2024年高中数学同步高分突破讲义(人教A版2019)2.4圆与方程-(选择性必修第一册)(学生版+解析)

圆与方程1圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2圆的方程(1)标准方程x−a2+y−b2=(2)一般方程x(3)求圆方程的方法(i)待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；(ii)直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3点与圆的位置关系(1)设点到圆心的距离为d，圆半径为r，a.点在圆内⇔d<r；b.点在圆上⇔d=r；c.点在圆外⇔d>r.(2)给定点M(x0M在圆C内⇔xM在圆C上⇔xM在圆C外⇔x(3)某点M到圆⊙O上点N的距离若点M在圆内，则MNmin=M若点M在圆外，则MNmin=M4直线、圆的位置关系(1)三种位置关系(2)根据d与r的关系判断(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径.)相离⇔没有公共点⇔d>r;相切⇔只有一个公共点⇔d=r;相交⇔有两个公共点⇔d<r.(3)联立方程求判别式的方法联立直线方程与圆的方程Ax+By+C=0x当Δ>0时，直线与圆有2当Δ=0时，直线与圆只有1当Δ<0(4)圆上一点到圆外一直线的距离若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PEmin=P5弦长弦长公式：AB=2r2−d2(r是圆的半径，利用垂径定理及勾股定理可以得到.【题型一】求圆的方程【典题1】若圆C过点(0,−1),(0,5)，且圆心到直线x−y−2=0的距离为22，求圆C的标准方程.【典题2】已知A(−1,0)，B(3,2)，C(0,−2)，则过这三点的圆方程为.巩固练习1(★)已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y22(★)圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为. 3(★)过点A(1,1)，B(−3,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的半径是.【题型二】点与圆的位置关系【典题1】若点P的坐标是(5cosθ,4sinθ)，圆C的方程为x2+y2=25A．点P在圆C内 B．点P在圆C上 C．点P在圆C内或圆C上 D．点P在圆C上或圆C外【典题2】若实数x,y满足x2+y2+4x−2y−4=0巩固练习1(★)若点M(m,m−1)在圆C：x2+y2−2x+4y+1=02(★)在圆x－22+y+32=23(★★)在平面内，一只蚂蚁从点A(－2,－3)出发，爬到y轴后又爬到圆x+32+(y−2)2=2上，则它爬到的最短路程是4(★★)已知点P(x,y)在圆x2+y2=15(★★)已知点P(3,a)，若圆O：x2+y2=4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O6(★★)设点M(x0,1),若圆O:x2+y2=17(★★)如果圆x−a2+y−a2=8上总存在到原点的距离为28(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知点P0,1在圆C：x2+y2+2mx−2y+m2−4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2【题型三】直线与圆的位置关系【典题1】若圆C：x2+y2−2x+2y=2与直线x−y+a=0【典题2】求过点P(−1,4)，圆x−22+y−3【典题3】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆x−12+y2=1【典题4】已知圆C：(x−3)2+(y−3)2=3，过直线3x−y−6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，【典题5】直线l：x−2y+2=0，动直线l1：ax−y=0，动直线l2：x+ay+2a−4=0．设直线l与两坐标轴分别交于A,B两点，动直线l1与l2交于点P，则巩固练习1(★)点M(x0,y0A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定2(★)已知过点P(2,2)的直线l与圆x−12+yA．1 B．12 C．2 D．3(★★)【多选题】已知点P在圆x−52+y−5A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|=32 D．