第10讲 等式的性质-小升初衔接数学教材（解析版）

第10讲等式的性质【知识衔接】————小学初中课程解读————小学课程初中课程小学数学中，了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。初中数学中，掌握等式的基本性质。————小学知识回顾————等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.

如果a＝b，那么a±c＝b±c.等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.

如果a＝b，那么ac＝bc，如果a＝b(c≠0)，那么————初中知识链接————1.方程的定义（1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程．方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数．（2）列方程的步骤：①设出字母所表示的未知数；②找出问题中的相等关系；③列出含有未知数的等式----方程．2.方程的解（1）方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解是指使方程两边相等的未知数的值，具有名词性．而解方程是求方程解的过程，具有动词性．（2）规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．3.一元一次方程的定义（1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．4.等式的性质（1）等式的性质性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．（2）利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．应用时要注意把握两关：【经典题型】小学经典题型1．下列说法正确的是（）A．等式两边同时乘或除以一个相同的数，等式仍然成立 B．两个不同的质数相加，和可能是奇数也可能是偶数 C．一节课的时间是小时，是把“一节课的时间”看作单位“1”【答案】B【解析】A、等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立；所以原题说法错误；B、两个不同的质数相加，和可能是奇数也可能是偶数，说法正确，如2+3＝5，3+5＝8；C、一节课的时间是小时，是把“1小时”看作单位“1”，所以原题说法错误；故选：B．2．m+3＝n+5，那么m（）n．A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定【答案】A【解析】如果m+3＝n+5，则有m＝n+2，所以m大于n；故选：A．3．x+1.8＝y+2.5，那么x（）y．A．＞ B．＜ C．＝ D．无法确定【答案】A【解析】x+1.8＝y+2.5x+1.8﹣1.8＝y+2.5﹣1.8x﹣y＝y+0.7﹣yx﹣y＝0.7所以x＞y．故选：A．4．下列等式中不成立的是（）A．9+0＝9 B．9﹣0＝9 C．9×0＝0 D．9÷0＝0【答案】D【解析】A、0加上任何数仍得原数，所以9+0＝9是正确的；B、任何数减去0仍得原数，所以9﹣0＝9是正确的；C、任何数和0相乘得0，所以9×0＝0是正确的；D、在除法里，0不能做除数，所以9÷0＝0是错误的．故选：D．5．下列利用等式的性质对方程的变形中，正确的是（）。A．由，得B．由，得C．由，得D．由，得【答案】D。【解析】根据等式的性质1，可知A的变形错误，根据等式的性质2，可知B的变形错误，结合等式的性质1和2，可判断C错误，由此可知答案。6．已知a=b，下列等式成立的是（）。A．a+402=bB.a＋240=b+420C.a×25=b×25【答案】C【解析】根据等式的性质，等式两边同时乘25等式仍然成立，根据此选择即可。7．①6+x②30﹣x＞26③9x=16④x=0⑤50÷2=25⑥240÷y=30⑦a+b=29⑧15+8=23是方程的是：；是等式的是：．【答案】③④⑥⑦；③④⑤⑥⑦⑧【点评】此题主要考查等式和方程的意义．熟记定义，才能快速辨识．8．在5.6+x＝7.8；95﹣37＝58；8﹣y；30+x＜75；9x＝72+18中，等式有，方程有．【答案】5.6+x＝7.8、95﹣37＝58、9x＝72+18，5.6+x＝7.8、9x＝72+18．【解析】等式有：5.6+x＝7.8、95﹣37＝58、9x＝72+18方程有：5.6+x＝7.8、9x＝72+18．9．如果3x+4＝25，那么4x+3＝．【答案】31【解析】3x+4＝25，3x+4﹣4＝25﹣4，3x＝21，3x÷3＝21÷3，x＝7，把x＝7代入4x+3＝4×7+3＝31，故答案为：31．初中经典题型1．把方程变形为x=2，其依据是（）A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质1【答案】B【解析】试题分析：根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．解：把方程变形为x=2，其依据是等式的性质2；故选：B．考点：等式的性质．2．已知等式，则下列变形不正确的是：A、B、C、D、【答案】A．