云南省云南大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

云大附中（一二一校区）2023—2024学年下学期期末学情诊断八年级数学试卷（本试卷共三大题，27小题：考试时间120分钟：满分100分）注意事项1．答题前．考生先将自己的姓名、学号、考场号、座位号用碳素笔或钢笔填写清楚．2．客观题使用2B铅笔填涂，答题区域用碳素笔或钢笔书写．字体工整、笔迹清楚．按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．3．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破．客观题修改时用橡皮擦干净．答题区修改需用涂改液和不干胶条．4．考试结束后．将答题卡交回．一、选择题（每题2分，共30分）1.下列事件为必然事件的是（）A.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B.昆明月会下雪C.抛出的篮球会下落 D.任意买一张电影票，座位号是的倍数【答案】C【解析】【分析】本题考查必然事件的判定，必然事件就是，事先肯定它一定会发生的事件，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据事件的分类对各选项进行逐一分析即可．解：A、经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，不符合题意；B、昆明月可能会下雪，昆明月也可能不下雪，属于不确定性事件中的可能性事件，不符合题意；C、抛出的篮球会下落，是必然事件，符合题意；D、任意买一张电影票，座位号是的倍数为不确定事件，即随机事件，不符合题意；故选．2.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．解：A、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意；B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；D、，即是一元二次方程，符合题意；故选：D．3.已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（）…………A.直线 B.直线 C.直线 D.轴【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．根据当、时的函数值都是，结合二次函数的对称性求解即可，解：∵当、时的函数值都是，∴这个二次函数图象的对称轴是直线，即，故选．4.一元二次方程的根的情况为（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式判断根的情况：当时，方程有两个相等实数根；当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程无实数根；该一元二次方程，即有两个不相等实数根，可得答案B．解：一元二次方程，∴判别式，方程有两个不相等的实数根．故选B【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判断方法是解题的关键．5.关于二次函数，下列说法正确的是（）A.图象的开口向下 B.图象的对称轴为直线C.图象顶点坐标为 D.当时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】【分析】根据解析式得出开口向上，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解．解：关于二次函数，，开口向上，对称轴为直线,顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6.三角形两边长分别为3和6，并且第三边是一元二次方程的根，那么这个三角形的周长为（）A.11 B.13 C.15 D.11或13【答案】B【解析】【分析】首先从方程中确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或3，4，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．解：由方程，得x＝2或4，当第三边是2时，2，3，6不能构成三角形，应舍去；当第三边是4时，该三角形的周长为3＋4＋6＝13．故选B．【点睛】本题考查解一元二次方程与三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．7.把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是故选C．【点睛】本题考查了抛物线的平移及抛物线解析式的变化规律：左加右减、上加下减．8.某小组作“用频率估计概率”试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”D.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球【答案】A【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．解：A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意；B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意；C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；D．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．9.若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答．解：二次函数的对称轴为直线，且开口向上，∵，，，∴点距离对称轴最近，点距离对称轴最远，∴，故选：．10.某中学有一块长，宽的矩形空地．计划在这块空地上划出四分之一的区域种花．小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（）

A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．根据空白区域的面积等于矩形空地的面积可得．解：设花带的宽度为，则可列方程为，故选．11.函数在同一直角坐标系内的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=-＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选C．12.若、是的两个根，且，则的值是（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根据根与系数关系得出，由配方得，得出方程，解方程即可．解：∵、是的两个根，∴，∵，∴，∴，，解得，但b=-7时，方程为，此时，所以原方程无实数根，故选B．【点睛】本题考查根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程，掌握根与系数关系，完全平方公式变形，解一元二次方程是解题关键．13.二次函数的部分图象如图，图象过点下列结论：①；②；③；④；⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二次函数与系数相关代数式的判断问题，会利用对称轴求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键．由抛物线的开口方向判断，将点代入，得，由图象可得对称轴为，可得，代入上式可得，再将五个结论分别分析即可由得到答案．解：将点代入，即，∵图象可得二次函数的对称轴为，开口向下，∴，，即，将代入，可得．①∵、，∴，，∴，∴，故①正确．②∵，∴，故②正确．③∵、，∴，，∵，∴，∴，故③错误．④∵、，故，∵，∴，∴，故④错误．⑤将代入，即，再将、代入上式，化简可得，∴，，将，，，代入则方程中，即，根据根的判别式，可得方程没有两个不相同的实数根，故⑤错误．综上作述，正确的结论有两个，故选．14.已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（）A. B.C.且 D.且【答案】A【解析】【分析】本题考查了本题主要考查了一元二次方程根的判别式与实数根的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据方程有实数根，可得，带入数值求解即可．解：当时，方程为一元二次方程，∵方程有实数根，∴，即，化简可得，当时，一元二次方程变为一元一次方程，解得，即当时，方程有实数根，综上可得，的取值范围是，故选．15.已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y＝k成立的x值恰好有三个的k值．解：函数的图象如图：根据图象知道当y＝3时，对应成立的x值恰好有三个，∴k＝3．故选：D．【点睛】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．二、填空题（每题3分，共15分）16.若二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下：②对称轴是轴；③轴交于正半轴，这样的二次函数的解析式可以是______．（写出一个具体的函数解析式）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象特征及性质，掌握二次函数的图象特征及性质是解题的关键.根据抛物线开口方向，得出的取值范围，由轴交于正半轴，进而得出的取值范围，由对称轴是轴，得的值，即可得出二次函数表达式.解：∵图象为开口向下，并且与轴交于正半轴，∴，，∵对称轴是轴，，∴，∴，∴二次函数表达式为：（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一）．17.一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗,每次随机摸出一颗珠子,放回摇匀后再摸,通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右,则盒子中黑珠子可能有__颗.【答案】14【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解：由题意可得，，解得n=14．经检验n=14是原方程的解故估计盒子中黑珠子大约有14个．故答案为：14．18.若函数是关于的二次函数．则常数的值是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论．解：∵是关于的二次函数，∴，解得：．故答案为：19.随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价元/瓶，经过连续两次降价后．现在仅卖元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设该种药品平均每场降价的百分率为，根据原价为元可以表示出两次降价后的价格，