当∠PBA最大时，4(★★)已知圆C：x2+y2−2y=0，P为直线l：x−y−2=0上任一点，过点P作圆C的切线PT5(★★)过直线x+y−22=0上的点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两切线的夹角为60°6(★★)直线x+y+a=0与半圆y=−1−x2有两个交点,则a的值是7(★★)若圆x2+y2−2x−2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为22，则8(★★★)已知P(x,y)是圆x−12+y−22=r2(r>0)上任意一点，若9(★★★)已知⊙C：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB10(★★★)若P为直线x−y+4=0上一个动点，从点P引圆C：x2+y2−4x=0的两条切线PM,PN(切点为【题型四】弦长问题【典题1】已知圆的方程为x−12+y−12=9，P(2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦与最短弦分别是AC【典题2】设O为原点，直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于A,B两点，那△ABO巩固练习1(★)直线x−y+3=0被圆x+22+y−22(★★)已知圆心在x轴上，半径为5的圆位于y轴右侧，且截直线x+2y=0所得弦的长为2，则圆的方程为．3(★★)已知直线l：y=m(x−2)+2与圆C：x2+y2=9交于A、B4(★★)已知圆C：x2+y2−4x−2y+1=0及直线l：y=kx−k+2(k∈R)，设直线l与圆C相交所得的最长弦长为MN圆与方程1圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.2圆的方程(1)标准方程x−a2+y−b2=(2)一般方程x(3)求圆方程的方法(i)待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；(ii)直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.3点与圆的位置关系(1)设点到圆心的距离为d，圆半径为r，a.点在圆内⇔d<r；b.点在圆上⇔d=r；c.点在圆外⇔d>r.(2)给定点M(x0M在圆C内⇔xM在圆C上⇔xM在圆C外⇔x(3)某点M到圆⊙O上点N的距离若点M在圆内，则MNmin=M若点M在圆外，则MNmin=M4直线、圆的位置关系(1)三种位置关系(2)根据d与r的关系判断(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径.)相离⇔没有公共点⇔d>r;相切⇔只有一个公共点⇔d=r;相交⇔有两个公共点⇔d<r.(3)联立方程求判别式的方法联立直线方程与圆的方程Ax+By+C=0x当Δ>0时，直线与圆有2当Δ=0时，直线与圆只有1当Δ<0(4)圆上一点到圆外一直线的距离若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r为圆半径，则PEmin=P5弦长弦长公式：AB=2r2−d2(r是圆的半径，利用垂径定理及勾股定理可以得到.【题型一】求圆的方程【典题1】若圆C过点(0,−1),(0,5)，且圆心到直线x−y−2=0的距离为22，求圆【解析】方法一几何法∵圆C过点0,−1,0,5，∴圆心的纵坐标为则设圆心为(a,2)，则a−42=22，∴a=0∴当a=0时，r=3；当a=8时，r=64+9∴圆C的标准方程为x2+y−2方法二待定系数法设圆的方程为x−a2则a2+−1−b2=∴圆C的标准方程为x2+y−2【典题2】已知A(−1,0)，B(3,2)，C(0,−2)，则过这三点的圆方程为.【解析】方法一待定系数法设圆的一般方程为x2又由圆过A(−1,0)，B(3,2)，C(0,−2)三点，则有&1−D+F=0&13+3D+2E+F=0&4−2E+F=0，解得D=−3，E=0则圆的标准方程为x2+y方法二几何法圆心是直线AB、AC的垂直平分线的交点，(根据外心的定义)易得直线AB、AC的垂直平分线分别为y=−2x+3，y=1由y=−2x+3y=12x−3半径r=OC=3故圆的标准方程为x－3【点拨】求三角形外接圆的方程，可用待定系数法，也可以用三边的中垂线求解.待定系数法的想法简单但计算量较大.巩固练习1(★)已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x【答案】−4【解析】圆x2+y2=1设(0,0)关于直线x+y=1的对称点为(m,n)，则m2+n则点(0,0)关于直线x+y=1对称的点的坐标为(1,1)，所以圆x2+y2=1化为一般式为x2所以a=b=－2，即a+b=－4．2(★)圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为. 