备战2024年高考数学一轮复习7.5外接球(精讲)(原卷版+解析)

7.5外接球（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一汉堡模型【例1】（2022·陕西）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱，则球表面积为___________.考点二墙角模型【例2】（2022·全国·高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（

）A．3 B．2 C． D．12．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．3．（2022·海原县）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.考点三斗笠模型【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2022·全国·高三专题练习）已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.3．（2022·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．考点四麻花模型【例4】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）

A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（

）A．12π B．13π C． D．考点五L模型【例5】（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2022·江西高三）在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（）A． B． C． D．2．（2022·四川雅安市）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为（）A． B． C． D．3．（2023·重庆九龙坡区）在三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．考点六怀表模型【例6】（2022·全国·高三专题练习）在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（

）A．60π B．45π C．30π D．20π【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，二面角是150°，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．考点七矩形模型【例7】（2022·湖北襄阳市）若矩形ABCD的面积是4，沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积最小值为（）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022.江西）在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．2．（2022·天津河）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．3．（2022·四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.考点八内切球【例8】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·江西·高三阶段练习（理））在正三棱锥中，，分别是，的中点，且，，则正三棱锥的内切球的表面积为（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（

）A． B． C． D．3.（2022黑龙江）如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为（）A． B． C． D．7.5外接球（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一汉堡模型【例1】（2022·陕西）已知底面边长为1，侧棱长为则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知，正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，故，解得，故球的体积为：.故选：D.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理得：，，外接圆半径，又平面，三棱锥的外接球半径，则三棱锥的外接球的表面积.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因平面，平面，则，而，则，三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心，，连，则平面，取线段的中点，则球的球心在过E垂直于直线的垂面上，连，如图，则四边形是矩形，，因此，球的半径有：，所以三棱锥外接球的表面积.故选：C3．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱，则球表面积为___________.【答案】【解析】设三角形ABC和三角形的外心分别为D，E．可知其外接球的球心O是线段DE的中点，连结OC，CD，设外接球的半径为R，三角形ABC的外接圆的半径r，可得，由正弦定理得，，而在三角形OCD中，可知，即，因此三棱柱外接球的表面积为．故答案为：考点二墙角模型【例2】（2022·全国·高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】球O的半径为，∴体积．故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】D【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．由题意，易知，得，设，得，解得，所以四棱锥P-ABCD的体积为．故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径，∴该球的体积为.故选：B3．（2022·海原县）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.【答案】【解析】平面，平面，，，又，，，，，则可将三棱锥放入如下图所示的长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，球的半径，球的表面积.故答案为：.考点三斗笠模型【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上是边长为的正三角形，则球的表面积等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，是边长为的正三角形，如图所示：取BC的中点D，点H为底面的中心，所以设外接球的半径为R，所以，利用勾股定理可得，解得则球的表面积为故选：B.【一隅三反】1（2022·全国·高三专题练习）已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为，因母线与轴的夹角为60°，可得圆台高为1，则；设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为，易得圆台两底面在球心同侧，则，且，解得，则该圆台外接球的表面积为.故选：C.2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】因为，所以正三棱锥外接球半径，正三棱锥如图所示，设外接球圆心为，过向底面作垂线垂足为，因为是正三棱锥，所以是的中心，所以，,又因为，所以，所以，令，解得所以在递增，在递减，故当时，取最大值，.故答案为：.3．（2022·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图，设，则，而，因为PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，假设为O点，则，因为,所以，又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，所以,在三角形ODC中，由勾股定理得,即，解得，所以三棱锥P－ABC外接球的体积为.故选：C考点四麻花模型【例4】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，设长方体的长、宽、高分别为，则，，，解得，，．所以三棱锥外接球的半径．三棱锥外接球的体积．故选：C【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】三棱锥中，，，，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（

）A．12π B．13π C． D．【答案】B【解析】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面，，所以，又，，，又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角，所以，所以，因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为，则，解得，所以外接球的直径为，，球表面积为．故选：B．考点五L模型【例5】（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示：其中D为AB的中点，O为外接圆的圆心，，∴O在CD上，且，．，D为AB的中点，，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAB．又DA，DB，平面PAB，，，．在中，，D为AB的中点，．．∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，∴该三棱锥外接球的表面积．故选：B【一隅三反】1（2022·江西高三）在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】中，，所以，，设是中点，则是外心，又是等边三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱锥外接球的球心，所以球半径，球体积为．故选：C．2．（2022·四川雅安市）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：因，则，有平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1，在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径，因平面平面，则，而，即有四边形OO1EO2是正方形，则，中，，则，所求外接球的表面积.故选：B3．（2023·重庆九龙坡区）在三棱锥中，平面平面，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，取中点，中点，连接，是等边三角形，则因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，过作平面，则，因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，连接，设外接球半径为，由已知，，，，在直角梯形中，，，，所以球表面积为．故选：C．考点六怀表模型【例6】（2022·全国·高三专题练习）在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（

）A．60π B．45π C．30π D．20π【答案】A【解析】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，取的中点为，连接，则.设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，则在上，在上，且,且平面，平面.平面平面，平面平面，平面，平面，，同理四边形为平行四边形平面，平面，即四边形为矩形.外接球半径外接球的表面积为故选：A.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，二面角是150°，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图，作平面ABC，垂足为E，连接BE，记，连接PD.由题意可得D为AC的中点.在中，，D为AC的中点，因为，所以，则.因为二面角是150°，所以，所以，.因为是边长为的等边三角形，且D为AC的中点，所以.设为外接圆的圆心，则.设三棱锥外接球的球心为O，因为，所以O在平面ABC下方，连接，OB，OP，作，垂足为H，则，.设三棱锥外接球的半径为，，即，解得，故三棱锥外接球的表面积是.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，为直角三角形，又，所以，因为为正三角形，所以，连接，为的中点，E为中点，则，所以为二面角的平面角所以．因为为直角三角形，E为中点，所以点为的外接圆的圆心，设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，，所以,，∴．所以，故选：C.考点七矩形模型【例7】（2022·湖北襄阳市）若矩形ABCD的面积是4，沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为球心到四个顶点的距两相等,所以球心在对角线上,且半径为，设矩形的的长力x,宽为y则，所以，又，由基本不等式知:，当且仅当，即时，等号成立，，故选：B【一隅三反】1．（2022.江西）在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在翻折过程中，始终不变，所以的中点到，，，四点的距离始终相等，三棱锥外接球的直径为，所以外接球的表面积为，故选：D2．（2022·天津河）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中点，连接、，如下图所示：由题意，因为，为的中点，所以，，所以，为四面体的外接球的球心，且球的半径为，因此，四面体的外接球的表面积为.故选：A.3．（2022·四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.【答案】【解析】由题意可知：球为鳖臑的外接球，面，面，，，又，面，，面，又面，；取中点