结合现在仅卖元/瓶，列出关于的方程，通过解方程即可得到降价的百分率．解：该种药品平均每场降价的百分率为，根据题意得，解得或，由于是平均每次降价的百分率，所以，故舍去，即．故答案为．20.已知是方程的两个实数根，则的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可．解：∵是方程的两个实数根，∴，将代入方程，得，即，∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：．三、解答题（共7题，共55分）21.解下列一元二次方程；（1）（请用配方法）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题主要考查了用配方法和公式法解一元二次方程，根据一元二次方程解法即可求出答案，熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程是解决此题的关键．【小问1】解：，，，，∴，∴，；【小问2】解：，，，，∴，∴，∴，．22.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为；（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式可得答案；（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可．解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为，故答案为：（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画树状图如下：一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能，所以：两名同学均来自八年级的概率【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键．23.某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子，柱子顶端处装上喷头，由处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是米，离柱子的距离为米．求这条抛物线的解析式；若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】（1）；（2）不计其它因素，水池的半径至少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．【解析】【分析】（1）根据题意可设解析式为顶点式形式，由A、P两点坐标求解析式；（2）求水池半径即时求当y＝0时x的值．(1)由题意知：顶点A为，为，设这条抛物线解析式为，∴，解之得．所以这条抛物线的解析式为；(2)令，则，解得，所以若不计其它因素，水池的半径至少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．24.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系y＝﹣2x+80．(1)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）单价是25元；（2）价定为28元时，获利润最大，最大利润是192元【解析】【分析】（1）根据题意结合销量×每本的利润＝150，进而求出答案；（2）根据题意结合销量×每本的利润＝w，进而利用二次函数增减性求出答案．（1）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价为x元（20≤x≤28），根据题意得：（-2x+80）（x-20）=150，整理得：x2-60x+875=0，解得：x=25或x=35（舍去）．答：当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是25元．（2）由题意可得：w=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，∵售价不低于20元且不高于28元，又∵x＜30时，y随x的增大而增大，∴当x=28时，w最大=﹣2（28﹣30）2+200=192（元），答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用等知识，正确利用销量×每本的利润＝w得出函数关系式是解题关键．25.如图，二次函数的图像与一次函数的图像交于两点．（1）点的坐标为______，点的坐标为______；（2）当时，自变量的取值范围是______；（3）点为抛物线上点和点之间的动点．当点到直线的距离最大时，求点的坐标．【答案】（1），（2）和（3）【解析】【分析】（1）联列二次函数的图象与一次函数，根据图象即可得出，即可求出点和点的坐标．（2）根据函数图象直接可以得出，当时，自变量的取值范围．（3）作直线的平行线，两者斜率相等，与抛物线相切与点，此时点到直线的距离最大，设直线的解析式为，与二次函数联列，得，根据直线和抛物线相切于一点，即有两个相同的解，可得，代入数值可得，代入原式解得，，即可求出点的坐标．【小问1】解：∵二次函数的图象与一次函数的图象交于两点，∴联列两者可得，解得，，由图象可得点的坐标为，点的坐标为，故答案为，．【小问2】解：∵点的坐标为，点的坐标为，∴根据图象可得当时，即一次函数图象在二次函数图象上方，∴自变量的取值范围是和，故答案为和．【小问3】如图，作直线的平行线，与抛物线相切与点，此时点到直线的距离最大，∵直线一次函数为，，∴直线和斜率相等，都为，设直线的解析式为，联列直线和抛物线，即，化简可得，∵直线和抛物线相切于一点，即有两个相同的解，∴，代入数值可得，解得，将代入中，得，解得：，将代入，解得，∴点的坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，根的判别式，函数图象与不等式，解二元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．26.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）如果方