【解析】试题分析：等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立，故B、D项正确；等式的性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍成立．故C项正确，A项不正确．故选A．考点：等式的性质．3．运用等式性质进行的变形，正确的是（）A．如果a=b，那么a+2=b+3B．如果a=b，那么a﹣2=b﹣3C．如果，那么a=bD．如果a2=3a，那么a=3【答案】C4．在下面方程中变形正确的为（）．①3x+6=0，变形为x+2=0，②x+7=5-3x，变形为4x=-2，③，变形为2x=15，④4x=-2，变形为x=-2．A．①③B．①②③C．③④D．①②④【答案】B．【解析】试题分析：①方程两边同时除以3，得x+2=0，故①正确；②原方程移项得，x+3x=5-7，合并同类项得，4x=-2，故②正确；③方程两边同时乘以5，得2x=15，故③正确；④方程两边同时乘以4，得x=，故④错误．其中变形正确的有①②③．故选：B．考点：等式的性质．5．下列等式变形正确的是（）A．若﹣3x＝5，则x＝ B．若，则2x+3（x﹣1）＝1C．若5x﹣6＝2x+8，则5x+2x＝8+6 D．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1【答案】D【解析】选项A.若，则.错误.选项B.若，则.错误.选项C.若，则.错误.选项D.若，则.正确.故选D.6．如果x=﹣1是关于x的方程x+2k﹣3=0的解，则k的值是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【答案】D【解析】把x=-1代入方程x+2k﹣3=0得：-1+2k-3=0，解此方程得：k=2.故选D.7．下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是（）A．如果a=b，那么a+5=b+5B．如果a=b，那么a﹣=b﹣C．如果ac=bc，那么a=bD．如果，那么a=b【答案】C【解析】A选项中，“如果，那么”是成立的，故不能选A；B选项中，“，那么”是成立的，故不能选B；C选项中，“如果，那么”不一定成立，因为c的值可能为0，故可以选C；D选项中，“如果，那么”成立，故不能选D.故选C.8．下列各方程中，是一元一次方程的是（）A．x﹣2y=4B．xy=4C．3y﹣1=4D．【答案】C【解析】A选项中的方程中有两个未知数，所以不是一元一次方程；B选项中的方程中有两个未知数，所以不是一元一次方程；C选项中的方程是一元一次方程，所以可以选C；D选项中的式子不是方程，所以不能选D.故选C.9．若关于的方程是一元一次方程，则这个方程的解是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0），高于一次的项系数是0．解：由一元一次方程的特点得m﹣2=1，即m=3，则这个方程是3x=0，解得：x=0．故选：A．10．将等式3a﹣2b=2a﹣2b变形，过程如下：因为3a﹣2b=2a﹣2b，所以3a=2a（第一步），所以3=2（第二步），上述过程中，第一步的根据是_____，第二步得出了明显错误的结论，其原因是_____．【答案】等式的基本性质1；没有考虑a=0的情况【解析】（1）根据等式的性质可知：上述变形过程中第一步的根据是“等式的基本性质1：在等式的两边加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立”；（2）根据等式的性质可知；上述变形过程中第二步得出错误结论的原因是“没有考虑到a=0这种情况”.11．有下列等式：①由a=b，得5﹣2a=5﹣2b；②由a=b，得ac=bc；③由a=b，得；④由，得3a=2b；⑤由a2=b2，得a=b．其中正确的是_____．【答案】①②④【解析】①由a=b,得5﹣2a=5﹣2b,根据等式的性质先将式子两边同时乘以-2,再将等式两边同时加上5,等式仍成立,所以本选项正确,②由a=b,得ac=bc,根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子,等式仍成立,所以本选项正确,③由a=b,得,根据等式的性质,等式两边同时除以一个不为0的数或式子,等式仍成立,因为可能为0,所以本选项不正确,④由,得3a=2b,根据等式的性质,等式两边同时乘以相同的式子6c,等式仍成立,所以本选项正确,⑤因为互为相反数的平方也相等,由a2=b2,得a=b,或a=-b,所以本选项错误,故答案为:①②④.12．若x=﹣3是方程k（x+4）﹣2k﹣x=5的解，则k的值是_____．【答案】.【解析】试题分析：根据方程的解的意义可知把x=-3代入方程可得k（-3+4）-2k-（-3）=5，解之得k=-2.考点：方程的解13．m，n互为相反数，则（3m–2n）–（2m–3n）=__________．【答案】0【解析】由题意m+n=0，所以(3m－2n)－(2m－3n)=3m-2n-2m+3n=m+n=0.14．已知方程3x+2y=5，用含x的式子表示y，则y=______.【答案】【解析】，，.15．由等式（a﹣2）x=a﹣2能得到x﹣1=0，则a必须满足的条件是________【答案】a≠2【解析】∵由等式（a−2）x＝a−2能得到x−1＝0，∴a−2≠0，则a≠2．故答案为：a≠2．16.用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式．

