2024年高考数学第一轮复习讲义第六章培优课6.4　数列中的构造问题(学生版+解析)

§6.4数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型命题点1an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)例1(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于()A．22023－1 B．42023－1C．22023＋1 D．42023＋1听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知数列{an}的首项a1＝1，且eq\f(1,an＋1)＝eq\f(3,an)＋2，则数列{an}的通项公式为__________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)例2已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)例3(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为()A．an＝(2n＋1)·3n B．an＝(n－1)·2nC．an＝(2n－1)·3n D．an＝(n＋1)·2n听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华形式构造方法an＋1＝pan＋q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn两边同除以qn＋1，构造新的数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,qn)))跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于()A．n·2n－1 B．n·2nC．(n－1)·2n D．(n＋1)·2n(2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为Sn，则a2023(S2023＋2023)的值为()A．22023－2 B．22023－1C．2 D．1(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.题型二相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)例4(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于()A．47 B．48C．49 D．410听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．则数列{an}的通项公式为an＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．跟踪训练2若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.题型三倒数为特殊数列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(形如an＋1＝\f(pan,ran＋s)型))例5(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,4an＋1)(n∈N*)，则满足an>eq\f(1,37)的n的最大取值为()A．7B．8C．9D．10听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)数列{an}满足an＋1＝eq\f(an,1＋2an)(n∈N*)，a1＝1，则下列结论不正确的是()A.eq\f(2,a10)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a17) B.是等比数列C．(2n－1)an＝1 D．3a5a17＝a49听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华两边同时取倒数转化为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出eq\f(1,an)的表达式，再求an.跟踪训练3已知函数f(x)＝eq\f(x,3x＋1)，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________．§6.4数列中的构造问题数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型命题点1an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)例1(1)数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则a2024等于()A．22023－1 B．42023－1C．22023＋1 D．42023＋1答案B解析∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＋1＝4n－1.∴an＝4n－1－1，∴a2024＝42023－1.(2)已知数列{an}的首项a1＝1，且eq\f(1,an＋1)＝eq\f(3,an)＋2，则数列{an}的通项公式为__________．答案an＝eq\f(1,2·3n－1－1)解析∵eq\f(1,an＋1)＝eq\f(3,an)＋2，等式两边同时加1整理得eq\f(1,an＋1)＋1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))，又∵a1＝1，∴eq\f(1,a1)＋1＝2，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))是首项为2，公比为3的等比数列．∴eq\f(1,an)＋1＝2·3n－1，∴an＝eq\f(1,2·3n－1－1).命题点2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)例2已知数列{an}满足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求数列{an}的通项公式．解∵an＋1＝2an－n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，∴eq\f(an＋1－n＋1,an－n)＝2，∴数列{an－n}是以a1－1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an－n＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋n.命题点3an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)例3(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.则数列{an}的通项公式为()A．an＝(2n＋1)·3n B．an＝(n－1)·2nC．an＝(2n－1)·3n D．an＝(n＋1)·2n答案C解析由an＋1＝3an＋2·3n＋1得eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(an,3n)＋eq\f(2·3n＋1,3n＋1)，∴eq\f(an＋1,3n＋1)－eq\f(an,3n)＝2，即数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,3n)))是首项为1，公差为2的等差数列，∴eq\f(an,3n)＝2n－1，故an＝(2n－1)·3n.(2)在数列{an}中，a1＝1，且满足an＋1＝6an＋3n，则an＝________.答案eq\f(6n,3)－3n－1解析将已知an＋1＝6an＋3n的两边同乘eq\f(1,3n＋1)，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝2·eq\f(an,3n)＋eq\f(1,3)，令bn＝eq\f(an,3n)，则bn＋1＝2bn＋eq\f(1,3)，利用命题点1的方法知bn＝eq\f(2n,3)－eq\f(1,3)，则an＝eq\f(6n,3)－3n－1.思维升华形式构造方法an＋1＝pan＋q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn两边同除以qn＋1，构造新的数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,qn)))跟踪训练1(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.