概率第1、2章(部编)课件

概率统计简明教程课程名称概率统计简明教程计划学时32学时作业要求用大张的A4白纸书写，姓名、班级和序号写在最上方章次内容讲课时数习题讲评或测验第一章随机事件20第二章事件的概率31第三章条件概率与事件的独立性31第四章随机变量及其分布41第五章二维随机变量及其分布20第六章随机变量的函数及其分布31第七章随机变量的数字特征31第八章第九章统计与统计学统计量和抽样分布2测验1总复习40概率统计是研究随机现象数量规律的学科,理论严谨，应用广泛，发展迅速.不仅高等学校各专业都开设了本课程,而且在上世纪末，此课程特意被教育部定为本科生考研的数学课程之一。前言概率统计可分为概率论与数理统计学，概率论严格地演绎研究大量随机现象地数量关系，数理统计学则侧重与归纳方法。它们的共同点都是研究随机现象地统计规律性。近年来，由于科学技术地日新月异，研究方法的不断更新，概率统计已成为各门学科中不可或缺的理论基础和研究工具。本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中.例如

1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与《概率论》紧密相关；2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均要用到《假设检验》；6.探讨太阳黑子的变化规律时,《时间序列分析》方法非常有用;4.电子系统的设计,火箭卫星的研制及其发射都离不开《可靠性估计》;

3.寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和《数据处理》；5.处理通信问题,需要研究《信息论》；法国数学家拉普拉斯(Laplace)说:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为.第一章随机事件第一节样本空间和随机事件重点

1、随机事件2、样本空间在自然界和人类社会中，我们所遇到的各种现象按其结果能否准确预言来划分，可分为两大类：一类是必然现象；另一类是随机现象。在一定条件下，必然出现某一种结果的现象称为必然现象。如：1、在标准大气压下，纯水加热到100沸腾。2、三角形中，任意两边之和一定大于第三边。3、异性电荷相互吸引。另一类现象是在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而且不能预先断言出现哪种结果，这种现象称为随机现象。如：1、投掷一枚硬币，可能出现正面向上，也可能出现反面向上。2、测试某产品是正品还是次品。对于随机现象，我们感兴趣的是那些在相同条件下可以重复观测的随机现象。研究它们时，总要在一定条件下进行观察、测量和试验，以后我们把这些工作统称为试验。概率是研究随机现象的规律性的学科一般的，称具有以下三个特点的试验为随机试验：

试验在相同的条件下可重复进行

试验的所有可能结果是已知的或者是可以确定的。每次试验将会发生什么结果是事先无法预知的。抛一枚硬币,观察正面或反面向上在一条生产线上，检测在24小时内产出次品的数目

向一目标射击，直至击中为止，记录射击的次数实例

在随机试验中，产生的各种结果叫做随机事件(randomEvents)，简称事件（Events)．随机事件通常用大写英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示．例：投掷一个骰子，观察其朝上的点数。

都是随机事件。A＝｛朝上的点数为2｝B＝｛朝上的点数为偶数点｝C＝｛朝上的点数不超过4｝如观察马路交叉口可能遇上的各种颜色交通灯，这是随机试验，而“遇上红灯”则是一个随机事件。

随机试验的每一个可能的结果称为这个试验的一个样本点，记作ω．

全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作Ω．样本空间是试验的所有可能结果所组成的集合.

样本点与样本空间样本点SamplePoint样本空间SampleSpaceΩ={ｔ|ｔ≥0}

写出下列事件的样本空间E4:在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命E1:射手向一目标射击，记录射击的次数E3:掷一颗骰子，观察向上一面出现的点数Ω={1,2,…}Ω={1,2,3,4,5,6}显然，每次试验有且只有一个含在样本空间中的试验结果发生。E2:从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张。Ω={(J,Q),(J,K),(J,A),(Q,J),(Q,K),(Q,A),(K,J),(K,Q),(K,A),(A,J),(A,Q),(A,K)}事件是由试验的某些可能结果构成的，因此事件是样本空间的子集。仅含一个样本点的随机事件称为基本事件，含多个样本点的事件称为复杂事件。如前例：投掷一个骰子，观察其朝上的点数。记＝“出现点数为j”（j＝1,2,3,4,5,6）则A＝｛朝上的点数为2｝B＝｛朝上的点数为偶数点｝C＝｛朝上的点数不超过4｝必然事件CertaintyEvents

