山东中考二模检测《数学试卷》含答案解析

山东数学中考综合模拟检测试题

学校班级.姓名成绩.

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.）

1.-2的绝对值是（）

11

A.2B.一C.——D.-2

22

2.如图，是由四个相同小正方体组成的立体图形,它的主视图是（)

3.将74200人，用科学记数法表示为（）人

A.742X102B.0.742X105C.7.42X105D.7.42X104

4.如图，h//h,点。在直线/i上，若NAOB=90°,Zl=35°,则N2的度数为（）

C.45°D.35°

5.下列计算正确的是（)

A.a2+a3=a5B.［匕/=/C.(~2ab)2=-4a2b2D.(a+6)2—a2+b2

6.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是

B.D.

”的结果是（）

m—nm—n

m-\-nm2m—n

A.--------B.------C.D.m2

nm-nn

8.“学雷锋,，活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”

三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（）

1212

A.-B.—C.-D.一

3399

9.若点A（—1,yi）,B（2,y2）,C（3,y3）在反比例函数y=9的图象上，则yi,y2,y3的大小关系是（）

x

A.y3<y2<yiB.y2<yi<y3C.yi<y3<y2D.yi<y2<y3

10.如图，在扇形AOB中/AOB=90。，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，点D在OB上，点E在OB

的延长线上，当正方形CDEF的边长为20时，则阴影部分的面积为（）

A.2兀-4B.471-8C.2兀-8D.4兀-4

11.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度

（或坡比）i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵占树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在

距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角NAED=48。（古树CD与山坡AB的剖面、点

E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：sin48°20.73,

COS8OR:0.67,tan480%1.11）

A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米

12.如图，抛物线yi=ax?+bx+c（a^O）的顶点坐标A（-1,3）,与x轴的一个交点B（-4,0）,直线

y2=mx+n（n#0）与抛物线交于A,B两点，下列结论：①2a-b=0；②abc<0；③抛物线与x轴的另一个交

点坐标是（3,0）；④方程ax?+bx+c-3=0有两个相等的实数根；⑤当时，则y2<yi.其中

正确的是（）

C.①④⑤D.②③④

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.)

13.分解因式：x2+xy=

14.在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是

，个内

~2426283(?维

15.如图，该硬币边缘镌刻正九边形每个内角的度数是

1?

16.分式方程一=---的解是x=------------

xx+1

17.AB两地相距20km,甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发,

甲先以8knVh的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离S(km)与时间t

(h)的关系如图所示，则甲出发一小时后与乙相遇.

18.如图，先有一张矩形纸片A5CD,AB=4,5c=8,点N分别在矩形的边AD,3C上，将矩形纸片

沿直线折叠，使点。落在矩形的边AO上，记为点尸，点。落在G处，连接PC,交MN于点、Q,连

接CM.下列结论:

①CQ=CD；

②四边形CWN是菱形;

③P,A重合时，MN=2卡;

④口PQM的面积S的取值范围是3WSW5.

其中正确的是（把正确结论的序号都填上）.

三、解答题（本大题共9小题，共78分）

19-12cos60++（»-3.14）。

1-x

X>-----

20.解不等式组《2,并求此不等式组整数解.

3%—7<x+1

21.如图，在平行四边形ABC。中，E、尸为对角线2D上的两点，且/区4/=/。。£.求证：BE=DF.

22.某体育用品商店购进了足球和排球共20个，一共花了1360元，进价和售价如表:

足球排球

进价（元/个）8050

售价（元/个）9560

（1）购进足球和排球各多少个？

（2）全部销售完后商店共获利润多少元？

23.如图，是口。的直径，CE是口。的弦，过点E作口。的切线，交CB的延长线于点G,过点3作

BFLGE于点、F,交CE的延长线于点A.

A

E

GBVO]C

(1)求证：ZABG=2ZC；(2)若GF=3，LGB=6,求口。的半径.

24.学校数学社团的同学们在学生中开展“了解校训意义”的调查活动.采取随机抽样的方式进行问卷调查.问

卷调查的结果分为A、B、。、。四类.A类表示非常了解；3类表示比较了解；C类表示基本了解；D

类表示不太了解.(要求每位同学必须选并且只能选择一项)统计数据整理如表：

类别频数频率

A20n

Bm0.3

C110.22

D40.08

(1)表中m=；n=.