则数列{an}的通项公式an等于()A．n·2n－1 B．n·2nC．(n－1)·2n D．(n＋1)·2n答案A解析由an＋1＝2an＋2n得eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(an,2n－1)＋1，设bn＝eq\f(an,2n－1)，则bn＋1＝bn＋1，又b1＝1，∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．∴bn＝n，∴an＝n·2n－1.(2)(2023·黄山模拟)已知数列{an}满足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，设eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为Sn，则a2023(S2023＋2023)的值为()A．22023－2 B．22023－1C．2 D．1答案C解析(2＋an)(1－an＋1)＝2，则an＋1＝eq\f(an,an＋2)，即eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2,an)＋1，得eq\f(1,an＋1)＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))是以2为首项，2为公比的等比数列，eq\f(1,an)＋1＝2n，eq\f(1,an)＝2n－1，an＝eq\f(1,2n－1)，S2023＋2023＝2＋22＋…＋22023＝22024－2，∴a2023(S2023＋2023)＝2.(3)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋n，a1＝2，则an＝________.答案2n＋1－n－1解析令an＋1＋x(n＋1)＋y＝2(an＋xn＋y)，即an＋1＝2an＋xn＋y－x，与原等式比较得，x＝y＝1，所以eq\f(an＋1＋n＋1＋1,an＋n＋1)＝2，所以数列{an＋n＋1}是以a1＋1＋1＝4为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＋1＝4×2n－1，即an＝2n＋1－n－1.题型二相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)例4(1)已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10等于()A．47 B．48C．49 D．410答案C解析由题意得a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即eq\f(an＋an－1,an－1＋an－2)＝4(n≥3)，所以数列{an＋an＋1}是首项为4，公比为4的等比数列，所以a9＋a10＝49.(2)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．则数列{an}的通项公式为an＝________.答案eq\f(3n－－1n,4)解析方法一因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，所以eq\f(bn,bn－1)＝eq\f(an＋1＋an,an＋an－1)＝eq\f(3an＋an－1,an＋an－1)＝3，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是以首项为3，公比为3的等比数列．所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n，从而eq\f(an＋1,3n＋1)＋eq\f(1,3)·eq\f(an,3n)＝eq\f(1,3)，不妨令cn＝eq\f(an,3n)，即cn＋1＋eq\f(1,3)cn＝eq\f(1,3)，故cn＋1－eq\f(1,4)＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cn－\f(1,4)))，即eq\f(cn＋1－\f(1,4),cn－\f(1,4))＝－eq\f(1,3)，又因为c1－eq\f(1,4)＝eq\f(a1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn－\f(1,4)))是首项为eq\f(1,12)，公比为－eq\f(1,3)的等比数列，故cn－eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))n－1＝eq\f(an,3n)－eq\f(1,4)，从而an＝eq\f(3n－－1n,4).方法二因为方程x2＝2x＋3的两根为－1,3，可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，解得c1＝eq\f(1,4)，c2＝eq\f(3,4)，所以an＝eq\f(3n－－1n,4).思维升华可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．跟踪训练2若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝________.答案3n－1解析f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝3n－1.题型三倒数为特殊数列eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(形如an＋1＝\f(pan,ran＋s)型))例5(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,4an＋1)(n∈N*)，则满足an>eq\f(1,37)的n的最大取值为()A．7B．8C．9D．10答案C解析因为an＋1＝eq\f(an,4an＋1)，所以eq\f(1,an＋1)＝4＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝4，又eq\f(1,a1)＝1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，4为公差的等差数列．所以eq\f(1,an)＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝eq\f(1,4n－3)，由an>eq\f(1,37)，即eq\f(1,4n－3)>eq\f(1,37)，即0<4n－3<37，解得eq\f(3,4)<n<10，因为n为正整数，所以n的最大取值为9.(2)数列{an}满足an＋1＝eq\f(an,1＋2an)(n∈N*)，a1＝1，则下列结论不正确的是()A.eq\f(2,a10)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a17) B.是等比数列C．(2n－1)an＝1 D．3a5a17＝a49答案D解析由an＋1＝eq\f(an,1＋2an)，可得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋2an,an)＝eq\f(1,an)＋2，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝2，且eq\f(1,a1)＝1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，且该数列的首项为1，公差为2，所以eq\f(1,an)＝1＋2(n－1)＝2n－1，则(2n－1)an＝1，故C正确；＝22＝4，所以数列是等比数列，故B正确；由等差中项的性质可得eq\f(2,a10)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a17)，故A正确；由上可知an＝eq\f(1,2n－1)，则3a5a17＝3×eq\f(1,2×5－1)×eq\f(1,2×17－1)＝eq\f(1,99)，a49＝eq\f(1,2×49－1)＝eq\f(1,97)，所以3a5a17≠a49，故D不正确．思维升华两边同时取倒数转化为eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型，求出eq\f(1,an)的表达式，再求an.跟踪训练3已知函数f(x)＝eq\f(x,3x＋1)，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________．