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文档简介
第四节
幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其敛散性三、幂级数的运算
一、函数项级数的概念定义在区间I上的函数列则由这函数列构成的表达式称为定义在区间I上的(函数)无穷级数,简称(函数项)级数.
对于每一个确定的值,函数项级数(1)成为常数项级数定义
形如的级数,称为(x−x0)的幂级数,均是常数,称为幂级数的系数.称为x的幂级数,它的每一项都是x的幂函数.我们主要讨论这种类型的幂级数.当x0=0时,(1)式变为:
二、幂级数及其敛散性定理2
如果幂级数的系数满足条件:例2
求幂数的收敛半径与收敛区间.对于端点x=1,级数成为交错级数,收敛.对于端点x=1,级数成为:
三、幂级数的运算
如果幂级数的收敛半径分别为R1>0和R2>0,则收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.性质1
如果幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上连续.性质2如果幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积,并有逐项积分公式即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分,并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3
幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内可导,且有逐项求导公式即幂级数在其收敛
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