材料力学课件：应力状态的概念

应力应变分析强度理论２、普遍形式的应力状态研究第七章应力和应变分析强度理论

1、应力状态与平面应力状态研究４、普遍形式的应力——应变关系３、平面应力状态下的应变研究

6、强度理论的应用

5、强度理论及相当应力P铸铁PP铸铁一、引子：1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？§7－１应力状态的概念断口断口断口断口2、组合变形杆将怎样破坏？强度准则应该是什么样的呢?ＭP行吗?P1P2!!!不行P1P2

PP三、单元体：

单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。

单元体的性质——a、同一面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：A

A等价等价

过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。

6四、普遍状态下的应力表示

xyzs

xs

zs

y下标：第一下标为应力所在面的法线方向第二下标为应力的方向；正负：正应力与截面外法线同向时为正xyzs

xs

zs

y五、切应力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):

过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则,两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。六、原始单元体：各个面上应力已知或可求。PPA

A等价9七、原始单元体的截取方法：自由面、横截面、纵面10ＭBCBC11BCBC放大12B13BBB横截面自由面切应力正应力纵剖面:应力为零切应力16A例8-1-1画出下列图中的A、B、C点的原始单元体。ＭA自由面自由面自由面自由面横截面A八、主单元体、主面、主应力：

、主单元体(Principalbidy)：

各侧面上切应力均为零的单元体。

、主面(PrincipalPlane)：

切应力为零的截面。

、主应力(PrincipalStress

）：

主面上的正应力。

、主应力排列规定：按代数值大小，xyzs

xs

zs

y

、平面应力状态（PlaneStateofStress）：

一个主应力为零的应力状态。

、单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：

一个主应力不为零的应力状态。

、三向应力状态（

Three—DimensionalStateofStress）：s1s3

三个主应力都不为零的应力状态。19§7－2平面应力状态分析——解析法规定：

、

截面外法线同向为正；

、

t

a绕研究对象顺时针转为正；

、

a逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：考虑切应力互等和三角变换，得：同理：一、任意斜截面上的应力21平面应力状态任意斜截面上的应力：二、极值正应力´´′

1s′2主单元体就是主应力！23

1

在切应力相对的项限内，且偏向于

x

及

y大的一侧。´´´´s′2主单元体′

1´´222xyyxminmaxtsstt+-±=îíì

¢

¢）（三、极值切应力例：8—2—1分析受扭构件的破坏规律。解：

确定危险点并画其原始单元体

主应力

破坏分析§7－3平面应力状态分析——图解法对上述方程消参（2

），得：此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）一、应力圆（

StressCircle）图2

、建立应力坐标系，如图2，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法

、在坐标系内画出点A（

x，

x

y）和B（

y，

y

x）

、AB与s

a轴的交点C便是圆心。

、以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆，；

、

面上的应力（

，

）

←→应力圆上一点（

，

）图1三、单元体与应力圆的对应关系

、

面的法线←→应力圆的半径

、两面夹角

←→两半径夹角2

；且转向一致。22

0四、在应力圆上标出极值应力´´satao（M

Pa

）

（M

Pa

）10例：8—3—1求图示单元体指定截面的应力。（应力单位：M

P

a）解：

、建立应力坐标系如图

在坐标系内画出点

、AB与s

a轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆

、指定面的应力如图：xy3020o50s

at

a30

ABABC60°D（s

a

，t

a）例：8—3—2求图示单元体的主应力及主平面的位置。（应力单位：M

P

a）CAB2

0

1

2解：

、建立应力坐标系如图

在坐标系内画出点

、AB的垂直平分线与s

a轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆

、主应力及主平面如图

060o解法2——解析法：分析——建立坐标系如图xyo60°s

x

x

yxyo60°解：

、建立坐标系如图30°§7－4三向应力状态研究——应力圆法satao1、

三向应力圆s

1s

2xyx

y面视图s3s

2zxx

z面视图s

3s

1zyz

y面视图2、

三向应力分析

：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b

：整个单元体内的最大切应力为：231sst-=maxtmax注意！上述视图研究法，也实用于非主单元体，但是，只有视图面上无切应力时，向之做视图才能得到平面应力状态的单元体，否则，不可用此法。xy

x

xy

yzx

y面视图xy

x

xy

yoy

z面视图zy

yo

y

x

y

x平面应力状态非平面应力状态

、由单元体图a知：y

z面为主面

、作y

z面视图，得平面单元体如图b,对图bzy3040oyz面视图图bABxyz305040图aCBA解:例：8—4—1求图示单元体的主应力和最大切应力。（应力单位：M

P

a）解：

、由单元体图a知：y

z面为主面

、作y

z面视图，得平面单元体如图b,对图b

、建立应力坐标系如图，画图b的应力圆和点

1′,得:xyz305040图aCBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10ABD

1

3

2tmaxzy3040oyz面视图图bAB

、由单元体图a知：y

z面为主面

、向y

z面投影，得平面单元体如图b,对图bxyz305040图aCBA解法2:解析法zy3040oyz面视图图bAB测得应变，求外载？PxzyMyMxMyMx450CBPM覆盖层 基底 引线 敏感栅 L

电阻应变片结构§7－5平面内的应变分析xyo

一、叠加法求应变分析公式abcdaAOBDD1EE1

切应变：直角的增大量！（只有这样，前后才对应）平面应变状态的概念DD2EE2

abcdaAOBabcdaAOBDD3EE3

xyoabcdaAOBDD3EE3

xyo二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）

a2

ao1、应变圆与应力圆的类比关系

、建立应变坐标系如图

、在坐标系内画出点

A（

x，

x

y/2）

B（

y，-

y

x/2）

、AB与

a轴的交点C便是圆心

、以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。2、已知一点A的应变（），画应变圆AB

a2

aoAB

、

方向上的应变（

，

/2）

←→应变圆上一点（

，

/2

）三、

方向上的应变与应变圆的对应关系

、

方向线←→

应变圆的半径

、两方向间夹角

←→两半径夹角2

；且转向一致。

max

min2

0D(

，

/2)2n四、主应变数值及其方位例8—5—1已知一点在某一平面内的

1、

2、

3、方向上的应变

1、

2、

3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由i=1、2、3这三个方程求出

x，

y，

x

y；然后在求主应变。例8—5—2用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o

0

max§7－6复杂应力状态下的应力---应变关系

————（广义虎克定律）一、单拉下的应力---应变关系xyz

x二、纯剪的应力---应变关系xyz

x

y三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:xyzs

xs

zs

y

1

2

3主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:方向一致主应力与主应变方向一致?五、体积应变与应力分量间的关系a3

1

2

3a1a2体积应变：体积应变与应力分量间的关系:例：8—6—1已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：

1=24010-6，

2=-16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为

=0.3，

试求该点处的主应力及另一主应变。

´

2

´

1所以，该点处的平面应力状态me334

2.-=

x

yＡPxAyo1m2mBC45o例：8—6—2，28a号工字钢梁受力如图，现由变形仪测得中性层上A点处与轴成450方位的应变为

=-2.610-4，梁的弹性模量E=200GPa，泊松比

=0.3，

试求载荷P。解：

Ａ点的应力状态如图

由应力分析知：taosa

-45

45

-45

45

由广义虎克定律得:

x

yＡPxAyo1m2mBC45o28a号工字钢梁受力如图，现由变形仪测得中性层上A点处与轴成450方位的应变为

=-2.610-4，梁的弹性模量E=200GPa，泊松比

=0.3，

试求载荷P。解：

Ａ点的应力状态如图

由平面