【答案】x−12+y−1【解析】画出圆A满足题中的条件，有两个位置，当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，得到圆心A的坐标为(1,1)，且半径|OA|=2则圆A的标准方程为：x－12当圆心A'在第三象限时，过A'作A'C'⊥x轴，又|OB'|=2，根据垂径定理得到点C'为弦OB'的中点，则|OC'|=1，由点A'在直线y=x上，得到圆心A'的坐标为(－1,－1)，且半径|OA'|=2则圆A'的标准方程为：x+12综上，满足题意的圆的方程为：x－12+y3(★)过点A(1,1)，B(−3,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的半径是.【答案】x+22【解析】设圆的标准方程为x－a2因为圆过点A(1,1),B(－3,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上，则有(1−a)2+(1−b所以圆的半径是10．【题型二】点与圆的位置关系【典题1】若点P的坐标是(5cosθ,4sinθ)，圆C的方程为x2+y2=25A．点P在圆C内 B．点P在圆C上 C．点P在圆C内或圆C上 D．点P在圆C上或圆C外【解析】∵点P的坐标是(5cosθ,4sinθ)，∴5cosθ∴点P与圆C的位置关系是点P在圆C内或圆C上，故选：C．【点拨】判定点P到圆⨀O的位置，方法有两种，①求OP，与半径r比较大小；②把点Px0,y0【典题2】若实数x,y满足x2+y2+4x−2y−4=0【解析】方法1几何法x2+y它表示一个圆心M(−2,1)，半径r=3的圆⊙M，而x表示圆上的点N(x,y)与原点O(0,0)之间的距离，(则本题就是求原点到圆上点距离的最大值)结合图形知，ON即x2+y方法2三角代换法x2+y设x=3sinα−2，y=3cosα+1，则x而−5∴14−6(2sinα+cosα)的最小值为14+6【点拨】方法1是从几何的角度入手，确定方程为圆的方程，根据两点距离公式确定x2+y2是线段ON的长度，则问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题.方法2是三角代换法，圆巩固练习1(★)若点M(m,m−1)在圆C：x2+y2−2x+4y+1=0【答案】−1,1【解析】∵点M(m,m－1)在圆C：x2∴m即m2<1，则∴m的取值范围是(－1,1)．2(★)在圆x－22+y+32=2【答案】(3,−2)【解析】∵0－22+－5+32∴圆上与点(0,－5)距离最远的点，在圆心与点(0,－5)连线上，且与点(0,－5)分别在圆心两侧令直线解析式：y=kx+b，由于直线通过点(2,－3)和(0,－5)，可得直线解析式：与圆的方程联立，可得x−22+∴交点坐标为(3,－2)和(1,－4)，其中距离点(0,－5)较大的一个点为(3,－2)3(★★)在平面内，一只蚂蚁从点A(－2,－3)出发，爬到y轴后又爬到圆x+32+(y−2)【答案】42【解析】由圆x+32+y−2A(－2,－3)关于y轴的对称点为A'(2,－3)，它爬到的最短路程是最短距离为A'4(★★)已知点P(x,y)在圆x2+y2=1【答案】2+1【解析】(x−1)2+(y−1)2∵点P(x,y)在圆x2∴(x−1)25(★★)已知点P(3,a)，若圆O：x2+y2=4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O【答案】[−33【解析】设A(x0,y0)，解得(x−32)2+(y−又线段PA的中点也在圆O上，∴两圆有公共点，∴1≤(解得：−336(★★)设点M(x0,1),若圆O:x2+y2=1【答案】−【解析】过M作⊙O切线交⊙O于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．∴若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．∵|OR|=1，∴|OM|＞2时不成立，即OM2=x02+1≤4

7(★★)如果圆x−a2+y−a2=8上总存在到原点的距离为2【答案】−3,−1【解析】圆x−a2+y−a2=8半径r=22，圆心若由圆x−a2+y−a∴22∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或−3≤a≤−1．∴实数a的取值范围是[−3，−1]∪[1，3]．8(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知点P0,1在圆C：x2+y2+2mx−2y+m2−4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC【答案】4【解析】点P(0,1)在圆C：x2∴1－2+m解得0<m<4；又圆C化为标准方程是x+m2+y∵△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，∴PB=2PA，设直线l的方程为：y=kx+1．