恒等证明教学课件

第三讲恒等证明

本讲纲要①)(a±b)2=a2±2ab+b1

@等式证明常用方法②)(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

1.直证法

③)(。+6)("6)=。2-眇

2.两边夹证

④)a3±b3=(a±+ab+b2)

3.综合法

4.分析法⑤)(a+b+c>=a2+b24-c2+2ab+2ac+2bc

5.比较法

@)(a+&+c)(a2+fe2+c2-ai-ac-ftc)=a3+63+(?-^abc

6.换元法

7.设参法⑦)(a-b)(a〃T+an-2Cb+a"-®+…+al+bn-x)=an-bn

8.构造法

⑧)a2+/+c2±a6±ac±6c=-^[(a±b)2+(a±c)2+(6±c)2]

愈考试要点剖析

等式(包括恒等式与条件恒等式)的证明实质上就是有目标的代数式的恒等变形，因而在代数等式的证

明过程中除了要熟练地运用等式变形的技巧外，还要善于寻找代数式与代数式、条件与结论之间的联系，

从而保证证题的每个步骤都是有的放矢，不断向结论靠近.

等式证明的主要思路是：

(1)由繁到简.即从比较复杂的一边向较简单的一边推导.

(2)两边夹证.即等式两边同时变形为同一个代数式.

在证明等式的过程中，可视具体情况，运用不同的变形技巧和方法，使证明过程尽量简捷.下面介绍

常用的证明方法.

1.直证法

由等式的一边推导等式的另一边,一般由复杂的一边向较简单的一边推导.

][]_.

例1.(★★★)求证：1+X—+彳…+1+广+1+尸+尸，='

【评述】：观察各分母的特征，比较其异同，设法将其化为相同的分母，以便于相加.

【解】：

—a—b-c

讦2_______――

工出一%-。(1+近6+--C)4-6(1+%-+/j)%-c(l+/T+%…)

-a,~b,-c'

-1________一右加

-—a-b-。一】一午JAct,

y-z+z——+%_y________2_+22

例2.(★★★)求证：(％_y)(%—z)(y-z)(y-x)(z-x)(z-y)~x-yy-zz-x,

【评述】：分析注意到等式两边均是关于X,y,z的轮换对称式，故可先对左端其中一个分式进行变

形.

【解】：

证因为y-z=(%-z)-(%-y),所以

y-z④-z)--y)11

(x-y)(x-z)~(x-y)(x-z)~x-y一x■-z,

由轮换对称性，得

左边=(士1)+(±-yh)+(

z-xz-y)

222

=----+----+----=右边,

x-yy-zz-x

2.两边夹证

当一个等式的两边都比较复杂时，可考虑将等式两边同时变形为同一个代数.这种方法

是一种间接证法，简称两边夹证.两边夹证适用于任何恒等式的证明，特别是对于条件

恒等式的证明比较奏效.

例3.（★★★★）求证：存在惟一的正数a,使下面等式成立.

"Va+、/a+/a+…=a+-^―；----.

【评述】：分析等式两边可以说是太复杂了，宜用两边夹证.注意到无穷省略号“…”的意义，可考

虑分别构造方程计算等式两边.

【解】：

证设等式左边为3则x满足方程”0,.一＞々＞0,

支=1+/TT4^

两边平方，得x2-x-a=0.2

1：.(a-1)+a2+4->/1+4a=0.

又设等式右边为y,则y满足方程y=a+一

y(a-l)+41)^=0.

整理，得y2-ay-1=0.Va+4+V1+4a

于是a=1.

当a>0,a*l时，

令4=’,得a+，a'+4=1+/1+4a上式变为3-a="/a2+4+，1+4a,

3=a+Va2+4+/1+4a=(1+1+4a)+V1+4a=1+21+4a,

/1+4a=1,.\a=0与已知a>0矛盾.

综上所述，存在惟一的正数a=1使等式成立.

若Q_______b_______c

例4.(★★★★)x2-yzy2-zxz?一打'求证：ax+的+cz=(夕+y+z)(a+6+c).

【评述】：本题的已知条件是一个连比式，在处理时往往设连比式的值为k或其他形式，然后利用等

式证明的相应技巧.

【解】：

证设/一=♦—=1-=上则有

x-yzy-zxz-xy

a=k(x2-平),b=k(j-zx),c=k(z2-%y),

于是右边=(%+y+z)[/c(%2-yz)+k(y2-zx)+k(x2一到)]

左边=k(x3-xyz)+k(y3-xyz)+k(z3-xyz)=k(xy+z)[x2+y2+z2-xy-yz-zx]

=k(x3+y3+z3-3xyz);=k(x+y3z-3xyz).