（1）如果2x+7=10，那么2x=10-；（2）如果-3x=8，那么x=；

（3）如果x−＝y−，那么x=；（4）如果＝2，那么a=．【答案】7，，y，8．解析：（1）如果2x+7=10，那么2x=10-7；（2）如果-3x=8，那么x=-；（3）如果x−＝y−，那么x=y；（4）如果＝2，那么a=8．17.在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．

（1）如果，那么x=，根据；

（2）如果-2x=2y，那么x=，根据；

（3）如果x=4，那么x=，根据；

（4）如果x=3x+2，那么x-=2，根据．【答案】（1）-2y，根据等式的性质2，两边都乘-10；（2）-y，等式的性质2，两边都乘-2；（3）6，等式的性质2，两边都乘；（4）3x，根据等式的性质1，两边都减去3x．解析：（1）如果，那么x=-2y，根据等式的性质2；（2）如果-2x=2y，那么x=-y，等式的性质2，两边都乘-2；

（3）如果x=4，那么x=6，等式的性质2，两边都乘；（4）如果x=3x+2，那么x-3x=2，根据等式的性质1，两边都减去3x．18.据等式性质，求下列各式中的x．

（1）5x=3x-2（2）-5x-27=7x-3．解：（1）5x-3x=-2，等式两边都减去2x，得x=-2；

（2）-5x-27=7x-3．等式两边都加上27得，-5x=7x+24，等式两边都减去,7x得-5x-7x=24，所以-2x=24，方程两边都除以-2得，得x=-12．19．阅读下列解题过程，指出它错在了哪一步？为什么？2（x﹣1）﹣1=3（x﹣1）﹣1．两边同时加上1，得2（x﹣1）=3（x﹣1），第一步两边同时除以（x﹣1），得2=3．第二步．【答案】见解析【解析】试题分析：根据等式的基本性质可得，错在第二步，两边不能同时除以x-1，因为x-1可能为0．试题解析：错在第二步，两边不能同时除以x－1，因为当x－1的值为0时，无意义．20．已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）-3（4m-1）的值．【答案】（1）m=-5（2）37【解析】（1）依题意有|m+4|=1，解之得m=-3（舍去），m=-5，故m=-5，（2）6m+4-12m+3=-6m+7当m=-5时，原式=37.【实战演练】————先作小学题——夯实基础————1．一个数x与a的和的4倍比9.8少2，求这个数，列等式为（）A.x+4a-9.8=2B.x+4a=9.8-2C.4（x+a）=9.8-2D.4（x+a）-2=9.8【答案】C【解析】解：x与a的和为x+a，和的四倍为4（x+a），比9.8还少2，所以4（x+a）加上2等于9.8，即为4（x+a）+2=9.8。2．下面不是等式的是（）。A.5285＋515=5800B.29a＋36bC.146—6a=116【答案】B。【解析】不用等号连接的式子就不是等式，根据此选择。3．已知a=b，下列等式成立的是（）。A．a+402=bB.a＋240=b+420C.a×25=b×25【答案】C【解析】根据等式的性质，等式两边同时乘25等式仍然成立，根据此选择即可。4．求方程2x=22的解的方法是（）。A.22×2B.2÷22C.22÷2【答案】D5．如果甲×1.1＝乙÷1.1（甲、乙≠0）那么（）A．甲＝乙 B．甲＞乙 C．甲＜乙 D．无法确定【答案】C【解析】因为甲×1.1＝乙÷1.1，即甲×1.1＝乙，而1.1，所以甲＜乙；故选：C．6．下列各式中，（）是方程．A．2x+6 B．5x﹣0.67＞1.4 C．6a﹣9＝3【解析】6a﹣9＝3，是含有未知数的等式．故选：C．7．下列式子中是方程的是（）A．5x+3.2 B．10＝x+8 C．2.8﹣0.5x D．12+23＝35【答案】B【解析】A、5x+3.2，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；B、10＝x+8，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；C、2.8﹣0.5x，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；D、12+23＝35，只是等式，不含有未知数，不是方程．故选：B．8．下面不是方程的是（）A．5a+1＝13 B．1.5x+7 C．2.1x+x＝6.6 D．6x+7＝4x+10【答案】B【解析】A、是含有未知数的等式，是方程；B、含有未知数，但不是等式，不是方程；C、是含有未知数的等式，是方程．D、是含有未知数的等式，是方程．故选：B．9．在①4×8＝32，②3x－6＝9，③5a＋4a，④x－5.3>4，⑤35x＋13x＝9.6中，（______）是等式，（_______）是方程。(填序号)【答案】①②⑤②⑤10．如果a=b，根据等式的性质填空．a﹢3=b﹢________a÷________=b÷20．【答案】3；20【解析】解：如果a=b，根据等式的性质可得：a﹢3=b﹢3a÷20=b÷20．故答案为：3，20．【分析】根据等式的性质，可知方程的左、右两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；乘同一个数，或者除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等；等式的两边加上相同的式子，左右两边仍然相等．据此解答即可．11．当a比15多b时，用等式表示是．【答案】a=b+15．（答案不唯一）【解析】试题分析：当a比15多b时，a=b+15，据此解答即可．解：a=b+15，故答案为：a=b+15．（答案不唯一）12．如果x＝y，根据等式的性质填空。x＋3＝y＋()x－()＝y－cx×d＝y×()x÷()＝y÷9【答案】3cd913．如果3a＝5b（a、b均不等于0），根据等式的性质在○里填运算符号，在横线里填数．3a+6﹣5b○63a○5＝5b÷5【答案】＝，6，÷，5．【解析】3a+6﹣5b＝63a÷5＝5b÷5故答案为：＝，6，÷，5．14．A÷1.8＝B÷7.2（AB都不等于0），则A÷B＝．【答案】．【解析】A÷1.8＝B÷7.2，AB，A：B：，A：B＝5：20，A：B＝1：4，所以A÷B＝1；故答案为：．————再战初中题——能力提升————1．下列方程中，是一元一次方程的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】A.分母中含有未知数，不是一元一次方程，故A错误；B.未知数的最高次幂为2，不是一元一次方程，故B错误；C.含有两个未知数，不是一元一次方程，故C错误；D.,是一元一次方程，故D正确.故选：D.2．下列利用等式的性质，错误的是（

