支路：连接两节点的定向线段，用符号“一>"表示。

支路具有两个特征：

有向幽限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。

有权以限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值

表示。

3.信号流图的几个术语

输入节点（源节点）只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中XI。

输出节点（汇节点、阱节点）只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。

如图中X4。

混合节点既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中X2、X3。

通道从某一节点开场，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点

的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。

开通道如果通道从某一节点开场，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点

只经过一次。如412023434。

闭通道(回环)如果通道的终点就是起点的开通道。如a23a32,a33(自回环)。

前向通道从源节点到汇节点的开通道。

不接触回路回路之间没有公共的节点和支路。

4.信号流图的基本性质

(1)信号流图只能代表线性代数方程组。

(2)节点标志系统的变量，表示所有流向该节点的信号之和；而从该节点

流向各支路的信号，均用该节点变量表示。

(3)信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，

即只有“前因后果”的因果关系。

(4)支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一

信号。

(5)对于给定的系统，信号流图不唯一。

2.7.2信号流图的绘制方法

1.直接法

例2-18RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图

解：⑴列写原始方程限)=L等+.)+%(,)

(2)取拉氏变换，考虑初始条飙i(0+说/40+)

(3)整理成因果关系1出

(4)画出信号流图如以以下图。

2.翻译法

例2-19画出以以以下图所示系统的信号流图。

解：按照翻译法可直接作出系统构造图所对应的信号流图。

2.7.3梅逊增益公式

1.梅逊增益公式

输入输出节点间总传输的一般式为

式中P一总传输(增益)；

n—从源节点至汇节点前向通道总数；

Pk—第K条前向通路的传输；

/-信号流图的特征式;

4—余因子式(把第K条前向通道除去后的特征式。)

例2-20求图所示系统的信号流图输入xo至输出次的总传输Go

解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道

A=1-(bi+dj+fk+bcdefgni)+(bidj+bifk+djfk)-bidjfk

Pl=abcdefghZll=1-0=1

例2-21系统的信号流图如下，求输入XI至输出X2和X3的传输。

解：单回路：ac,abd,gi，g何，aegh

两两互不接触回路:

ac与gi,gly;abd与gi,ghj

XI到X2的传输:

P\=lab/I=l-(gi+ghj)

P2=3gfab/2=1

XI到X3的传输:

Pl=3Al=1-(ac+abd)