“抛掷一颗骰子，出现的点数不大于6”例

必然事件——样本空间本身也是事件,它包含了所有可能的试验结果，因此不论在哪一次试验它都发生，称为必然事件。也将它记为。不可能事件ImpossibleEvent

“抛掷一颗骰子，出现的点数大于6”例不可能事件——不包含任何样本点的事件,记为

,每次试验必定不发生的事件.抛掷两颗骰子，观察出现的点数例随机试验样本空间

Ω＝｛（1，1），（1，2）,（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），...，（6，1），（6，2），...，（6，6）｝．抛掷两颗骰子，观察出现的点数A={点数之和等于3}={（1，2），（2，1）}B={点数之和大于11}={6，6}C={点数之和不小于2}D={点数之和大于12}

=Φ=Ω第二节事件的关系和运算用简单事件表示复杂事件事件的关系和运算事件的关系与运算事件事件之间的关系与事件的运算集合集合之间的关系与集合的运算

事件Ａ发生必然导致事件Ｂ发生

1、事件的包含BA(事件Ａ的样本点都是事件Ｂ的样本点)例如抛掷两颗骰子，观察出现的点数A={出现1点}B={出现奇数点}

2、事件的相等A=BBA

事件A与事件B至少有一个发生3、事件的并(和)(由事件A与事件B所有样本点组成)

多个事件的和4、事件的交(积)

事件Ａ和事件Ｂ同时发生ＡＢＡ∩Ｂ

多个事件的交(由事件Ａ和事件Ｂ公共的样本点组成)Ａ－Ｂ

5、事件的差

事件A发生且事件B不发生（由事件A的样本点去掉事件B的样本点组成）——

A

与B

互斥A、

B不可能同时发生（不含公共的样本点）AB6.事件的互斥(互不相容)两两互斥——

A

与B

互相对立A注意：“A

与B

互相对立”与“A

与B

互斥”是不同的概念7.事件的对立称B

为A的对立事件(or补事件)，记为，可知

交换律

结合律

分配律

对偶律

运算律对应事件运算集合运算某射手向目标射击三次，用表示第次击中目标试用及其运算符表示下列事件：（1）三次都击中目标：（2）至少有一次击中目标：

（3）至少有一次没有击中目标：（4）三次都没有击中目标：例：复合事件的表示练一练A,B,C为同一样本空间的随机事件，试用A，B，C的运算表示下列事件1）A，B，C都不发生2）A与B发生，C不发生3）A，B，C至少有一个发生4）事件3）的对立事件作业P5习题一

1、

2、

3、

4（1）（2）（3）（4）

5（1）（2）（3）（4）第二章事件的概率排列组合有关知识复习加法原理：完成一件事情有n

类方法，第i

类方法中有mi

种具体的方法，则完成这件事情共有种不同的方法乘法原理：完成一件事情有n

个步骤，第i

个步骤中有mi

种具体的方法，则完成这件事情共有种不同的方法排列

从n个不同的元素中取出m

个(不放回地）按一定的次序排成一排,不同的排法共有全排列种。可重复排列

从n

个不同的元素中可重复地取出m

个排成一排,不同的排法有例某城市的电话号码是八位，假定一个用户只给一个号码，问一共可容纳多少电话用户？号码的末位数是8的用户是多少？组合从n个不同的元素中取出m

个(不放回地）组成一组，不同的组合数记为第一节概率的概念历史上概率的三次定义③公理化定义②统计定义①古典定义概率的最初定义基于频率的定义1930年后由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出设在n