(2)根据表中数据，求出3类同学数所对应的扇形圆心角为度.

(3)根据调查结果，请你估计该校1500名学生中对校训|“非常了解”人数;

(4)学校在开展了解校训意义活动中，需要从A类的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取2人参加展示活

动，求恰好选中甲乙两人的概率？(请用列表法或是树状图表示)

25.如图，一次函数>=履+匕与反比例函数y=@的图象在第一象限交于点A(4,3),与>轴的负半轴交于点

X

B,且OA-OB.

X

(2)在x轴上是否存在一点C,使得口ABC是以A3为腰的等腰三角形，若存在，求出点。的坐标；若

不存在，请说明理由.

(3)反比例函数y=@(啜*4)的图象记为曲线将C1向右平移3个单位长度，得曲线G，则G平

x

移至处所扫过的面积是.(直接写出答案)

26.探究：如图1和图2,四边形ABCD中，已知NBAD=90°,点、E、尸分别在BC、CD±,ZEAF

=45°.

(1)①如图1,若NB、NAOC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至AADG,使43与4。重合，

直接写出线段BE、。尸和之间的数量关系；

②如图2,若48、都不是直角，但满足/2+/。=180。，线段BE、。尸和E尸之间的结论是否仍然成

立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(2)拓展：如图3,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2应.点。、E均在边8C边上，S.ZDAE=

27.如图，抛物线y=-工/+法+。图象经过点C,交x轴于点A(-l,0)>B(4,0)(A点在8点左侧),

2

顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将△ABC沿直线BC对折，点A的对称点为4,试求A'的坐标；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使/BPCn/BAC?若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明

理由.

督用图

答案与解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.）

1.-2的绝对值是（）

11

A.2B.—C.----D.—2

22

【答案】A

【解析】

分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点-2到原点的距离是2,

所以-2的绝对值是2,故选A.

【解析】

【分析】

找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【详解】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左上有1个正方形.

故选：A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

3.将74200人，用科学记数法表示为（）人

A.742X102B.0.742X105C.7.42X105D.7.42X104

【答案】D

【解析】

分析】

科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,力为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时,

小数点移动了多少位，w的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，w是正数；当原数的绝

对值＜1时，”是负数.

【详解】解：将74200人，用科学记数法表示为7.42X104

故选：D.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为"X10〃的形式，其中〃为

整数，表示时关键要正确确定a的值以及w的值.

4.如图，h//h,点O在直线/i上，若乙4。8=90°,Nl=35°,则/2的度数为()

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据/1=35°,人〃/2求出/。42的度数，再由即可得出答案.

【详解】解：Z1=359,

...NOAB=N1=35°.

；OA_LOB,

：.Z2=ZOBA=900-ZOAB=55°.

故选：B.

【点睛】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关

键.

5.下列计算正确的是()

A.a2+a3-a5B.a&a4=a4C.(—2a/?)2=—4a2/?2D.(tz+Z?)2—a2+b2

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用合并同类项法则以及同底数幕的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案.

详解】解：A、/+/,无法计算，故此选项错误；

B、a®+々4=],故此选项正确;

C、（-2«Z?）2=4«2Z?2，故此选项错误；

D、（a+Z?）2=a2+2^3+32,故此选项错误；

故选B.

【点睛】考查了合并同类项以及同底数塞的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

6.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图

形的概念求解.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，故此选项错误.

故选C.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

7.化简”的结果是（

m—nm—n

m—n

m-n

【答案】A

【解析】

【分析】

分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此求解即可.

mnm(m+n)m—nm+n

x--------=

m—nm—nm—n

故选A.

【点睛】本题考查了分式的除法，要熟练掌握，分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除

式相乘.