P2=2ae△2=1

例2-22试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s)o

解：单回路：—Gi»—G2,—G3,—G1G2

两两互不接触回路：—Gi和—G2,—Gi和—G-3,—G2和—G3,—G1G2和—G3

三个互不接触回路:-Gi,-G2和-G3

前向通道：Pi=GiG2G3KAi=1

P2=G2G3KA2=1+Gi

P3=G3KA3=1+G2

P4=G2(-1)G3K△4=1

学习指导与小结

1.基本要求

通过本章学习，应该到达

⑴正确理解数学模型的概念。

(2)了解动态微分方程建设的一般方法。

(3)掌握运用拉氏变换法解微分方程的方法，并理解解的构造、零输入响应、

零状态响应等概念。

(4)正确理解传递函数的定义、性质和意义。

(5)正确理解系统的开环传递函数、闭环传递函数、前向通道传递函数，并

对重要传递函数如：控制输入下闭环传递函数、扰动输入下闭环传递函数、误差

传递函数、典型环节传递函数，能够熟练掌握。

(6)掌握系统构造图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化

构造图，并能用梅逊公式求系统传递函数。

2.内容提要

本章介绍了数学模型的建设方法。

线性定常系统数学模型的形式，介绍了两种解析式(微分方程和传递函数)和两

种图解法(构造图和信号流图)，对于每一种形式的基本概念、基本建设方

法及运算，用以下提要方式表示出来。

⑴微分方程式

基本概念：物理、化学及专业上的基本定律

中间变量的作用

简化性与准确性要求

基本方法

1.直接列写法：原始方程组

线性化

消中间变量

化标准形

2转换法：由传递函数一微分方程式

由构造图->传递函数一微分方程

由信号流图-传递函数-微分方程

(2)传递函数

基本概念

1.定义：线性定常系统

零初始条件

一对确定的输入输出

2典型环节：传递函数

零极点分布图

单位阶跃响应特性

基本方法

1.定义法由微分方程f传递函数

2.图解法：由构造图-化简-传递函数

由信号流图f梅逊公式一传递函数

⑶构造图

基本概念

数学模型构造的图形表示

可用代数法则进展等效变换

构造图基本元素（方框、相加点、分支点、支路）

基本方法

由原始方程组画构造图

用代数法则简化构造图

由梅逊公式直接求传递函数

第三章线性系统的时域分析法

主要内容：

＞典型信号及其性能指标

＞一节系统分析

＞二阶系统分析

＞稳定性分析

＞稳定性误差分析

§3.1典型输入信号和时域指标

分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，一旦获得系统的数学

模型，就可以采用几种不同的方法去分析系统的性能。

线性系统：时序分析法，根轨迹法，频域法

非线性系统：描述函数法，相平面法

采样系统：z变换法

多输入多输出系统：状态空间法

对线性系统，时域分析法的要点是：

(1)建设数模(微分方程式，传递函数)

(2)选择适宜的输入函数(典型信号)。取决于系统常见工作状态，同时，在所有

的可能的输入信号中，选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。

(3)求出系统输出随时间变化的关系

C(5)=G(s)7?(s)c(0=L~'[C(5)]

(4)根据时间响应确定系统的性能，包括稳定性快速性和准确性等方面指标，看

这些指标是否符合生产工艺的要求。

目前，常用的典型外作用有以下几种：

(1)单位阶跃函数，其数学表达式为

⑵单位斜坡函数，其数学表达式为W)_

(3)单位脉冲函数，其数学表达式为/

(4)单位匀加速函数其数学表达式为

(5)正弦函数其数学表达式为0'

f(t)=Asin3t

任何一个实际控制系统的时间响应，都由过渡过程和稳态过程两局部组成:

(1)过渡过程：系统从刚参加输入信号后，到系统输出量到达稳态值前的响应过

程，称为过渡过程或动态过程。

(2)稳态过程：时间t趋于无穷大时的响应过程，稳态过程表征输出量最复现输

入量的程度，用稳态性能描述。

衰减发散等幅振荡

§3.2一阶系统ZS的时域分析

但凡可用一/\

阶微分方程描述的

系统,称为一阶/

系统。

T=RC,时间/

常数。其典型构造

图及传递函数0'为：

我减，

3.2.1单位阶跃响应

当输入信号也)=1⑺时，系统的响应c⑺称作其单位阶跃响应。

响应曲线在［0,8）的时间区间中始终不会超过其稳态值，把这样的响应称

为非周期响应。

一阶系统响应具备两个重要的特点：

①可以用时间常数T去度量系统输出量的数值。

②响应曲线的初始斜率等于1/To

一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts

定义：|c®-1I=A（△取5%或2%）

3.2.2单位斜坡响应［«）=〃

稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率一样但在时间上迟后了一个时间常数

T的斜坡函数。

说明过渡过程完毕后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位置上仍有误差,

一般叫做跟踪误差。

对比阶跃响应曲线和斜坡响应曲线:

在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，最终趋于0,

而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也最大；

在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最终趋于常

值T,在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等于0。

3.2.3单位脉冲响应［R（s）=l］

它恰是系统的闭环传函，这时输出称为脉冲响应函数，以力⑺标志。

求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于系统，测定

出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。

对应

线性定常索痴谢赢幽©％冲（。=［徐跃⑺

1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系统的输出则为原来输出的

导数。_

2.在零初始条件下，£黎维&知答）为原来输入信号时间的积分时，系统的输

出则为原来输出对时间的积分，积分常数由零初始条件决定。

§3.3二阶系统的时域分析

3.3.1二阶系统单位阶跃响应

1.二阶系统的数学模型

标准化二阶系统的构造图为:

