2024小升初数学《有理数的乘除法》衔接讲义（原卷+解析）

2024年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义专题04《有理数的乘除法》知识互联网知识互联网学习目标学习目标1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4.培养观察、分析、归纳及运算能力.知识要点知识要点知识点1：有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点分析：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点分析：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点分析：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．知识点2：有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点分析：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点分析：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．知识点3：有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．知识点4：有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．题型1题型1：倒数【典型例题01】（2021秋•信都区期末）若|m﹣1|+|n+3|＝0，则m的相反数是，n的倒数是．【思路引导】先根据非负数的性质列出方程求出m、n的值，再根据相反数、倒数的定义解答即可．【完整解答】解：由题意得，m﹣1＝0，n+3＝0，解得，m＝1，n＝﹣3，则m的相反数是﹣1，n的倒数是﹣．故答案为：﹣1，﹣．【考察注意点】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【典型例题02】（2021秋•兴山县期末）已知a与﹣2021互为倒数，则a的值为（）A．+2021 B．﹣2021 C． D．【思路引导】根据倒数的概念求解可得．【完整解答】解：∵（﹣）×（﹣2021）＝1，∴﹣与﹣2021互为倒数，则a的值为﹣．故选：C．【考察注意点】本题主要考查倒数，解题的关键是掌握乘积是1的两数互为倒数．变式训练变式训练【变式训练01】（2021秋•白云区期末）下列说法中，正确的是（）A．绝对值最小的数是1 B．1的相反数是它本身 C．绝对值等于它本身的数是1 D．1的倒数是它本身【变式训练02】（2021秋•驿城区校级期末）一个数的相反数是﹣0.7，则这个数的倒数是．【变式训练03】（2018秋•富顺县期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4．（1）直接写出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+的值．题型2题型2：有理数的乘法及应用典例精讲典例精讲【典型例题03】（2021秋•通州区期末）如图，在数轴上有一点A，将点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为﹣．【思路引导】设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论即可得出答案．【完整解答】解：设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，当x+x+1+x+3＝x时，x＝﹣2，∴a＝﹣2，b＝﹣1，c＝1，∴abc＞0，不合题意；当x+x+1+x+3＝x+1时，x＝﹣，∴a＝﹣，b＝﹣，c＝，∴abc＞0，不合题意；当x+x+1+x+3＝x+3时，x＝﹣，∴a＝﹣，b＝，c＝，∴abc＜0，符合题意；故答案为：﹣．【考察注意点】本题考查了数轴，有理数的乘法，考查分类讨论的数学思想，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论是解题的关键．【典型例题04】（2022•盐田区二模）若a为正数，b为负数，则（）A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．ab＞0 D．ab＜0【思路引导】根据有理数的乘法法则判断C，D选项；根据有理数的加法法则判断A，B选项．【完整解答】解：∵a为正数，b为负数，∴ab＜0，故C选项不符合题意，D选项符合题意；a+b的符号无法判断，取决于绝对值较大的数的符号，故A，B选项不符合题意；故选：D．【考察注意点】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．