8.“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”

三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是()

1212

A.—B.—C.-D.一

3399

【答案】A

【解析】

【分析】

画树状图(用A、B,C分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆)展示所有9种等可能的结果数,

找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】画树状图为：(用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆)

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3,

31

所以两人恰好选择同一场馆的概率=-=

93

故选A.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果九，再从中选出符

合事件A或3的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

9.若点A(—1,yi),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=。的图象上，则yi,y2,y3的大小关系是()

x

A.y3<y2<yiB.y2<yi<y3C.yi<y3<y2D.yi<y2<y3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征求出yi、y2、y3的值，比较后即可得出结论.

【详解】解：：点A(-1,yi),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=&的图象上，

X

...yi=——6=-6«,V2=—6=3,V3=—6=2,

-123

又,.,-6V2V3,

.*.yi<y3<y2.

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出yi、y2、

y3的值是解题的关键.

10.如图，在扇形AOB中NAOB=90。，正方形CDEF的顶点C是A5的中点，点D在OB上，点E在OB

的延长线上，当正方形CDEF的边长为20时，则阴影部分的面积为（

B.4K-8C.271-8D.4K-4

【答案】A

【解析】

【详解】

如图，连接。C.

是弧AB的中点,ZAOB=90°,

：.ZCOB=45°,

1/四边形CDEF是正方形，且其边长为20

ZODC=90°,CD=2y/2

.•.在RSODC中，OD=CD=2&,0C=^/(9£)2+CD2=4

457rx421厂

・・3阴影—3扇形-o/xODC--------------------5*(20)2=2兀-4,

360

故选A.

11.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度

（或坡比）i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵占树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在

距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角/AED=48°（古树CD与山坡AB的剖面、点

E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为（）（参考数据：sin48°«0.73,

cos8°^0.67,tan48F.ll)

0

A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米

【答案】C

【解析】

【分析】

CF5

如图，根据已知条件得到一=1：2.4=—,设CF=5k,AF=12k,根据勾股定理得到

AF12

AC=yJcF~+AF2=13k=26,求得AF=10,CF=24,得至!JEF=6+24=30,根据三角函数的定义即可得到结论.

【详解】

CF5

解：如图，----=1：2.4=—

AF12

.,.设CF=5k,AF=12k,

.AC=7CF2+AF2=13k=26,解得.k=2,

.•.AF=10,CF=24,

VAE=6,

.•.EF=6+24=30,

ZDEF=48°

DFDF

.•.tan48°=——=——=1.11

EF30

，DF=33.3,

••・CD=33.3-10=23.3,答：古树CD的高度约为23.3米，故选C.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角

形解决问题，属于中考常考题型.

12.如图，抛物线yi=ax?+bx+c(a^O)的顶点坐标A(-1,3),与x轴的一个交点B(-4,0),直线

y2=mx+n(n#0)与抛物线交于A,B两点，下列结论：①2a-b=0；②abc<0；③抛物线与x轴的另一个交

点坐标是（3,0）；④方程ax?+bx+c-3=0有两个相等的实数根；⑤当时，则y2<yi.其中

A.①②③B.①③⑤C.①④⑤D.②③④

【答案】C

【解析】

分析：根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a<0,由对称轴位置可得b>0,由抛物

线与y轴的交点位置可得c>0,于是可对②进行判断；根据抛物线的对称性对③进行判断；根据顶点坐标对

④进行判断；根据函数图象得当-4<x《l时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断.

详解：•••抛物线的顶点坐标A（-1,3）,

...抛物线的对称轴为直线x=-g=-1,

2a-b=0,所以①正确；

•••抛物线开口向下，

/.a<0,

b=2a<0,

1/抛物线与y轴的交点在x轴上方，

/.c>0,

.\abc>0,所以②错误；

:抛物线与x轴的一个交点为（-4,0）

而抛物线的对称轴为直线x=-1,

...抛物线与x轴的另一个交点为（2,0）,所以③错误；

•••抛物线的顶点坐标A（-1,3）,

；.x=-1时，二次函数有最大值，

方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以④正确；

..,抛物线yi=ax?+bx+c与直线y2=mx+n（n#0）交于A（-1，3）,B点（-4，0）

.•.当-4<x<-1时，y2<yi,所以⑤正确.

故选C.