圆心C到直线l的距离d=|−km−1+1|∴4m−d2=3∴9−4m=当m=49时，四点共线没有三角形，∴实数m的取值范围为(【题型三】直线与圆的位置关系【典题1】若圆C：x2+y2−2x+2y=2与直线x−y+a=0【解析】方法一化圆C的一般方程为标准方程，得x−12则圆心坐标为C(1,−1)，半径r=2，若直线与圆C有公共点，则圆心(1,−1)到直线的距离d小于等于半径r，则d=|1+1+a|2≤2方法二由x−y+a=0x2+其判别式∆=4a直线与圆有公共点，则∆≥0，解得−22【点拨】判定直线与圆的位置共线有两种方法，①判定圆心到直线的距离与半径的大小半径；②联立方程，看判别式.【典题2】求过点P(−1,4)，圆x−22+y−3【解析】方法1当过点P的直线斜率不存在时，方程为x=−1故可设切线l为y=依题意得圆(2,3)到直线l的距离等于半径1，故|3k+1|1+k2故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．方法2设所求直线的方程为Ax+1+By−4

∵直线l与圆相切，∴圆心(2,3)到直线l的距离等于半径1，故|3A−B|

整理，得A(4A−3B)=0，即A=0(这时B≠0)或A=3故所求直线l的方程为y=4或3x+4y−13=0．【点拨】①方法1中，设过某一点(x0,y0②方法2利用了直线系方程，过点(x0,y0【典题3】已知两点A(−1,0)、B(0,2)，若点P是圆x−12+y2=1【解析】(S△ABP以AB为底，求其最值，即求点P到直线由两点A(−1,0)、B(0,2)，∴|AB|=(−1直线AB的方程为：x−1+y由圆x−12+y2=1则圆心C到直线AB的距离d=|2−0+2|∵点P是圆x−12∴点P到直线AB的最大距离dmax=d+r；点P到直线AB的最小距离∴△ABP面积的最大值和最小值之和等于12【点拨】圆上一点P到圆外一直线l距离d与圆心O到直线l的距离d1和圆的半径r即dmin=d【典题4】已知圆C：(x−3)2+(y−3)2=3，过直线3x−y−6=0上的一点P作圆C的两条切线PA，【解析】根据题意，如图：连接AC、BC、PC，圆C的圆心(3,3)，半径cos∠(圆的切线长定理)当PC最小时，cos∠而PC的最小值为点C到直线3x−y−6=0的距离d=则cos∠APB的最小值为1−6【点拨】①本题利用了平几和三角恒等变换的知识把cos∠②求某变量的最值，可转化为另一变量的最值，这也是一种函数思想，在解析几何中就要对题目中的动点变化有足够的清晰理解.【典题5】直线l：x−2y+2=0，动直线l1：ax−y=0，动直线l2：x+ay+2a−4=0．设直线l与两坐标轴分别交于A,B两点，动直线l1与l2交于点P，则【解析】由x−2y+2=0，取y=0，得x=−2，则A(−2,0)；取x=0，得y=1，则B(0,1)，∴|AB|=5(线段AB为定值，则S△PAB的大小取决于点P到直线AB的距离ℎ方法1函数法由ax−y=0x+ay+2a−4=0得P则求点P到直线l的距离ℎ=(函数法，求其函数最值便可)易得fa=5a则15≤2∴△PAB的面积最大值为12方法2参数法由ax−y=0x+ay+2a−4=0得x=4−2aa由a=yx代入x=4−2aa2+1得x=4−2∙整理得x−22(点P的轨迹是圆，接着求点P到直线l距离的最大值，问题回到“圆上点到圆外直线的距离”模型)∵圆心(2,−1)到直线l的距离d=|2+2+2|∴P到直线l的距离的最大值为d+r=6∴△PAB的面积最大值为12方法3几何法直线l1：ax−y=0过定点O(0,0)直线l2：x+ay+2a−4=0过定点M(4,−2)∵a×1+(−1)×a=0，∴直线l1与直线l∴动直线l1与l2交于点P在以(动点P轨迹是圆，求出其方程，如方法2便可)∵OM的中点坐标为(2,−1)，|OM|=4∴动点P的轨迹方程为x−22如方法2得△PAB的面积最大值112【点拨】①方法1的函数法是最直接的想法，但运算量较大些；②本题的求解动点轨迹的方法是参数法和几何法；③几何法中，我们要清楚动点是由什么因素确定，再思考这些因素有木有什么特点.本题动点P是两动直线的交点，则我们要考虑两直线有什么特征，一般可往“定点”、“直线位置关系”的角度思考.其中关于圆的结论可以了解下：(1)动点P到两个定点A、B的夹角∠APB=π2，则动点P的轨迹是以(2)若平面四边形ABCD中有∠A+∠C=π，则四点共圆.巩固练习1(★)点M(x0,y0A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【答案】B【解析】∵点M(x0,y0∴圆心(0,0)到直线x0x+y∴直线x02(★)已知过点P(2,2)的直线l与圆x−12+yA．