次试验中，事件A

发生了m

次，

频率则称为事件A发生的频率大量试验表明，在多次重复试验中，同一事件发生的频率尽管不一定相同，然而却在某一固定的常数附近摆动，呈现出相对稳定的状态。随着试验次数的增加，这种现象越显著，我们把这种“频率稳定性”称为统计规律性。如历史上，蒲丰、皮尔逊等先后做过抛掷硬币的试验：德.摩根试验者抛掷次数n出现正面的次数m出现正面的频率m/n204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼0.49981499430000抛掷硬币的试验Experimentoftossingcoin历史纪录

概率的统计定义

在大量重复试验中，若事件A发生的频率稳定在某一常数p附近摆动，则把这个数p称为事件A

的概率,记作P(A)＝p.对本定义的评价优点：直观易懂缺点：粗糙模糊不便使用

当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率。从频率的性质可知概率满足：第二节古典概型理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率设随机试验具有如下特征：（1）试验的可能结果只有有限个；（2）各个可能结果出现是等可能的。则称此试验为古典（等可能）概型。

概率的古典定义古典概型中概率的计算：记

则例1设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件。现按以下两种方式随机抽取2件产品（a）有放回抽取，即先任意抽取一件，观察后放回批中，再从中任取一件；（b）不放回抽取，即先任抽一件，抽后不放回，从剩下的产品中再任取一件。试分别按这两种抽样方式求（1）两件都是次品的概率；（2）第一件是次品，第二件是正品的概率。解本题为古典概型。记A＝{两件都是次品}B＝{第1件是次品，第二件是正品}（a）在方式（b）下，例2某城市电话号码升位为六位数，且第一位为6或8，求（1）随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率；（2）随机抽取的电话号码末位数是8的概率。例3（女士品茶问题）一位常饮牛奶加茶的女士称：她能从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶。并且她在10次试验中都正确地辨别出来，问该女士的说法是否可信？分析：判断10试验中每一次她都猜对的可能性有多大，A＝{在10次试验中都能猜出放置牛奶和茶的先后次序}每次试验的结果：先放牛奶后放茶；先放茶后放牛奶。有两种可能。10次试验结果的可能性（样本点总数）：10次都猜对的概率为：该女士猜对的概率非常小，所以她的说法是可信的。例4（抽奖问题）设某超市有奖销售，投放n张奖券只有1张有奖。每位顾客可抽一张。求第k位顾客中奖的概率。解抽奖券是不放回抽样。记A为所求事件的概率，到第k个顾客为止试验的样本点总数为：A所包含的样本点数为：于是：第三节几何概型古典概型只考虑了有限等可能结果的随机试验的概率模型，下面我们进一步研究样本空间为一线段、平面区域或空间立体等的等可能随机试验的概率模型－几何概型。SA1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为2、向区域S上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关。3、设事件A是S的某个区域，它的面积为，则向区域S随机投掷一点，该点落在区域A的概率为几何概率(*)注若样本空间S为一线段或空间立体，则向S“投点”的相应概率仍可用(*)式确定，但应理解为长度或体积。例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，设电台每正点报时一次，他打开收音机时电台还没有报时，求他等待时间短于10分钟的概率。解以分钟为单位，记上一次报时时刻为0，下一次报时时刻为60，于是这个人打开收音机的时间必在(0,60)，记“等待时间少于10分钟”为事件A，则有于是例2甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等待对方20分钟，过时就离开。如果每个人可在一小时内的任意时刻到达，求甲乙双方见面的概率。解记7点为计算时刻的0时，以分钟为单位，x，y分别记为甲乙到达指定地点的时刻，则样本空间为以A表示事件“两人会面”，则有这是一个几何概型问题，于是：第四节概率的公理化定义概率的公理化定义掌握概率的基本性质及概率加法定理数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而承认的前提，这些前提规定了所讨论对象的一些基本关系和所满足的条件，然后以之为基础，推演出所讨论对象的进一步内容。设随机试验的样本空间为，若对每一事件A，有且只有一个实数P(A)以之对应，满足如下公理：公理1（非负性）公理2（规范性）公理3（完全可加性）对任意一列两两互斥事件有则称P(A)为事件A的概率。概率的性质

有限可加性:设

两两互斥,有