点睛:本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a^O),二次项系数a决定抛物

线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项

系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)对称在y轴左；当a与b异号时即ab<0),对

称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△

决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；b2-4ac<0时,

抛物线与x轴没有交点.

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.)

13.分解因式：x2+xy=.

【答案】x(x+y).

【解析】

【分析】

将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观

察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式.

【详解】直接提取公因式x即可：x2+xy=x(x+y).

14.在2015年的体育考试中某校6名学生的体育成绩统计如图所示，这组数据的中位数是.

【答案】26

【解析】

试题分析：根据折线统计图可知6名学生的体育成绩为；24,24,26,26,26,30,所以这组数据的中位

数是26.

考点：折线统计图、中位数.

15.如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是.

【答案】140。.

【解析】

【分析】

先根据多边形内角和定理：180。•(〃—2)求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数.

【详解】解：该正九边形内角和=180°X(9—2)=1260。,

则每个内角的度数=竺2_=140°.

9

故答案为140°.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°-(«-2),比较简单，解答本题的关键是直接根据内

角和公式计算可得内角和.

12

16.分式方程一=——的解是芯=-------

xx+1

【答案】1.

【解析】

【分析】

方程两边同乘以最简公分母X(X+1),化分式方程为整式方程，解整式方程求得X的值，检验即可得分式方

程的解.

【详解】方程两边同乘以最简公分母X(X+1),得，

x+l=2x,

x=l,

经检验X=1是原分式方程的解.

故答案为1.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程是解分式方程

的关键；解分式方程一定验根.

17.AB两地相距20km,甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发,

甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离S(km)与时间t

(h)的关系如图所示，则甲出发一小时后与乙相遇.

【解析】

【分析】

根据函数图象求出甲减速后的速度和乙的速度，然后根据相遇问题的等量关系列方程求解即可.

【详解】解：由函数图象可得：甲减速后的速度为：(20—8)-(4-1)=4km/h,

乙的速度为：20+5=4km/h,

设甲出发x小时后与乙相遇，

由题意得：8+4(x-l)+4x=20,

解得：x=2,

即甲出发2小时后与乙相遇，

故答案为：2.

【点睛】本题考查了从函数图象获取信息以及一元一次方程的应用，能够根据函数图象求出甲减速后的速

度和乙的速度是解题的关键.

18.如图，先有一张矩形纸片ABCD,AB=4,点"，N分别在矩形的边AD上，将矩形纸片

沿直线折叠，使点。落在矩形的边A。上，记为点P，点。落在G处，连接PC,交MV于点Q,连

接CM.下列结论：

①CQ=CD；

②四边形CMPN是菱形；

③P,A重合时，MN=2亚;

④口的面积S的取值范围是3WSW5.

其中正确的是(把正确结论的序号都填上).

G

【答案】②③

【解析】

【分析】

先判断出四边形0VPM是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN=NP,然后根据邻边相等的平行四边

形是菱形证明，判断出②正确；假设。任G得RtQCMQ^nCMD，进而得

ZDCM=ZQCM=ZBCP=30°,这个不一定成立，判断①错误；点p与点A重合时，没BN=x,表示

出AN=NC=8-%,利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得判断出③正确；当

过。点时，求得四边形CWN的最小面积，进而得S的最小值，当P与4重合时，S的值最大，求

得最大值便可.

【详解】如图1,

图1

-,-PM//CN,

NPMN=/MNC,

•：/MNC=/PNM,

NPMN=/PNM,

PM=PN,

•：NC=NP,

:.PM=CN,

-,-MP//CN,

•••四边形CNPM是平行四边形，

,:CN=NP,

..・四边形是菱形，故②正确;

:.CP工MN,ZBCP^ZMCP,

ZMQC=ZD=90°,

,CP^CP,

若CQ=CD,则RMCMQ@CMD,

ZDCM=ZQCM=ZBCP=30°,这个不一定成立,

故①错误；

点尸与点A重合时，如图2,

BNC

图2

设BN—x,则AN—NC—S-x,

在R/口ABN中，AB~+BN~=AN2,

即4?+%2=应―%)2,

解得x=3,

.•◎=8-3=5,AC^jAB2+BC2=475>

CQ=^AC=2y/5,

QN=yjCN2-CQ1=V5，

MN=2QN=2y/5,

故③正确；

当肱V过点。时，如图3,

图3

此时，CN最短,四边形QWPN的面积最小，则S最小为S=4S菱形cMwuLxdxdnd,

当尸点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=！x5x4=5,

4

.-.4<S<5,

故④错误.

