2024-2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示分层作业新人教A版选择性必修第一册

空间向量及其运算的坐标表示A级必备学问基础练1.已知平行四边形ABCD,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为()A.(1,12,-6) B.(3,7,-5)C.(-1,-12,6) D.(5,13,-3)2.已知空间中两个点A(-2,0,2),B(-1,1,2),则向量AB的模是()A.2 B.3 C.2 D.13.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为()A.30° B.60° C.120° D.150°4.已知向量a=(1,2,3),b=(0,1,2),则2a-b=()A.(2,3,4) B.(2,3,3)C.(2,5,8) D.(2,4,6)5.(多选题)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC,则下列结论正确的是()A.若|c|=3,且c∥BC,则c=(2,1,-2)B.a和b的夹角的余弦值为-10C.若ka+b与ka-b相互垂直,则k的值为2D.若λ(a+b)+μ(a-b)与向量(0,0,1)垂直,则λ,μ应满足λ-μ=06.(多选题)下面四个结论正确的是()A.空间向量a=(1,-1,2)关于x轴对称的向量为(1,1,-2)B.若对空间中随意一点O,有OP=16OA+13OB+C.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底D.随意向量a,b,c,满足(a·b)·c=a·(b·c)7.已知向量a=(2,0,1),b=(0,2,-1),c=(2,4,m),若向量a,b,c共面,则实数m的值为.

8.已知向量a=(2,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是.

B级关键实力提升练9.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则 ()A.点B1的坐标为(4,5,3)B.点B关于点D对称的点为(-4,-5,0)C.CA1=(4,D.点B1关于x轴对称的点为(-4,5,3)10.设O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,0,1),点P是线段AB上的一个动点,且满足AP=λAB,若OP·AB≥PA·11.已知向量a=(2,-1,2),b=(1,4,1).(1)求|2a-b|的值;(2)求向量a+2b与a-b夹角的余弦值.12.已知向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3).(1)当λa+b与3a+2b平行时,求实数λ的值;(2)当a+μb与3a+b垂直时,求实数μ的值.13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,连接A1B,B1C,A1C,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求A1(2)求向量A1C在平面ABCD参考答案学习单元3空间向量及其运算的坐标表示1.D设D(x,y,z),则AB=(2,-5,1)-(4,1,3)=(-2,-6,-2),DC=(3-x,7-y,-5-z),由题意得AB=DC,即3故顶点D的坐标为(5,13,-3).故选D.2.C因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),所以AB=(1,1,0),则|AB|=12+13.A由已知可得a·b=x+2=3,可得x=1,则|a|=2,|b|=1+1+4=所以cos<a,b>=a·因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=30°.故选A.4.A因为a=(1,2,3),所以2a=(2,4,6),则2a-b=(2-0,4-1,6-2)=(2,3,4).故选A.5.BD因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2),BC=(-2,-1,2).对于A,|BC|=3=|c|,又c∥BC,于是得c=BC=(-2,-1,2)或c=-BC=(2,1,-2),故A不正确;对于B,cos<a,b>=a·b|对于C,由ka+b与ka-b相互垂直得,(ka+b)·(ka-b)=k2a2-b2=2k2-5=0,解得k=±102对于D,λ(a+b)+μ(a-b)=λ(0,1,2)+μ(2,1,-2)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ).因为λ(a+b)+μ(a-b)与向量(0,0,1)垂直,所以2λ-2μ=0,即λ-μ=0,故D正确.故选BD.6.ABC对于A,空间向量a=(1,-1,2)关于x轴对称的向量为(1,1,-2),故A正确;对于B,若对空间中随意一点O,有OP=16OA+13OB+12OC对于C,{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c不共面,若m=a+c,则向量a,c,m共面,所以向量a,b,m不共面,故{a,b,m}也是空间的一个基底,故C正确;对于D,(a·b)·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,而a,c的方向不确定,所以不成立,故D错误.故选ABC.7.-1因为向量a,b,c共面,所以存在实数x,y使得c=xa+yb,即(2,4,m)=(2x,2y,x-y).所以2x=28.kk>-411且k≠32因为a=(2,1,0),b=(-1,0,2),所以a+kb=(2-k,1,2k),2a+3b=(1,2,6).因为向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,所以(a+kb)·(2a+3b)=2-k+2+12k=11k+4>0,解得k>-411当a+kb∥2a+3b时,2-k1=所以实数k的取值范围为kk>-411且k≠32.9.ABC依据题意知,点B1的坐标为(4,5,3),故选项A正确;点B1关于x轴对称的点为(4,-5,-3),故选项D错误;点B的坐标为(4,5,0),故点B关于点D对称的点为(-4,-5,0),故选项B正确;点C的坐标为(0,5,0),点A1的坐标为(4,0,3),所以CA1=(4,-5,3),故选项C正确.10.1-22,1∵O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,0,1),设P(x,y,z),∴AB=(1,-1,0).∵AP=λAB,∴(x,y-1,z-1)=(λ,-λ,0),∴x=λ,y=1-λ,∴OP=(λ,1-λ,1),PA=(-λ,λ,0),PB=(1-λ,λ-1,0),∴OP·AB=2λ-1,PA·PB=2λ∵OP·AB≥PA·PB,∴2λ-整理可得2λ2-4λ+1≤0,解得1-22≤λ≤1+2又点P是线段AB上的一个动点,且满足AP=λAB,∴0≤λ≤1,∴1-22≤λ≤111.解(1)∵a=(2,-1,2),b=(1,4,1),∴2a=(4,-2,4),2a-b=(3,-6,3),∴|2a-b|=32+(-6(2)设a+2b与a-b的夹角为θ,则cosθ=(a由题得a+2b=(4,7,4),|a+2b|=9,a-b=(1,-5,1),|a-b|=33,∴cosθ=4×1+7×(-5)+4×19×33=-272712.解(1)因为向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3),所以λa+b=(2λ-1,-3λ+5,-2λ-3),3a+2b=(4,1,-12).因为λa+b与3a+2b平行,所以2λ-14(2)因为向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3),所以a+μb=(2-μ,-3+5μ,-2-3μ),3a+b=(5,-4,-9).因为a+μb与3a+b垂直,所以5(2-μ)-4(-3+5μ)-9(-2-3μ)=0,解得μ=-20.13.解(1)由题意得,A1(4,0,3),B(4,4,0),B1(4