变式训练变式训练【变式训练04】（2021秋•雁塔区校级期末）如图，数轴上A，B两点分别表示数a，b，下列结论正确的是（）A．ab＜0 B．|a|＜|b| C．b﹣a＜0 D．a+b＞0【变式训练05】（2022春•雨花区校级月考）有10个同学参加聚会，每个人送其他人一张名片，则共有90张名片被送出．【变式训练06】（2022•石家庄二模）如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．（1）若a与c互为相反数，求a+b+c+d的值；（2）若这四个数中最小数与最大数的积等于7，求a的值．题型3题型3：有理数的除法及应用典例精讲典例精讲【典型例题05】（2021秋•平罗县期末）计算：．【思路引导】把除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可．【完整解答】解：＝＝﹣×36﹣×36+×36＝﹣27﹣6+15＝﹣18．【考察注意点】本题考查了有理数的混合运算，把除法转化为乘法是解题的关键．【典型例题06】（2021秋•让胡路区校级期末）下面的式子中，（）是比例．A．7+8＝10+5 B．18：6＝6：2 C．56：7＝2×4 D．25：10＝10：40【思路引导】根据比例的定义即可得出答案．【完整解答】解：A选项不是比例的形式，故该选项不符合题意；B选项，18：6＝6：2，故该选项符合题意；C选项不是比例的形式，故该选项不符合题意；D选项，25：10≠10：40，故该选项不符合题意；故选：B．【考察注意点】本题考查了有理数的除法，掌握比例表示两个或多个比相等的式子是解题的关键．变式训练变式训练【变式训练07】（2021秋•大丰区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 D．【变式训练08】（2021秋•隆回县期末）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的人数分别为50人、80人、30人、40人，则参加丙、丁两组的人数之和占所有报名人数的百分比为．【变式训练09】（2021秋•桦甸市期末）计算：（﹣28）÷7×＝．基础达标基础达标一．选择题1．（2022•河东区二模）计算6÷（﹣2）的结果等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．82．（2022•乐清市一模）计算：（﹣3）×5的结果是（）A．2 B．﹣2 C．15 D．﹣153．（2022•碑林区校级四模）计算（﹣1）×（）的结果是（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣4．（2022•滨海新区二模）计算（﹣3）×7的结果等于（）A．4 B．﹣4 C．﹣21 D．215．（2021秋•蓬江区月考）下列结论正确的是（）A．互为相反数的两个数的商为﹣1 B．在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1 C．当|x|＝﹣x，则x＜0 D．带有负号的数一定是负数二．填空6．（2022•南京一模）的倒数是；的相反数是．7．（2022春•商城县校级月考）若三个有理数x、y、z满足xyz＞0，则++＝．8．（2021秋•和平区期末）﹣3的倒数是，﹣的绝对值是，﹣1的倒数的相反数是．9．（2022•新城区模拟）计算（﹣2）×4的结果为．10．（2021秋•全州县期末）4的倒数为；3的相反数是；﹣3的绝对值是．11．（2021秋•信都区期末）若|m﹣1|+|n+3|＝0，则m的相反数是，n的倒数是．三．解答题12．（2021秋•让胡路区校级期末）组成比例的两个比，比值都是8，两个外项分别是24和2，这个比例是什么？13．（2021秋•奉贤区期末）计算：．14．（2021春•广饶县期中）计算：（1）化简比7.2：0.12＝；12：21＝；（2）求比值45分：1小时＝；1.3吨：220千克＝；（3）解比例3：1.5＝2：x；．15．（2022春•杨浦区校级期中）计算：﹣×÷1．16．（2022春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）＝．（1）计算：M（5）+M（6）；（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．17．（2021秋•奉贤区期末）学校买来37支水笔和56本笔记本，平均奖给六年级三好学生，结果水笔多一支，笔记本多2本．六年级最多有多少名三好学生？他们各得到几支水笔、几本笔记本？能力提升能力提升一．选择题1．（2021秋•松桃县期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论，错误的是（）A．﹣b＜a＜b＜﹣a B．a+b＜0 C．ab＜0 D．|b|＜|a|2．