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文档简介
2020-2021学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷一、选择题(共8小题).1.设有下面四个命题:p1:∃x∈R,x2+1<0;p2:∀x∈R,x+|x|>0;p3:∀x∈Z,|x|∈N;p4:∃x∈R,x2﹣2x+3=0.其中真命题为()A.p1 B.p2 C.p3 D.p42.已知角α终边上一点P的坐标为(﹣1,2),则cosα的值为()A.﹣ B.﹣ C. D.3.对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集,记作A﹣B.若A={x|lnx≤2ln},B={x|x≥1},则A﹣B为()A.{x|x<1} B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<3} D.{x|1≤x≤3}4.下列四个函数中,以π为最小正周期且在区间(,π)上单调递增的函数是()A.y=sin2x B.y=cosx C.y=tanx D.y=cos5.“双十一”期间,甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动,各进行了两次降价.甲平台第一次降价a%,第二次降价b%;乙平台两次都降价%(其中0<a<b<20),则两个平台的降价力度()A.甲大 B.乙大 C.一样大 D.大小不能确定6.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf(x)的图象可能是()A. B. C. D.7.若θ为第二象限角,则﹣化简为()A.2tanθ B. C.﹣2tanθ D.﹣8.已知函数f(x)=,若函数y=f(f(x))﹣k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是()A.(1,4) B.(1,4] C.[1,4) D.[1,4]二、多项选择题(共4小题).9.已知幂函数f(x)的图象经过点(3,),则()A.f(x)的定义域为[0,+∞) B.f(x)的值域为[0,+∞) C.f(x)是偶函数 D.f(x)的单调增区间为[0,+∞)10.为了得到函数y=cos(2x+)的图象,只要把函数y=cosx图象上所有的点()A.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍 B.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的倍 C.横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度 D.横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度11.已知实数a,b,c满足0<a<1<b<c,则()A.ba<ca B.logba>logca C.< D.sinb<sinc12.高斯是德国著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[﹣2.1]=﹣3,[2.1]=2.已知函数f(x)=sin|x|+|sinx|,函数g(x)=[f(x)],则()A.函数g(x)的值域是{0,1,2} B.函数g(x)是周期函数 C.函数g(x)的图象关于x=对称 D.方程•g(x)=x只有一个实数根三、填空题(共4小题).13.函数f(x)=+lg(2﹣x)的定义域为.14.关于x的方程sinx+x﹣3=0的唯一解在区间(k﹣,k+)(k∈Z)内,则k的值为.15.已知a,b为正实数,且ab+a+3b=9,则a+3b的最小值为.16.当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A,按照上述变化规律,生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是,考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究,发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%,则可以推测该生物的死亡时间距今约年.(参考数据:lg2≈0.3)四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在条件①=;②4sin2A=4cosA+1;③sinAcosAtanA=中任选一个,补充在下面的问题中,并求解.已知角A为锐角,_____.(1)求角A的大小;(2)求sin(π+A)cos(﹣A)的值.18.(12分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x||x﹣a|<1}.(1)当a=3时,求A∪B;(2)设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象经过点(,),其最大值与最小值的差为4,且相邻两个零点之间的距离为.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[0,π]上的单调增区间.20.(12分)已知定义在R上的函数f(x)=2x+k•2﹣x(k∈R).(1)若f(x)是奇函数,求函数y=f(x)+f(2x)的零点;(2)是否存在实数k,使f(x)在(﹣∞,﹣1)上调递减且在(2,+∞)上单调递增?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.21.(12分)经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的数据关系如表:v406090100120Q5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.(1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;(2)已知某高速公路共有三个车道,分别是外侧车道、中间车道和内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120](单位:km/h),问:该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小?22.(12分)已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2,若足对任意x0∈D1,恰好存在n个不同的实数x1,x2…,xn∈D2,使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2,……,n,n∈N*),则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数.”(1)判断g(x)=|x﹣1|(x∈[0,4])是否为f(x)=x+2(x∈[0,1])的“n重覆盖函数”,如果是,求出n的值;如果不是,说明理由.(2)若g(x)=为f(x)=的“2重覆盖函数”,求实数a的取值范围;(3)若g(x)=sin(ωx﹣)(x∈[0,2π])为f(x)=的“2k+1重覆盖函数”(其中k∈N),请直接写出正实数ω的取值范围(用k表示)(无需解答过程).