1 B．12 C．2 D．【答案】D【解析】设直线方程为：y=k(x－2)+2，由已知圆的圆心为(1,0)，半径为5，因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离为|k(1−2)+2|1+k2故选：D．3(★★)【多选题】已知点P在圆x−52+y−5A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|=32 D．当∠PBA最大时，【答案】ACD【解析】∵A(4,0),B(0,2)，∴过A、B的直线方程为x4+y圆x−52圆心到直线x+2y－4=0的距离d=|1×5+2×5−4|∴点P到直线AB的距离的范围为[1155−4∵1155<5，∴点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故A正确，B错误；如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大(P点位于P1时∠PBA最小，位于P2时此时|BC|=(5−0∴|PB|=|BC|2故选：ACD．4(★★)已知圆C：x2+y2−2y=0，P为直线l：x−y−2=0上任一点，过点P作圆C的切线PT【答案】142【解析】圆C：x2+y−1设圆心C到直线l：x－y－2=0的距离为d，故当圆心C到直线l上点的距离最小时，即圆心到直线的距离d，此时|PT|最小，因为d=|−1−2|2=故|PT|最小值是1425(★★)过直线x+y−22=0上的点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两切线的夹角为60°【答案】(【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：直线PA和PB为过点P的两条切线，且∠APB=60°，设P的坐标为(a,b)，连接OP,OA,OB，∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，又圆x2+y2=1，即圆心坐标为(0,0)∴OP=2AO=2BO=2，∴a2+b又P在直线x+y－22=0上，∴a+b－22=0联立①②解得：a=b=2，则P的坐标为(2，26(★★)直线x+y+a=0与半圆y=−1−x2有两个交点,则a的值是【答案】[1,2【解析】根据题意画出图形，如图所示：当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离d=r，即|a|2=1，解得：a=2当直线过点A时，直线x+y+a=0与圆有两个交点A和B，把A(－1,0)代入x+y+a=0中得：－1+a=0，解得：a=1，则直线与圆有两个交点时，a的范围是[1,2故答案为：[1,2)7(★★)若圆x2+y2−2x−2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为22，则【答案】2−3,2+【解析】由圆x2+y则圆心为(1,1)，半径为2，圆上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离为22则圆心到直线的距离应不大于等于22∴|1−k|1+k2≤由tan15°=tan(45°－30°)=tan45°−tan30°tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°8(★★★)已知P(x,y)是圆x−12+y−22=r2(r>0)上任意一点，若【答案】0<r≤1【解析】由题意可知此圆夹在两直线3x－4y=0和3x－4y+16=0之间时，|3x－4y|+|3x－4y+16|是定值，所以|3×1−4×2|32+9(★★★)已知⊙C：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB【答案】x+2y+1=0【解析】⊙C：x2+y则圆心C(1,1)，半径r=2．因为四边形MACB的面积S=2S要使四边形MACB面积最小，则需|CM|最小，此时CM与直线l垂直，直线CM的方程为y−1=2(x−联立y=2x−1x+2y+2=0，解得M(0,－1)．则则以CM为直径的圆的方程为x−与⊙C的方程作差可得直线AB的方程为x+2y+1=0．10(★★★)若P为直线x−y+4=0上一个动点，从点P引圆C：x2+y2−4x=0的两条切线PM,PN(切点为【答案】【解析】如图，由x2+y所以圆C的圆心为C(2,0)，半径r=2，如图所示，要使|MN|的长度最小，即要∠MCN最小，则∠MCP最小，因为tan∠MCP=|PM|r=因为|PM|=|PC所以当|PC|最小时，|MN|最小，因为|PC|min=61+1又cos∠MCP=2cos则|MN|【题型四】弦长问题【典题1】已知圆的方程为x−12+y−12=9，P(2,2)是该圆内一点，过点P