（2021秋•闽侯县期末）若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（）A．b（a﹣c）＞0 B．ab＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＞03．（2021秋•普陀区期末）下列说法中，错误的是（）A．3能整除15 B．在正整数中，除了奇数就是偶数 C．在正整数中，除2外所有的偶数都是合数 D．一个正整数乘以一个假分数，积一定大于它本身4．（2019秋•竹溪县期末）若a+b＜0，且ab＜0，则下列说法正确的是（）A．a、b异号，且正数的绝对值大 B．a、b异号，且a＞b C．a、b异号，且负数的绝对值大 D．a、b异号，且|a|＞|b|5．（2020秋•沙县校级月考）已知a，b为非0有理数，且a，b同号，则的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣16．（2020秋•东港市期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式：①a+b＞0；②a﹣b＞0；③|b|＞a；④ab＜0；⑤|b﹣a|＝a﹣b，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题7．（2021秋•通州区期末）如图，在数轴上有一点A，将点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为．8．（2021秋•朝阳区校级期末）比0.8的最简整数比是．9．（2021秋•南充期末）计算：|﹣3|×（﹣）＝．10．（2021秋•饶平县校级期中）﹣2的相反数是，﹣2的倒数是，﹣2的绝对值是．11．（2021秋•南开区期中）在﹣1，2，﹣3，0，5这五个数中，任取两个相除，其中商最小的是．12．（2020秋•綦江区校级月考）在﹣3，﹣2，﹣1，4，6中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是．三．解答题13．（2021秋•新华区校级期中）已知a2＝4，|b|＝3．（1）已知＜0，求a+b的值；（2）|a+b|＝﹣（a+b），求a﹣b的值．14．（2021秋•东城区校级期中）已知|a|＝5，|b|＝3，若|a+b|＝a+b，求ab的值．15．（2021秋•和平区校级期中）已知|a|＝5，|b|＝3，回答下列问题：（1）由|a|＝5，|b|＝3，可得a＝，b＝；（2）若a+b＞0，求a﹣b的值；（3）若ab＜0，求|a+b|的值．16．（2020秋•饶平县校级月考）用简便方法计算：﹣．17．（2019秋•防城区期中）若x的相反数是3，|y|＝8，且xy＞0，求y﹣x的值．18．（2019秋•卧龙区校级月考）阅读下列材料：计算：50÷（﹣+）．解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550．解法二：原式＝50÷（﹣+）＝50÷＝50×6＝300．解法三：原式的倒数为（﹣+）÷50＝（﹣+）×＝×﹣×+×＝故原式＝300．上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法是错误的．在正确的解法中，你认为解法最简捷．然后，请你解答下列问题：计算：（）÷（）．2024年人教版暑假小升初数学衔接精编讲义专题04《有理数的乘除法》知识互联网知识互联网学习目标学习目标1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2.理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3.巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4.培养观察、分析、归纳及运算能力.知识要点知识要点知识点1：有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点分析：(1)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点分析：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点分析：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．知识点2：有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点分析：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2.有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点分析：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．