故答案为②③.

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌

握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，共78分）

（乃-）。

19.79-12cos60+[3]+3.14

【答案】6

【解析】

【分析】

根据算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幕、零指数幕的意义进行计算，最后再进行加减运算

即可得解.

【详解】解：原式=3-12x^+8+l

2

=6

【点睛】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数嘉、零指数塞，解答本题的关键是明

确它们的各自计算方法.

1-x

X>--

20.解不等式组〈2,并求此不等式组的整数解.

3x—7<%+1

【答案】不等式组的解集为：-<x<4.整数解为：1、2、3

3

【解析】

【分析】

本题利用不等式的性质，分别求出式子①，②的解集即可，在不等式组中找出整数即可.

1一%

X>------①

【详解】解：2,

3x—7<%+1②)

由①得：x>—,

3

由②得：%<4,

不等式组的解集为：-<%<4.

3

则该不等式组的整数解为：1、2、3.

【点睛】此题为不等式组，考查不等式性质，要注意运算符号.

21.如图，在平行四边形ABC。中，E、尸为对角线8。上的两点，且求证：BE=DF.

【解析】

【分析】

利用平行四边形的性质可得AB=C。，然后证明△ABF四△COE,进而可得再利用等式

的性质进行计算即可.

【详解】证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CDfAB//CD,

：.NABF=NCDE,

ZBAF=ZDCE

在AAB/和△(?£>£中|AB=CD,

ZABF=/EDC

：.AABF^ACDE(A5A),

:.ED=BF,

：.BD-CF=BD-DE,

：.BE=DF.

【点睛】此题主要考查了平行四边形性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等.

22.某体育用品商店购进了足球和排球共20个，一共花了1360元，进价和售价如表:

足球排球

进价（元/个）8050

售价（元/个）9560

（1）购进足球和排球各多少个？

（2）全部销售完后商店共获利润多少元？

【答案】（1）购进足球12个，购进排球8个；（2）若全部销售完，商店共获利260元.

【解析】

【分析】

（1）根据题意设购进足球尤个，排球y个，列出方程组，即可解答

（2）由题（1）可直接用足球排球的个数乘以各自的销售利润，即可解答

【详解】（1）设购进足球尤个，排球y个，

,士，fx+y=20

由题思得；

[80x+50y=1360

x=12

解得：《

U=8

答：购进足球12个，购进排球8个.

（2）若全部销售完，商店共获利：12（95-80）+8（60-50）=180+80=260（元）

答：若全部销售完，商店共获利260元.

【点睛】此题考查一元一次方程的应用，利用方程组计算出足球排球的数量是解题关键

23.如图，是口。的直径，CE是口。的弦，过点E作口。的切线，交CB的延长线于点G,过点3作

BFLGE于点、F,交CE的延长线于点A.

（1）求证：ZABG=2/C；⑵若GF=36，GB=6,求口。的半径.

【答案】（1）见解析；（2）口。的半径为6.

【解析】

【分析】

(1)连接0E,根据切线性质得到。石，石G,推出OE/7A8,得到NA=NOEC,根据等腰三角形的性

质得到NOEC=NC,求得NA=NC,根据三角形的外角的性质即可得到结论；

(2)根据勾股定理得到BF=4BG-GF2=3,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】⑴连接OE,

是口。的切线，

...OELEG,

'：BF±GE,

：.OE/JAB,

・•・ZA=ZOEC,

,：OE=OC,

・,.ZOEC=ZC,

：.ZA=ZC,

,/ZABG=ZA+NC,

・•・ZABG=2ZC；

(2)VBF_LGE,

:.ZBFG=90°,

,:GF=3网，GB=6,

：•BF7BG-GF。=3,

,/BF//OE,

:.ABGF口AOGE,

.BFBG

••一,

OEOG

,36

"OE~6+OE'

，OE=6,

□O的半径为6.