例5.（★★★）设欧-by-cz，且4+,+z_1,求证：ax+6y2+=/a+九+汽•

【解】：

证本题的条件之一是连等式，我们仍采用上题的方法，并且为了方便,设连等

式为k3,即设ax3=by3=cz=*，则

a=d）3,b=（J）3，c=（与二

xyz

于是，

右边=左（2+工+上）=Q

xyz

左边=A/ax3—+by3—\cz3-（上+工+1）=k.

vxJyz\xyz

3.综合法

所谓综合法是从原因推导出由原因产生的结果的一种思维方法.简单地说，综合是“由

因到果在数学证明中，为了找到证明的途径，如果推理的方向是从已知到求证，这

种思考方法由于是''由因导果”，则可用综合法.

J-J_Aj_—______11]]1

例6.(★★★)已知—+石+>=a+b+c,求证：可+理+薄=泮+泮+—

证由已知条件，有J"+J+；=.+J,+:，

b6、若a=-c,则

两边乘以M(a+b+c),得(a+b+。)(而+6c+ca)二必，〔]]]

进而有(a+6+c)(而+6c)+CQ(Q+c)=0,(c+a)(a+b)(b+c)=°.左边=(一产+源+萍=萍'

于是得c+a=O或a+6=0或6+c=0,十』11

即a=-c,或6=-%或6=-c.右边=(_'严'+产1+产=薄,同

理，当b=-a,或b=-c时，等式也成立.

【题注】：本题的关键是由已知条件推得a,b,c中必有两个互为相反数，而此处的

2001并不具有实质性，可推广到任意正奇数.

4.分析法

为了证明某一个结论，可以从结论出发，经过若干逆向推理，逐步寻求该结论成立的原

因，最后将这个原因归结到已知.这种推理的形式称为分析法，也可以叫做逆证法.

例7.(★★★)求证：\//5+vG+273+V/5-V1+2/3+73-1

【解】：

证等证等式两边都是正数，.,・只需证明

(J73+，1+2后+1底-N\+2若¥=(V2,,/V3+73-1)2.

_________________=2(/5+73-1)

(*)式左边=275+2/(6左-(,1+22)2=2(75+74-273)(*)式右边=2(石+73-1).

(*)式左边=(*)式右边.

(*)式成立，从而原等式成立.

例8.(★★★)已知a+6+c=晨'+=1,求证：a,b,c中至少有一个等于1.

【解】：

证欲证a,6,c中至少有一个等于1,只需证明(a-1)(6-l)(c-1)=0,

即证abc-(ai+6c+ca)+(a+6+c)-l=O,

即证abc-(ab+be+ca)+(a+b+c)=I.

因为已知a+b+c=1,所以只需证明abc=ab+be+ca.

即证l=a-'+b-'+c-'.

这恰好是已知条件中的第二式.

由于最后一式成立，所以(a-l)(b-l)(c-l)=0成立，即a,b,c中至少有一

个等于1.

例9.(★★★)已知，a-*+Vb-x-Vc-x=0,求证：

(a+b+c++b+c-x)=4(ab+be+ca)

【解】:

证要证结论等式成立，只需证明

(a+6+c)2+2(a+6+c)%-3x2=4(+be+ca),

即证a2+62+c2-lab-2bc-2ca+2(a+6+c)x-3x2=0,

,另一方面，由已知得Va-X+Vb-x=Vc-x,

两边平方,整理得4(a-x)(b-x)=(c-a-6+劣尸，

展开整理，得a2+52+c2-2a6-2be-2ca+2(a+6+c)x-3x2=0.

【题注】：本题采用的方法称为分析综合法.分析法是执果索因，综合法是由因导果.在解数学

题时，往往兼用这两种思维方法，从分析法中得到启示，用综合法严谨地表达解题过程.

x_ad+be

例10.(★★★)证明：若a,b,c,d,x,y>0,且xy=ac+bd,y-ab+cd,贝!J

ab%+cdx______bey

a+b+xc+d+xa+d+y6+c+y

【解】：

证将要证等式通分，只需证明

%[a6(c+C+%)+a/(a+b+%)]_y[M(6+c+y)+6c(a+d+y)]①

(a+b+x)(c+d+x)-(a+d+y)(b+c+y)°

注意到xy=ac+bd,%(ab+cd)=y(ad+be),

所以，有

而(c+d+%)+cd(a+6+4)=而(c+d)+a/(a+b)+ady+bey

=aJ(6+c+y)+6c(a+J+y).②

由②知，等式①等价于

x(a+J+y)(6+c+y)=y(a+/>+c)(c+J+x).③

因此，我们只需证明③式成立.

事实上，

左边二%(a+d)(6+c)+xy(a+b+c+d)+xy2=4(ac+配)+

(ad+6c)*y+xy(a+b+c+d)+xy2=y[/+%(Q+b+c+d)+(a

+b)(c+d)]=y(a+b+x)(c+d+x)=③式右边.

・•・③式成立，从而原等式成立.

5.比较法

比较法有两种基本形式：

(1)求差比较法：要证A=B,只需证A—B=0；

A

(2)求商比较法：要证A=B(BWO),只需证一二1.

B

对于条件恒等式的证明比较奏效.

a-bb-cc-a

例11.(★★★)已知""七万"""7""77£求证:

(1+%)(1+y)(l+z)=(1-%)(1-y)(l-z)

【评述】：本题可用两种比较分别证出.