知识点3：有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．知识点4：有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．题型1题型1：倒数【典型例题01】（2021秋•信都区期末）若|m﹣1|+|n+3|＝0，则m的相反数是﹣1，n的倒数是﹣．【思路引导】先根据非负数的性质列出方程求出m、n的值，再根据相反数、倒数的定义解答即可．【完整解答】解：由题意得，m﹣1＝0，n+3＝0，解得，m＝1，n＝﹣3，则m的相反数是﹣1，n的倒数是﹣．故答案为：﹣1，﹣．【考察注意点】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【典型例题02】（2021秋•兴山县期末）已知a与﹣2021互为倒数，则a的值为（）A．+2021 B．﹣2021 C． D．【思路引导】根据倒数的概念求解可得．【完整解答】解：∵（﹣）×（﹣2021）＝1，∴﹣与﹣2021互为倒数，则a的值为﹣．故选：C．【考察注意点】本题主要考查倒数，解题的关键是掌握乘积是1的两数互为倒数．变式训练变式训练【变式训练01】（2021秋•白云区期末）下列说法中，正确的是（）A．绝对值最小的数是1 B．1的相反数是它本身 C．绝对值等于它本身的数是1 D．1的倒数是它本身【思路引导】根据绝对值的性质，倒数、相反数的定义分析即可求解．【完整解答】解：A、绝对值最小的数是0，原说法错误，故此选项不符合题意；B、1的相反数是﹣1，0的相反数是它本身，原说法错误，故此选项不符合题意；C、绝对值等于它本身的数一定是非负数，原说法错误，故此选项不符合题意；D、1的倒数是它本身，原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．【考察注意点】本题考查了绝对值，倒数、相反数等基础知识．数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；乘积为1的两个数互为倒数．【变式训练02】（2021秋•驿城区校级期末）一个数的相反数是﹣0.7，则这个数的倒数是．【思路引导】先求出这个数，再求这个数的倒数即可．【完整解答】解：﹣0.7的相反数是0.7，0.7的倒数是．故答案为：．【考察注意点】本题考查了相反数和倒数，求小数的倒数是先把小数化成分数，然后分子分母颠倒位置即可，这是解题的关键．【变式训练03】（2018秋•富顺县期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4．（1）直接写出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+的值．【思路引导】（1）直接利用互为相反数以及互为倒数和绝对值的定义分别分析得出答案；（2）利用（1）中所求，代入得出答案．【完整解答】解：（1）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±4；（2）由（1）得：原式＝±4+1＝5或﹣3．【考察注意点】此题主要考查了倒数、相反数、绝对值，正确把握相关定义是解题关键．题型2题型2：有理数的乘法及应用典例精讲典例精讲【典型例题03】（2021秋•通州区期末）如图，在数轴上有一点A，将点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为﹣．【思路引导】设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论即可得出答案．【完整解答】解：设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，当x+x+1+x+3＝x时，x＝﹣2，∴a＝﹣2，b＝﹣1，c＝1，∴abc＞0，不合题意；当x+x+1+x+3＝x+1时，x＝﹣，∴a＝﹣，b＝﹣，c＝，∴abc＞0，不合题意；当x+x+1+x+3＝x+3时，x＝﹣，∴a＝﹣，b＝，c＝，∴abc＜0，符合题意；故答案为：﹣．【考察注意点】本题考查了数轴，有理数的乘法，考查分类讨论的数学思想，根据这三个数的和与其中的一个数相等分情况讨论是解题的关键．【典型例题04】（2022•盐田区二模）若a为正数，b为负数，则（）A．a+b＞0 B．a+b＜0 C．ab＞0 D．ab＜0【思路引导】根据有理数的乘法法则判断C，D选项；根据有理数的加法法则判断A，B选项．【完整解答】解：∵a为正数，b为负数，∴ab＜0，故C选项不符合题意，D选项符合题意；a+b的符号无法判断，取决于绝对值较大的数的符号，故A，B选项不符合题意；故选：D．【考察注意点】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．变式训练变式训练【变式训练04】（2021秋•雁塔区校级期末）如图，数轴上A，B两点分别表示数a，b，下列结论正确的是（）A．