【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助

线是解题的关键.

24.学校数学社团的同学们在学生中开展“了解校训意义”的调查活动.采取随机抽样的方式进行问卷调查.问

卷调查的结果分为A、B、C、。四类.A类表示非常了解；3类表示比较了解；。类表示基本了解；D

类表示不太了解.（要求每位同学必须选并且只能选择一项）统计数据整理如表：

类别频数频率

A20n

Bm0.3

C110.22

D40.08

（1）表中〃；"=.

（2）根据表中数据，求出3类同学数所对应的扇形圆心角为度.

（3）根据调查结果，请你估计该校1500名学生中对校训“非常了解”的人数；

（4）学校在开展了解校训意义活动中，需要从A类的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取2人参加展示活

动，求恰好选中甲乙两人的概率？（请用列表法或是树状图表示）

【答案】（1）15,0.4；（2）108；（3）600人；（4）

6

【解析】

【分析】

（1）先根据D类的频数与频率求出总频数，再根据“频率=频数+总频数”可得A类的频率，用总频数减去

A、C、D三类的频数即可得B类的频数；

(2)利用B类同学的频率乘以360°即可得；

(3)“非常了解”对应的是A类，利用A类的频率乘以1500即可得；

(4)先画出树状图，再得出“从A类的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取2人参加展示活动”的所有可能

的结果，以及“恰好选中甲乙两人”的结果，然后利用概率公式计算即可.

【详解】(1)总频数为4+0.08=50

贝1"=50—20—11—4=15

n=20+50=0.4

故答案为：15,0.4；

(2)3类同学数所对应的扇形圆心角为0.3x360。=108。

故答案为：108；

(3)“非常了解”对应的是A类，n=0A

贝11500x0.4=600(人)

答：该校1500名学生中对校训|“非常了解”的人数为600人;

(4)由题意，画出树状图如下所示：

因此，从A类的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取2人参加展示活动的所有可能的结果共12种结果，它

们每一种结果出现的可能性都相等，其中，恰好选中甲乙两人的结果共2种

则所求的概率为。=;1=5.

126

【点睛】本题考查了频率与频数、利用列举法求概率等知识点，较难的是题(4),依据题意，正确画出树

状图是解题关键.

25.如图，一次函数>=丘+。与反比例函数y=@的图象在第一象限交于点A(4,3),与V轴的负半轴交于点

X

B，且OA—OB.

X

(2)在x轴上是否存在一点C,使得口ABC是以A3为腰的等腰三角形，若存在，求出点。的坐标；若

不存在，请说明理由.

(3)反比例函数y=@(啜*4)的图象记为曲线将C1向右平移3个单位长度，得曲线G，则G平

移至G处所扫过的面积是.(直接写出答案)

【答案】(1)反比例函数解析式为y=U；一次函数的解析式为y=2尤-5；(2)存在，C(755,0),C,(—屈,0)，

X

Q(V71+4,0),Q(-A/71+4,0)；(3)27

【解析】

【分析】

(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a,根据勾股定理求出OA,得到OB的长，求出点B的

坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；

(2)根据勾股定理求出AB,分AB=AC、BC=AB两种情况，根据勾股定理列方程计算，得到答案；

(3)分别把x=l、x=4代入反比例函数解析式求出函数值，求出平行四边形EFNM的面积，求出Ci平移

至C2处所扫过的面积.

【详解】解：(1):点A(4,3)在反比例函数y=@的图象上，

X

・・・“=4x3=12,

反比例函数解析式为y=一；

x

:04="2+32=5,0A=0B,点8在y轴负半轴上,

.•.点B(0,-5).

把点A(4,3)、B(0,-5)代入尸fcc+b中,

4k+b=3k=2

得：《，解得：＜

b=-5/=-5,

一次函数的解析式为y=2x-5.

