微积分4-5(部编)课件

§4.6

曲线的凸性、拐点与渐近线一、曲线的凸性与拐点二、曲线的渐近线观察与思考：

函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？一、曲线的凸性与拐点定义4.2设函数f(x)在区间I上连续.(1)如果曲线y=f(x)上任意两点Ａ、Ｂ连成的弦总在曲线的上方,则称该曲线为凹(或下凸)的,并称区间I为凹(或下凸)区间,记为.(2)如果曲线y=f(x)上任意两点Ａ、Ｂ连成的弦总在曲线的下方,则称该曲线为凸(或上凸)的,并称区间I为凸(或下凸)区间,记为.由于点x1,x2之间任意点x0可表示为

x0=λx1+(1－λ)x2,λ∈(0,1).而弦对应点C的纵坐标可表示为λf(x1)+(1－λ)f(x2).定义设函数f(x)在区间I上连续.对任意与,若有则称曲线y=f(x)为凹(或下凸)的,区间I为凹(或下凸)区间,并称函数f(x)为凹函数;若有则称曲线y=f(x)为凸(或上凸)的,区间I为凸(或上凸)区间,并称函数f(x)为凸函数.区间I可以是任何一种形式的有限区间,也可以是无穷区间.定理4.10设函数f(x)在区间I内二阶可导.(1)若在区间I内有,则曲线y=f(x)在I内凹,用符号表示;(2)若在区间I内有,则曲线y=f(x)在I内凸,用符号表示;证(1)因故在I内单调增加任取和则f(x)在区间[x1,x0],[x0,x2]上满足拉格朗日中值定理条件.于是,存在使得因此,由ξ1<ξ2和单调增加,得由此得而由x0=λx1+(1－λ)x2可得将其代入上式,即得即式(4.13)成立.因此,曲线y=f(x)在I内凹.例4.36求曲线y=x4+6x3+12x2－10x+10的凹区间与凸区间.解

令,得x1=－2,x2=－1.以x1,x2为分界点,将函数的定义域分为三个子区间:(－∞,－2),(－2,－1),(－1,+∞).分别讨论在这三个子区间的符号,并确定曲线在这三个子区间的凸性.曲线的凹区间为(－∞,－2)和(－1,+∞),凸区间为(－2,－1).区间(－∞,－2)(－2,－1)(－1,+∞)+－+定义4.3连续曲线上改变凸性的点称为该曲线的拐点.例4.37求曲线的凹凸区间及拐点.解令,得x1=1;以x1=1,x2=0为分界点,将函数定义域(－∞,+∞)分为三个子区间,讨论函数在各子区间上的凹凸性,在点x2=0,二阶导数不存在.区间(－∞,0)0(0,1)1(1,+∞)－不存在－0+y不是拐点拐点该曲线的凸区间为(－∞,0)和(0,1),凹区间为(1,+∞);拐点为(1,4.6).(3)讨论拐点:若在分界点x0的左、右两侧异号,则点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点;若同号,则(x0,f(x0))不是拐点.判定连续曲线y=f(x)的凸性与拐点的一般步骤是:(1)求出使与不存在的点,并以这些点为分界点,将函数f(x)的定义域划分为若干个子空间;(2)按照定理4.10确定曲线y=f(x)在各子区间上的凸性;二、曲线的渐近线渐近线分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线三种.定义4.4如果曲线y=f(x)上一动点沿曲线无限远离原点时,该动点与直线L的距离趋于0,则称直线L为曲线y=f(x)的渐近线.或(1)如果或则称直线y=C为曲线y=f(x)的水平渐近线.例如,由于,所以y=0(即x轴)为双曲线的水平渐近线.

例如,由于,所以x=0(即y轴)为双曲线的垂直渐近线.(2)如果或则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线.(3)设a,b为常数,且a≠0,如果或则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线.如果曲线y=f(x)有斜渐近线y=ax+b,则由式(4.15)可知,必有以及或或即或或例4.38求曲线的渐近线.解

所以,该曲线的铅垂渐件线为x=1,无水平渐近线,又因故该曲线有斜渐近线:y=x+5.一、曲线的凹向与拐点的定义观察与思考：

函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？

定义4.2如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的。一、曲线的凹向与拐点的定义上凹的下凹的

定义4.3曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。

定义4.2如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的。一、曲线的凹向与拐点的定义拐点上凹的下凹的观察与思考：

曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？二、曲线凹向的判定拐点上凹的下凹的当曲线是上凹时，f

(x)单调增加。当曲线是下凹时，f

(x)单调减少。提示：

定理4.7设函数f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数。(1)当x

(a,b)时，如果f

(x)>0，则曲线y=f(x)在(a,b)内上凹；(2)当x

(a,b)时，如果f

(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内下凹。说明：在拐点左右邻近f

(x)异号，因而在拐点处f

(x)=0或

f

(x)不存在。若f

(x0)=0，则(x0，f(x0))是可能的拐点。讨论：

考察点(0,0)是否是曲线y=x4的拐点。二、曲线凹向的判定例1．求曲线y=x4-2x3+1的凹向与拐点。xy

y(-

,0)0(0,1)1(1,+

)＋0－0＋

1拐点

0拐点

曲线在区间(-

,0)和(1,+

)内上凹；在区间(0,1)内下凹。曲线上点(0,1)和(1,0)是拐点。解：y

=4x3-6x2，令y

=0，得x1=0，x2=1。列表判断：y

=12x2-12x=12x(x-1)。O121yx当x=2时，y

=0，y

不存在。列表判断：曲线在区间(-

,2)内下凹，在区间(2,+

)内上凹。拐点是(2,0)。y

y

x

(-

,2)2(2,+

)－不存在＋

0(拐点)

解：例2．二、曲线的渐近线观察与思考：图中曲线呈现什么样的变化趋势？O246x2468yx2x-1y=1xy=渐近线的定义：

定义4.4如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线。O246x2468yx2x-1y=1xy=二、曲线的渐近线渐近线有水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线之分。渐近线的求法：渐近线y=b。渐近线的求法：渐近线y=b。渐近线的求法：渐近线x=c。

当-®cxlimf(x)=¥，或+®cxlimf(x)=¥时，曲线y=f(x)有垂直

(3)设a,b为常数,且a≠0,如果或则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线.如果曲线y