【解】：

(l+x)(l+y)(l+z)-(l-%)(l-y)(l-z)

=a+y)(i+")(iy)(i-")(一•^)

a+bb+cc+aa+bb+cc+a

_2Q.2b.2c2b.2c.2a_0

-G+66+CC+Qa+66+cc+a'

.­.原式成立.

证法二求商比较法

i2ai2b.2c

1+%=---v,1+y=z---,r+z=

a+67b+cc+a'

.2a[2ci2a

-z=-，

1-x=a--+-br,1」Y=67-+--c11一c+a

2a2b2c

(1+4)(l+y)(l+z)_a+bb+cc+a

1.

(l-4)(l-y)(l-z)262c2a

a+bb+cc+a

原等式成立.

6.换元法

在等式的恒等变形中，适当地进行换元可以达到化简计算的目的.

2

例12.(★★★★)若X,y为实数，且八面-J)(l-3，°>c>0，

求证:，(--c).+y2+，(.+cl+，=2a

【解】：

证令G2-C2=62(b>0),#=©,,二历，则已知条件变为U2+V2=1,62+C2

a,a>c>0,6>0.于是

A/(%-c)2+y2=5/(au-c)2+62v2=d/7-；c2+62v2

=J(I)2+J)-2以〃+庐了

22222

-x/cu2_2acu+c+6(u+v)

同理可得，(++c)?+尸=Icu+aI.

=Vc2u-2acu+c2+62u2+v2=1,/.-

=vc2u2_2acu+a2=Icu-aI.cu-a<c-a<O,cu+a>a-c>0,

V(x-c)2+y2+v(A;+c)2+y2=\cu-a\+Icu+aI

=一(ciz-a)+(cu+a)=2a.

7.设参法

在等式的字母之间引入一个新的字母，使原来的老字母与新字母之间产生一种比较明显

的等量关系，借助这种新的等量关系可证明要证的等式，这种方法称为设参法.这种方

法主要用来证明条件恒等式，在题目条件中出现连等、连比关系时，常引入比值作参数.

设三_色%、+1y2+.2_(.+y)2+(a+b)?

例13.(★★★)y—b,求证：x+ay+b~*+y+a+b

【解】：

证设比值为参数鼠即设半二号=上则，=必，。二加.

七%(你产+(")21+/蚊+力),1+川(%+»+(乩+6>(…兴八及)

+

左边一yk+bky+b~~y+6y+6-yk+y+bk+b-(及+l)(y+6)

(-i)(j+/)a+i)(j+/)

y+b~y+b

8.构造法

构造一个方程、函数(多项式)、一个图形等，利用方程、函数、图形的性质证明等式的

方法称为构造法.

111

例14.(★★★★)已知非零实数a,b,c满足必(<;-。)2=40<：(6-<:)(0-6)求证：",了，T成等差数列.

【解】：

证只需证明：‘"+」•二弓.

acb

若6-c=0,则c-a=0,从而a=b=c,结论成立.

若6-c关0,则已知条件化为

△=[6(c-a)]2-4[a(6-c)]*[c(a-6)]=0,所以，关于x的一兀二次方程.

a(6-c)x2+6(c-a)x+c(a-6)=0(*)

有相等的实根，

注意到a(6-c)+6(c-a)+c(a-b)=0,

所以，方程(*)有孙=1的根，由韦达定理，另一个根为犯=:臣当.所以

勺一曾=1„211

ad)=~b=^+7-

<=>ac-be=ab-ac,11

Q2ac=b(a+c)A。，石二成等差数列•

例15.(★★★★)设a,b,c是互不相等的实数，证明

_____be_____ac__________ab_______l

(a-i)(a-c)+(6-a)(6-c)+(c-a)(c-b)~

【评述】：一般地，我们有如下定理：对于一个n次方程

n

/(%)=aQx++…+an^x+an=。(的公。)如果f(x)=0有n+1个不同的根，则f(X)恒等于0.

上述定理对于证明恒等式是非常有用的.

【解】：

证构造关于④的二次多项式

\_(--6)(4-c),(--。)(%-c)(--a)(人-6)

/X-(a-6)(a-c)(6-a)(6-c)(c-a)(c-6)

则/(a)=/(6)=/(c)=1.

/.二次方程/(%)-1=0有三个不同的根Q,6,c.

,从而/(%)-1=0是恒等式,即对任何实数”有/(化)三L

八0)=1即为要证的恒等式.

@练习题

1.(★★★)已知a+6+c一°,求证：a2+62x+c2=(a+6+c)2

提示:!+++!=0O«6+6c+ca=0.

【解】：

a______bx_______________a?______玫____

2.(★★★)求证：％-。+(%-。)(4一6)一(。-6)(%-。)+(6-。)(”-6)

+0=44ax-ab+bxax-ah+bx

［解］：提不：左边=(x-a)(xb),右边〜a)(x-6*

3.(★★★)已知x+y+z+u=0,求证：x2+y3+z3+u=3(xyz+yzu+zux+wey)

提示：由％