ab＜0 B．|a|＜|b| C．b﹣a＜0 D．a+b＞0【思路引导】根据有理数的乘法判断A选项；根据绝对值的定义判断B选项；根据有理数的减法判断C选项；根据有理数的加法判断D选项．【完整解答】解：A选项，∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，故该选项符合题意；B选项，∵|a|＞1，|b|＜1，∴|a|＞|b|，故该选项不符合题意；C选项，∵b＞a，∴b﹣a＞0，故该选项不符合题意；D选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故该选项不符合题意；故选：A．【考察注意点】本题考查了有理数的乘法，绝对值，数轴，有理数的加减法，掌握数轴上，一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键．【变式训练05】（2022春•雨花区校级月考）有10个同学参加聚会，每个人送其他人一张名片，则共有90张名片被送出．【思路引导】根据每人都送出9张名片进行计算即可．【完整解答】解：由题意得（10﹣1）×10＝9×10＝90（张），故答案为：90．【考察注意点】此题考查了运用有理数乘法解决实际问题的能力，关键是能准确理解问题中的数量关系并列式计算．【变式训练06】（2022•石家庄二模）如图，数轴上点A，B，C，D表示的数分别为a，b，c，d，相邻两点间的距离均为2个单位长度．（1）若a与c互为相反数，求a+b+c+d的值；（2）若这四个数中最小数与最大数的积等于7，求a的值．【思路引导】（1）根据a与c互为相反数，知道点B是原点，根据相邻两点间的距离均为2个单位长度得到a，b，c，d的值，代入代数式求值即可；（2）根据这四个数中最小数与最大数的积等于7，得到ad＝7，从而a（a+6）＝7，解一元二次方程即可得出答案．【完整解答】解：（1）∵a与c互为相反数，∴b＝0，a＝﹣2，c＝2，d＝4，∴a+b+c+d＝﹣2+0+2+4＝4；（2）∵这四个数中最小数与最大数的积等于7，∴ad＝7，∴a（a+6）＝7，∴a2+6a﹣7＝0，∴（a+7）（a﹣1）＝0，∴a+7＝0或a﹣1＝0，∴a＝﹣7或1．【考察注意点】本题考查了数轴，相反数，根据这四个数中最小数与最大数的积等于7列出方程是解题的关键．题型3题型3：有理数的除法及应用典例精讲典例精讲【典型例题05】（2021秋•平罗县期末）计算：．【思路引导】把除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可．【完整解答】解：＝＝﹣×36﹣×36+×36＝﹣27﹣6+15＝﹣18．【考察注意点】本题考查了有理数的混合运算，把除法转化为乘法是解题的关键．【典型例题06】（2021秋•让胡路区校级期末）下面的式子中，（）是比例．A．7+8＝10+5 B．18：6＝6：2 C．56：7＝2×4 D．25：10＝10：40【思路引导】根据比例的定义即可得出答案．【完整解答】解：A选项不是比例的形式，故该选项不符合题意；B选项，18：6＝6：2，故该选项符合题意；C选项不是比例的形式，故该选项不符合题意；D选项，25：10≠10：40，故该选项不符合题意；故选：B．【考察注意点】本题考查了有理数的除法，掌握比例表示两个或多个比相等的式子是解题的关键．变式训练变式训练【变式训练07】（2021秋•大丰区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．|a|＜|b| B．a＞b C．a+b＞0 D．【思路引导】根据绝对值的定义判断A选项；根据数轴上右边的数总比左边的数大比较大小判断B选项；根据有理数的加法法则判断C选项；根据有理数的除法法则判断D选项．【完整解答】解：A选项，∵|a|＞1，|b|＜1，∴|a|＞|b|，故该选项不符合题意；B选项，a＜b，故该选项不符合题意；C选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，故该选项不符合题意；D选项，∵a＜0，b＞0，∴＜0，故该选项符合题意；故选：D．【考察注意点】本题考查了绝对值，数轴，有理数的加法，有理数的除法，掌握两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．【变式训练08】（2021秋•隆回县期末）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的人数分别为50人、80人、30人、40人，则参加丙、丁两组的人数之和占所有报名人数的百分比为35%．【思路引导】直接利用参加丙、丁两组的人数之和除以报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的人数之和，进而得出答案．