(2)存在，

:点A(4,3),点8(0,-5)

AB=A/42+82=4^/5

设点。的坐标为(如0),

①AABC为等腰三角形，

当3C=AB=4石时,

贝U52+/=(4底2

m,=A/55,牡=—^55

C的坐标为(755,0)或(-755,0)

②当AC=A3=4旧时，

则3z+(机—4)2=(4班¥

，77&=V71+4,牡=—^71+4

...C的坐标为("T+4,0)或(-771+4,0)

综上所述：0/755,0),G(—尽，°)，G(E+4,O),G(—丁亓+4,0)

(3)设点E的横坐标为1,点F的横坐标为4,点M、N分别对应点E、F,如图所示.

，E(1,12)；

12qe

令A丁=一中x=4,则y=3,

x

AF(4,3),

：EM〃FN,且EM=FN,

四边形EMNF为平行四边形，

.\S=EM«(yE-yF)=3x(12-3)=27.

Ci平移至C2处所扫过的面积正好为平行四边形EMNF的面积.

故答案为：27.

【点睛】本题考查的是反比例函数的图象和性质、等腰三角形的性质、平行四边形的面积计算，掌握函数

图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键.

26.探究：如图1和图2,四边形ABCD中，已知/BAD=90°,点、E、尸分别在8C、C。上，ZEAF

=45°.

(1)①如图1,若48、NADC都是直角，把AABE绕点A逆时针旋转90°至△AOG,使与重合，

直接写出线段BE、。厂和匹之间的数量关系；

②如图2,若/B、都不是直角，但满足乙8+/。=180。，线段BE、。下和所之间的结论是否仍然成

立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(2)拓展：如图3,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=26.点D、E均在边8C边上，S.ZDAE=

45°,若8。=1,求。E的长.

【答案】(1)①EF=BE+DF；②成立，理由详见解析；(2)DE=~.

3

【解析】

【分析】

(1)①根据旋转的性质得出AE=AG,ZBAE=ZDAG,BE=DG,求出/GA尸=45。，根据SAS

推出△EAEgZXGAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案；

②根据旋转的性质作辅助线，得出AE=AG,ZB=ZADG,/BAE=/DAG,求出C、D、G在一条直线

上，根据SAS推出根据全等三角形的性质得出EF=G尸，即可求出答案；

(2)如图3,同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出N4BC=/C=45。，BC=4,

根据旋转性质得出NFBA=NC=45。,ZBAF^ZCAE,求出/胆。=/94£=45。，证

△外。丝△EA。，根据全等得出。尸=DE,设。E=x,则。尸=x,BF=CE=3-x,根据勾股定理得出方程，

求出x即可.

【详解】解：(1):把“BE绕点A逆时针旋转90。至"OG,使AB与重合，

：.AE=AG,ZBAE=ZDAG,BE=DG,ZB=ZADG=90°,

；ZAZ)C=90°,

ZADC+ZADG=90°

:.F、D、G共线，

'：ZBAD=9Q°,Z£AF=45°,

ZBAE+ZDAF^45°,

：.ZDAG+ZDAF=45°,

即/EAP=/G4P=45°,

在AEAB和AGAF中，

AF=AF

■：＜ZEAF=ZGAF,

AE=AG

：.AEAF^/\GAF(SAS),

：.EF=GF,

,:BE=DG,

：.EF=GF=DF+DG=BE+DF,

故答案为：EF^BE+DF-

②成立，

理由：如图2,把"BE绕A点旋转到"DG,使A2和A。重合，

B

E

D・・•••••

图2G

则AE=AG,/B=/ADG,/BAE=/DAG,

VZB+ZAZ)C=180°,

ZADC+ZADG^180°,

：.C,O、G在一条直线上，

与①同理得，NEAF=NGAF=45。,

在AEAF和AGAE中，

AF=AF

•：＜ZEAF=ZGAF,

AE=AG

：.AEAF^/\GAF(SAS),

：.EF=GF,

,:BE=DG,

：.EF=GF=BE+DF；

(2)解：:△ABC中，AB=AC=2亚,ZBAC^90°,

：.ZABC=ZC=45°,

由勾股定理得：BC=7AB2+AC2=4-

如图3,把A4EC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合，连接。R

则AF=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF^ZCAE,

,：ZDAE=45°,

：.ZFAD=ZFAB+ZBAD^ZC