答案an＝eq\f(1,3n－2)(n∈N*)解析由已知得，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,a1)＝1，公差为d＝3的等差数列，∴eq\f(1,an)＝1＋(n－1)×3＝3n－2.故an＝eq\f(1,3n－2)(n∈N*)．课时精练1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a4的值为()A．15B．23C．32D．42答案B解析因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝3·2n－1，所以an＝3·2n－1－1，a4＝23.2．在数列{an}中，a1＝5，且满足eq\f(an＋1,2n－5)－2＝eq\f(an,2n－7)，则数列{an}的通项公式为()A．2n－3 B．2n－7C．(2n－3)(2n－7) D．2n－5答案C解析因为eq\f(an＋1,2n－5)－2＝eq\f(an,2n－7)，所以eq\f(an＋1,2n－5)－eq\f(an,2n－7)＝2，又eq\f(a1,2－7)＝－1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n－7)))是以－1为首项，公差为2的等差数列，所以eq\f(an,2n－7)＝－1＋2(n－1)＝2n－3，所以an＝(2n－3)(2n－7)．3．已知数列{an}满足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－n B．an＝2n＋nC．an＝3n－1 D．an＝3n＋1答案A解析由题设，an＋1＋(n＋1)＝2(an＋n)，而a1＋1＝2，∴{an＋n}是首项、公比均为2的等比数列，故an＋n＝2n，即an＝2n－n.4．已知数列{an}满足a2＝eq\f(1,4)，an－an＋1＝3anan＋1，则数列的通项公式an等于()A.eq\f(1,3n－2) B.eq\f(1,3n＋2)C．3n－2 D．3n＋2答案A解析∵an－an＋1＝3anan＋1，a2＝eq\f(1,4)，∴a1－a2＝3a1a2，即a1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)a1，解得a1＝1.由题意知an≠0，由an－an＋1＝3anan＋1得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3，又eq\f(1,a1)＝1，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，3为公差的等差数列，∴eq\f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝eq\f(1,3n－2).5．在数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝aeq\o\al(2,n)，则an等于()A．2n－1 B.3n－1C． D．答案D解析由a1＝3，an＋1＝aeq\o\al(2,n)知an>0，对an＋1＝aeq\o\al(2,n)两边取以3为底的对数得，log3an＋1＝2log3an，则数列{log3an}是以log3a1＝1为首项，2为公比的等比数列，则log3an＝1·2n－1＝2n－1，即an＝.6．设数列{an}满足a1＝1，an＝－an－1＋2n(n≥2)，则数列的通项公式an等于()A.eq\f(1,3)·2n＋eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)·2n＋eq\f(1,3)·(－1)nC.eq\f(2n＋1,3)＋eq\f(1,3) D.eq\f(2n＋1,3)＋eq\f(1,3)·(－1)n答案D解析∵an－1＋an＝2n，两边同时除以2n得，eq\f(an,2n)＋eq\f(1,2)·eq\f(an－1,2n－1)＝1.令cn＝eq\f(an,2n)，则cn＝－eq\f(1,2)cn－1＋1.两边同时加上－eq\f(2,3)得cn－eq\f(2,3)＝－eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cn－1－\f(2,3))).∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cn－\f(2,3)))是以c1－eq\f(2,3)为首项，－eq\f(1,2)为公比的等比数列，∴cn－eq\f(2,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c1－\f(2,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1＝eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，∴cn＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n，∴an＝2n·cn＝eq\f(2n＋1,3)＋eq\f(1,3)·(－1)n.7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,2＋3an)(n∈N*)，则下列结论正确的有()①eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))为等差数列；②{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2n－1－3)；③{an}为递减数列；④eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝2n＋2－3n－4.A．①③ B．①④C．②③ D．③④答案D解析因为an＋1＝eq\f(an,2＋3an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(2＋3an,an)＝eq\f(2,an)＋3，所以eq\f(1,an＋1)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))，且eq\f(1,a1)＋3＝4≠0，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋3))是以4为首项，2为公比的等比数列，即eq\f(1,an)＋3＝4×2n－1，所以eq\f(1,an)＝2n＋1－3，可得an＝eq\f(1,2n＋1－3)，故①②错误；因为eq\f(1,an)＝2n＋1－3单调递增，所以an＝eq\f(1,2n＋1－3)单调递减，即{an}为递减数列，故③正确；eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n＝22×eq\f(1－2n,1－2)－3n＝2n＋2－3n－4，故④正确．8．将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1,2,3，…，2023，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于()A．2023×22020 B．2024×22021C．2023×22021 D．2024×22022答案B解析记第n行的第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，∴eq\f(an,2n－2)＝eq\f(an－1,2n－3)＋1，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n－2)))是以eq\f(a1,2－1)＝2为首项，1为公差的等差数列．∴eq\f(an,2n－2)＝2＋(n－1)×1＝n＋1，∴an＝(n＋1)×2n－2.又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2023行，∴M＝a2023＝2024×22021.9．已知数列{an}满足a1＝eq\f(3,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，若cn＝eq\f(3n,an)，则cn＝____________.答案(n＋1)3n－1解析因为a1＝eq\f(3,2)，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋3,3an)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,an)，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,3)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\