【完整解答】解：∵某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的人数分别为50人、80人、30人、40人，∴参加丙、丁两组的人数之和占所有报名人数的百分比为：（30+40）÷（50+80+30+40）×100%＝35%．故答案为：35%．【考察注意点】此题主要考查了有理数的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式训练09】（2021秋•桦甸市期末）计算：（﹣28）÷7×＝﹣．【思路引导】根据有理数的除法法则和有理数的乘法法则进行计算，即可得出答案．【完整解答】解：（﹣28）÷7×＝（﹣28）××＝（﹣4）×＝﹣，故答案为：﹣．【考察注意点】本题考查了有理数的除法及乘法，掌握有理数的除法法则及乘法法则是解题的关键．基础达标基础达标一．选择题1．（2022•河东区二模）计算6÷（﹣2）的结果等于（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．8【完整解答】解：原式＝﹣（6÷2）＝﹣3．故选：A．2．（2022•乐清市一模）计算：（﹣3）×5的结果是（）A．2 B．﹣2 C．15 D．﹣15【完整解答】解：（﹣3）×5＝﹣15．故（﹣3）×5的结果是﹣15．故选：D．3．（2022•碑林区校级四模）计算（﹣1）×（）的结果是（）A．1 B．﹣1 C． D．﹣【完整解答】解：原式＝﹣×＝﹣1．故选：B．4．（2022•滨海新区二模）计算（﹣3）×7的结果等于（）A．4 B．﹣4 C．﹣21 D．21【完整解答】解：原式＝﹣（3×7）＝﹣21．故选：C．5．（2021秋•蓬江区月考）下列结论正确的是（）A．互为相反数的两个数的商为﹣1 B．在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1 C．当|x|＝﹣x，则x＜0 D．带有负号的数一定是负数【完整解答】解：A选项，0的相反数是0，0÷0没有意义，故该选项不符合题意；B选项，在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1，故该选项符合题意；C选项，当|x|＝﹣x，则x≤0，故该选项不符合题意；D选项，﹣（﹣2）＝2，故该选项不符合题意；故选：B．二．填空题6．（2022•南京一模）的倒数是3；的相反数是﹣．【完整解答】解：的倒数是3；的相反数是﹣．故答案为：3；﹣．7．（2022春•商城县校级月考）若三个有理数x、y、z满足xyz＞0，则++＝3或﹣1．【完整解答】解：①当x＞0，y＞0，z＞0时，xyz＞0，∴++＝++＝1+1+1＝3；②当x＞0，y＜0，z＜0时，xyz＞0，∴++＝＝1﹣1﹣1＝﹣1；③当x＜0，y＜0，z＞0时，xyz＞0，∴++＝＝﹣1﹣1+1＝﹣1；④当x＜0，y＞0，z＜0时，xyz＞0，∴++＝＝﹣1+1﹣1＝﹣1．综上：若三个有理数x、y、z满足xyz＞0，则++的值为3或﹣1．故答案为：3或﹣1．8．（2021秋•和平区期末）﹣3的倒数是﹣，﹣的绝对值是，，﹣1的倒数的相反数是．【完整解答】解：﹣3的倒数是﹣，﹣的绝对值是，﹣1的倒数是，的相反数是．故答案为：﹣，，．9．（2022•新城区模拟）计算（﹣2）×4的结果为﹣8．【完整解答】解：原式＝﹣（2×4）＝﹣8．故答案为：﹣8．10．（2021秋•全州县期末）4的倒数为；3的相反数是﹣3；﹣3的绝对值是3．【完整解答】解：4的倒数为；3的相反数是﹣3；﹣3的绝对值是3．故答案为：，﹣3，3．11．（2021秋•信都区期末）若|m﹣1|+|n+3|＝0，则m的相反数是﹣1，n的倒数是﹣．【完整解答】解：由题意得，m﹣1＝0，n+3＝0，解得，m＝1，n＝﹣3，则m的相反数是﹣1，n的倒数是﹣．故答案为：﹣1，﹣．三．解答题12．（2021秋•让胡路区校级期末）组成比例的两个比，比值都是8，两个外项分别是24和2，这个比例是什么？【完整解答】解：24÷8＝3，8×2＝16，所以这个比例式为：24：3＝16：2．13．（2021秋•奉贤区期末）计算：．【完整解答】解：原式＝××＝．14．（2021春•广饶县期中）计算：（1）化简比7.2：0.12＝60：1；12：21＝4：7；（2）求比值45分：1小时＝；1.3吨：220千克＝；（3）解比例3：1.5＝2：x；．【完整解答】解：（1）7.2：0.12＝720：12＝60：1，12：21＝4：7，（2）45分：1小时＝小时：1小时＝，1.3吨：220千克＝1300千克：220千克＝，（3）3：1.5＝2：x3x＝1.5×2x＝1，2x＝1.2×5x＝3．15．（2022春•杨浦区校级期中）计算：﹣×÷1．【完整解答】解：原式＝﹣×（﹣）×＝．16．（2022春•阜宁县校级月考）规定：M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M（n）＝．（1）计算：M（5）+M（6）；（2）求2×M（2021）+M（2022）的值；（3）试说明：2×M（n）与M（n+1）互为相反数．