闭环传递函数为

二阶系统有两个构造参数力阻尼比)和斯(无阻尼振荡频率)。二阶系统的性能

分析和描述，都是用这两个参数表示的。

例如RLC电路

对于不同的二阶系统，阻尼比和无阻尼

振荡频率的含义是不同的。

2.二阶系统的闭环极点

二阶系统的闭环特征方程，即

S2+2。公1S+笳=0

其两个特征根为：.2=-s“土例

上述二阶系统的特征根表达式中，随着阻尼比q的不同取值，特征根有不同

类型的值，或者说在S平面上有不同的分布规律。分述如下:

(1纥>1时，特征根为一对

不等值的负实根，位于S平

面的负实轴上，使得系统

的响应表现为过阻尼的。X

⑵0=1时，特征根为一对等值的负实根,位于

S平面的负实轴上，使得系统的响应表现为临界阻尼的。

(3)0<^<1时，特征根为一对具有负实部的共规复根，位于s平面的左半平面

上，使得系统的响应表现为欠阻尼的。

(4)；=0时，特征根为一对幅值相等的虚根，位于s平面的虚轴上，使得系统的

响应表现为无阻尼的等幅振荡过程。

(5)0<0时，特征根位于s平面的右半平面，使得系统的响应表现为幅值随时间

增加而发散。

阻尼比取不同值时，二阶系统根的分布

3.单位阶跃响应

式中SI,S2是系统的两个闭环特征根。

对上式两端取拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应表达式。阻尼比在不同

的范围内取值时，二阶系统的特征根在S平面上的位置不同，二阶系统的时间

响应对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。

⑴欠阻尼情况

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两局部组成：稳态分量为1,说明系统在1(。

作用下不存在稳态位置误差；

瞬态响应是阻尼正弦项，其振荡频率为阻尼振荡频率，而其幅值则按指数曲线衰

减，两者均由参数3口函决定。

无阻尼情况c")=1-cos(Z>0)

(2)临界阻尼情况

51.2=-con

此时响应是稳态值为1的非周期上升过程，其变化率f=o,变化率为0；f>0

变化率为正，c⑺单调上升；tf8,变化率趋于0。整个过程不出现振荡。

(3)过阻尼情况

响应特性包含两个单调衰减的指数项，且它们的代数和不会超过1,因而响应是

非振荡的。(不同于一阶系统)

3.3.2欠阻尼二阶系统的动态性能指标

用6"，四个性能指标来衡量瞬态响应的好坏。

(1)上升时间6-：从零上升至第一次到达稳态值所需的时间，是系统响应速度的

一种度量。％越小，响应越快。

(2)峰值时间tp：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。

(3)超调量op：响应曲线偏离阶跃曲线最大值，用百分比表示。

6只是强函数，其大小与自然频率防无关。

4=0.26=52.7%

《=0.40=25.4%

W=0.6/=9.5%

，=0.707aP=4.3%

(4)调节时间右：响应曲线衰减到与稳态值之差不超过5%所需要的时间。

|c(r)-c(oo)|<Axc(oo)(t>ts)

工程上，当0.1<。0.9时，通常用以下二式近似计算调节时间。

△=5%

△=2%

例3-1单位负反响随动系统如以以下图

(1)确定系统特征参数与实际参数的关系。

⑵假设K=16(rad/s)、T=0.25(s),试计算系统的动态性能指标。

解：(1)系统的闭环传递函数为

与典型二阶系统对比可得：K/T=加1/7=2^,

(2)K=16,T=0.25时

(A=0.05),=_L=_=1.5(5)