）A．由a=b，得到1-a=1-bB．由，得到a=bC．由a=b，得到ac=bcD．由ac=bc，得到a=b【答案】D【解析】A选项正确，由a=b等式左右两边同时先乘以-1再同时加1得到1﹣a=1﹣b；B选项正确，由等式左右两边同时乘以2得到a=b；C选项正确，由a=b等式左右两边同时乘以c得到ac=bc；D选项错误，当c=0时，a可能不等于b.故选D.3．用代数式表示：a的2倍与3的和.下列表示正确的是（）A．2a-3B．2a+3C．2(a-3)D．2(a+3)【答案】B【解析】分析：a的2倍与3的和也就是用a乘2再加上3，列出代数式即可．详解：“a的2倍与3的和”是2a+3．故选：B．4．若x＝3是方程a－x＝7的解，则a的值是（）．A．4B．7C．10D．【答案】C【解析】把x＝3代入方程a－x＝7，解得a=10。故选C5．已知2是关于x的方程3x+a=0的解．那么a的值是（）A．－6B．－3C．－4D．－5【答案】A【解析】试题解析：把x=2代入方程得：6+a=0，解得：a=−6，故选A.6．运用等式性质进行的变形，不正确的是（）A．如果a=b，那么a﹣c=b﹣cB．如果a=b，那么a+c=b+cC．如果a=b，那么ac=bcD．如果ac=bc，那么a=b【答案】D．考点：等式的性质．7．下列方程的变形，符合等式的性质的是（）A．由2x﹣3=7，得2x=7﹣3B．由3x﹣2=x+1，得3x﹣x=1﹣2C．由﹣2x=5，得x=﹣3D．由﹣x=1，得x=﹣3【答案】D【解析】试题分析：根据等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．解：A、∵2x﹣3=7，∴2x=7+3，故本选项错误；B、∵3x﹣2=x+1，∴3x﹣x=1+2，故本选项错误；C、∵﹣2x=5，∴x=﹣，故本选项错误；D、∵﹣x=1，∴x=﹣3，故本选项正确．故选D．考点：等式的性质．8．如果x=y，a为有理数，那么下列等式不一定成立的是（）A．4﹣y=4﹣xB．x2=y2C．D．﹣2ax=﹣2ay【答案】C【解析】试题分析：A、等式两边先同时乘﹣1，然后再同时加4即可；B、根据乘方的定义可判断；C、根据等式的性质2判断即可；D、根据等式的性质2判断即可．解：A、∵x=y，∴﹣x=﹣y．∴﹣x+4=﹣y+4，即4﹣y=4﹣x，故A一定成立，与要求不符；B、如果x=y，则x2=y2，故B一定成立，与要