新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业24棱柱棱锥棱台的表面积和体积新人教A版必修第二册

课时分层作业(二十四)棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、选择题1．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则长方体的体积与表面积分别为()A．6，22 B．3，22C．6，11 D．3，112．若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为()A．26 B．28C．30 D．323．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是()A．13 B．C．23 D．4．如图，已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，则正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是()A．22 B．C．3 D．25．(多选)(2024·哈尔滨九中月考)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23，则下列叙述正确的是()A．正三棱锥高为3B．正三棱锥的斜高为39C．正三棱锥的体积为27D．正三棱锥的侧面积为9二、填空题6．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则六棱锥的侧面积为________．7．已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰好等于两底面面积之和，则该正四棱台的高为________．8．已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．三、解答题9．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积．10．已知长方体两两相邻的三个面的面积分别为x，y，z，则长方体的体积为()A．xyz B．xyzC．x2+11．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积()A．与点E，F的位置有关B．与点Q的位置有关C．与点E，F，Q的位置都有关D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值12．(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体，且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是()A．侧面积之比为1∶4B．侧面积之比为1∶8C．体积之比为1∶27D．体积之比为1∶2613．我国有一种容器叫做方斗，方斗的形态是一个上大下小的正四棱台，假如一个方斗的高为3分米(即该方斗上、下底面的距离为3分米)，上底边长为6分米，下底边长为4分米，则此方斗外表面的侧面积为________平方分米．(容器厚度忽视不计)14．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上随意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．15．有两个相同的直三棱柱，高为2a(a＞0)，底面三角形的三边长分别为3a，4a，5a．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在全部可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求实数a课时分层作业(二十四)1．A[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22．]2．B[所求棱台的体积V＝13×(4＋16＋4×16)×3．C[∵V三棱锥C-A′B′C′＝13V三棱柱ABC-A′B′C′＝1∴V四棱锥C-AA′B′B＝1－13＝24．B[设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D-A1BC1的棱长为2，表面积为4×12×2×2sin60°＝23，∴正四面体D-A1BC15．ABD[设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝12-94＝392，EF＝32×3×13＝32，故PE＝394-34＝3，故AB正确；而正三棱锥的体积为13×3×34×9＝934，侧面积为36．12[设六棱锥的高为h，斜高为h0，S底＝12×2×2×sin60°×6＝63∴13×63×h＝23，∴h＝1，h0＝2∴S侧＝12×2×2×6＝7．23[设正四棱台的高、斜高分别为h，h由题意得，4×12×(1＋2)×h′＝12＋22，解得h′＝5依据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得h2＋1-122＝568．3212[S表＝4×34×12＝V体＝13×34×12×129．解：由题图可知△A1BD是边长为2a的等边三角形，其面积为32a2故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝32a2＋3几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝V正方体ABCD-A1B1C1D1－V三棱锥A1-ABD＝a10．B[设长方体长、宽、高分别为a，b，c，则ab=x，bc=y，ca=z，∴(abc)2＝xyz，abc＝xyz，∴V长方体＝abc11．D[因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，A′到EF的距离为正方体的棱长为4，所以VA′-QEF＝VQ-A′EF＝13×12×2×4×4＝163，是定值，与点E，F，12．BD[依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26．]13．2010[方斗大致图形如图所示，设点O，O1分别为上、下两底面的中心，M，N分别为AD，A1D1的中点，则MN为等腰梯形A1D1DA的高．依据题意可知MO＝3，NO1＝2，OO1＝3，则MN＝32+3所以此方斗的侧面等腰梯形ADD1A1的高为10分米．所以此方斗外表面的侧面积为4×4+6×102＝2010(平方分米14．解：如图，连接EB，EC，AC．V四棱锥E-ABCD＝13×42×3＝∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF．∴V三棱锥F-EBC＝V三棱锥C-EFB＝12V三棱锥C-ABE＝12V三棱锥E-ABC＝12×12V四棱锥E∴多面体的体积V＝V四棱锥E-ABCD＋V三棱锥F-EBC＝16＋4＝20．15．解：由题意，知这两个直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有如下四种状况：①边长为5a，2a的面重合在一起，拼成一个四棱柱，表面积为24a2＋28②边长为4a，2a的面重合在一起，拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为24a2＋32③边