'3“8x0.25

例3-2单位负反响索统的单位阶跃响应曲线如以以下图I,试求系统的开环传递函

数。

解：由系统的单位阶跃响应曲线，直

接求出超调量和峰值时间。

6=30%tP=0.1

求解上述二式，得到《=0.357,

(On=33.6(rad/s)o于是二阶系统的开

环传递函数为00.1

3.3.5二阶系统性能的改善

1.误差的比例一微分控制

具有误差比例一微分控制的二阶系统如以以下图

系统的开环传递函数为

闭环传递函数为

式中小为系统的有效阻尼比。

上式说明，比例一微分控制的二阶系统不改变系统的自然频率，但是可以增

大系统的有效阻尼比以抑制振荡。此时，相当于为系统增加了一个闭环零点。假

设令Z=l/7；/,上式可以表示为

比例一微分控制的二阶系统有时称为有零点的二阶系统。与没有零点的二阶

系统相比，超调量会增大一些。

。⑺有零点的二阶系统。c⑺没有零点的二阶系统。

2.输出量的速度反响控制

系统的闭环传递函数为：

式中为系统的有效阻尼比。

显然，输出量的速度反响控制也可以在不改变系统的自然频率根基上，增大

系统的有效阻尼比，减小超调量。

与比例微分控制不同的是，输出量的速度反响控制没有附加零点的影响，两

者对系统动态性能的改善程度是不同的。

3.两种控制方案的对比

都为系统提供了一个参数选择的自由度，兼顾了系统响应的快速性和平稳性。但

是，二者改善系统性能的机理及其应用场合是不同的。简述如下：

⑴微分控制的附加阻尼作用产生于系统输入端误差信号的变化率，而速度反响

控制的附加阻尼作用来源于系统输出量的变化率。

微分控制为系统提供了一个实零点，可以缩短系统的初始响应时间，但在一样阻

尼程度下，将比速度反响控制产生更大的阶跃响应超调量。

(2)比例控制位于系统的输入端，微分作用对输入噪声有明显的放大作用。当

输入端噪声严重时，不宜选用比例一微分控制。同时，由于微分器的输入信号是

低能量的误差信号，要求比例一微分控制具有足够的放大作用，为了不明显恶化

信噪比，需选用高质量的前置放大器。

输出速度反响控制，是从高能量的输出端向低能量的输入端传递信号，无需增设

放大器，并对输入端噪声有滤波作用，适合于任何输出可测的控制场合。

§3.4高阶系统的时域分析

3.4.1高阶系统的阶跃响应

控制系统的基本构造如以以下图。

其闭环传递函数为

G(s),H(s)一般是复变量s的多项式之比，故上式可记为

根据能量的有限性，分子多项式的阶次加不高于分母多项式的阶次〃。对上

式进展因式分解，可以表示为

式中0＜：左＜1。即系统有q个实极点和;•对共规复数极点。

取拉氏变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位阶跃响应的时间表达式：

式中；佻=2吗迎啾Jl是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。

上式说明，如果系统的所有闭环极点都具有负实部，系统时间响应的各暂态

分量都将随时间的增长而趋近于零，这时称高阶系统是稳定的。

3.4.2闭环主导极点

1)高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由-pi，

-久函决定，也即闭环极点负实部的绝对值越大，相应的分量衰减越快。

2)各分量所对应的系数由系统的零极点分布决定。

当某一极点越靠近零点，而远离其他极点和原点，则相应系数越小，该瞬态分量

的影响就越小；

当某一极点远离零点，越靠近其他极点和原点，则相应系数越大，该瞬态分量的

影响就越大；

一个零点和一个极点距离非常近，把这一对零极点称为偶极子。

3)系统的零极点共同决定了系统瞬态响应曲线的形状。

根据上述，把系数很小的分量，远离虚轴衰减很快的分量常常忽略，高阶系统就

可用低阶系统来近似估计。

4)对系统瞬态响应起主导作用的极点，称为主导极点。

应用闭环主导极点的概念，可以把一些高阶系统近似为一阶或二阶系统，以实现

对高阶系统动态性能的近似评估。

一般情况，高阶系统具有振荡性，所以主导极点常常是一对共鲍复数极点。找到

了一对共规复数