【完整解答】解：（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2021）+M（2022）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2022＝2×（﹣22021）+22022＝﹣22022+22022＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1互为相反数，∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．17．（2021秋•奉贤区期末）学校买来37支水笔和56本笔记本，平均奖给六年级三好学生，结果水笔多一支，笔记本多2本．六年级最多有多少名三好学生？他们各得到几支水笔、几本笔记本？【完整解答】解：∵37﹣1＝36，56﹣2＝54．∴三好学生人数是36和54的公约数．∵36和54的最大公约数是18．∴最多有18名三好学生能力提升能力提升一．选择题1．（2021秋•松桃县期末）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论，错误的是（）A．﹣b＜a＜b＜﹣a B．a+b＜0 C．ab＜0 D．|b|＜|a|【完整解答】解：A：根据数轴点的位置可得，a＜﹣b＜b＜﹣a，∴符合题意；B：∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，∴不符合题意；C：∵a＜0，b＞0，∴ab＜0，∴不符合题意；D：|a|＞|b|，∴不符合题意；故选：A．2．（2021秋•闽侯县期末）若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（）A．b（a﹣c）＞0 B．ab＜0 C．a+b＞0 D．a﹣b＞0【完整解答】解：A：∵a﹣c＜0，b＜0，∴b（a﹣c）＞0，∴符合题意；B：∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴不符合题意；C：∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，∴不符合题意；D：∵a＜0，b＜0，|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，∴不符合题意；故选：A．3．（2021秋•普陀区期末）下列说法中，错误的是（）A．3能整除15 B．在正整数中，除了奇数就是偶数 C．在正整数中，除2外所有的偶数都是合数 D．一个正整数乘以一个假分数，积一定大于它本身【完整解答】解：A选项，15÷3＝5，故该选项不符合题意；B选项，在正整数中，除了奇数就是偶数，故该选项不符合题意；C选项，在正整数中，除2外所有的偶数都是合数，故该选项不符合题意；D选项，如1×＝1，故该选项符合题意；故选：D．4．（2019秋•竹溪县期末）若a+b＜0，且ab＜0，则下列说法正确的是（）A．a、b异号，且正数的绝对值大 B．a、b异号，且a＞b C．a、b异号，且负数的绝对值大 D．a、b异号，且|a|＞|b|【完整解答】解：∵ab＜0，∴a、b异号，又∵a+b＜0，∴负数的绝对值较大，根据这一条件判断：A、B、D选项错误；C选项正确；故选：C．5．（2020秋•沙县校级月考）已知a，b为非0有理数，且a，b同号，则的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1【完整解答】解：当a＞0，b＞0，此时ab＞0，＝＝1+1﹣1＝1；当a＜0，b＜0，此时ab＞0，＝＝﹣1+（﹣1）﹣1＝﹣3∴值为1或﹣3，故选：C．6．（2020秋•东港市期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式：①a+b＞0；②a﹣b＞0；③|b|＞a；④ab＜0；⑤|b﹣a|＝a﹣b，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【完整解答】解：观察图象可知：a+b＜0，a﹣b＞0，|b|＞a，ab＜0，|b﹣a|＝a﹣b，故②③④⑤，故选：D．二．填空题7．（2021秋•通州区期末）如图，在数轴上有一点A，将点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为﹣．【完整解答】解：设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3，当x+x+1+x+3＝x时，x＝﹣2，∴a＝﹣2，b＝﹣1，c＝1，∴abc＞0，不合题意；当x+x+1+x+3＝x+1时，x＝﹣，∴a＝﹣，b＝﹣，c＝，∴abc＞0，不合题意；当x+x+1+x+3＝x+3时，x＝﹣，∴a＝﹣，b＝，c＝，∴abc＜0，符合题意；故答案为：﹣．8．（2021秋•朝阳区