参考答案一、单项选择题(共8小题).1.设有下面四个命题:p1:∃x∈R,x2+1<0;p2:∀x∈R,x+|x|>0;p3:∀x∈Z,|x|∈N;p4:∃x∈R,x2﹣2x+3=0.其中真命题为()A.p1 B.p2 C.p3 D.p4解:设有下面四个命题:对于p1:∃x∈R,x2+1<0不成立,故该命题为假命题;p2:∀x∈R,当x<0时,x+|x|=0,故该命题为假命题;p3:∀x∈Z,|x|∈N,该命题为真命题;p4:∃x∈R,由于x2﹣2x+3=0中△=4﹣12=﹣8<0,故不存在实根,故该命题为假命题;故选:C.2.已知角α终边上一点P的坐标为(﹣1,2),则cosα的值为()A.﹣ B.﹣ C. D.解:由题意,点(﹣1,2)到原点的距离是,=故cosα==﹣故选:B.3.对于集合A,B,我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集,记作A﹣B.若A={x|lnx≤2ln},B={x|x≥1},则A﹣B为()A.{x|x<1} B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<3} D.{x|1≤x≤3}解:集合A={x|lnx≤2ln}={x|0<x≤3},B={x|x≥1},A﹣B={x|0<x<1}.故选:B.4.下列四个函数中,以π为最小正周期且在区间(,π)上单调递增的函数是()A.y=sin2x B.y=cosx C.y=tanx D.y=cos解:函数y=sin2x的周期为,又x∈(,π),则2x∈(π,2π),所以y=sin2x在区间(,π)上不是单调递增,故选项A错误;函数y=cosx的周期为2π,故选项B错误;函数y=tanx的周期为π,且在区间(,π)上单调递增,故选项C正确;函数的周期为,故选项D错误.故选:C.5.“双十一”期间,甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动,各进行了两次降价.甲平台第一次降价a%,第二次降价b%;乙平台两次都降价%(其中0<a<b<20),则两个平台的降价力度()A.甲大 B.乙大 C.一样大 D.大小不能确定解:由题意可知,甲平台的降价力度为:1﹣(1﹣a%)(1﹣b%),乙平台的降价力度为:1﹣(1﹣%)2,作差得:[1﹣(1﹣a%)(1﹣b%)]﹣[1﹣(1﹣%)2]=(%)2﹣a%•b%=﹣2<0,所以乙平台的降价力度大,故选:B.6.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数y=xf(x)的图象可能是()A. B. C. D.解:由图象可知,函数f(x)是偶函数,则y=xf(x)为奇函数,则图象关于原点对称,排除C,D,在原点的右侧,函数值为先负后正,故排除B,故选:A.7.若θ为第二象限角,则﹣化简为()A.2tanθ B. C.﹣2tanθ D.﹣解:∵θ为第二象限角,∴sinθ>0,∴原式=﹣=﹣==﹣.故选:D.8.已知函数f(x)=,若函数y=f(f(x))﹣k有3个不同的零点,则实数k的取值范围是()A.(1,4) B.(1,4] C.[1,4) D.[1,4]解:函数f(x)=,当x时,f(f(x))=(x2﹣3)2﹣3,当时,f(f(x))=﹣(x2﹣3)+1,当x<0时,f(f(x))=(﹣x+1)2﹣3,作出函数f(f(x))的图象可知,当1<k≤4时,函数y=f(f(x))﹣k有3个不同的零点.∴k∈(1,4].故选:C.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知幂函数f(x)的图象经过点(3,),则()A.f(x)的定义域为[0,+∞) B.f(x)的值域为[0,+∞) C.f(x)是偶函数 D.f(x)的单调增区间为[0,+∞)解:设幂函数f(x)=xa,∵f(x)过点(3,),∴3a=,a=,∴f(x)=,故函数的定义域是[0,+∞),A正确,C错误,值域是[0,+∞),B正确,D正确,故选:ABD.10.为了得到函数y=cos(2x+)的图象,只要把函数y=cosx图象上所有的点()A.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍 B.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的倍 C.横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度 D.横坐标变为原来的倍,再向左平移个单位长度解:把函数y=cosx图象上所有的点向左平移个单位长度,可得y=cos(x+)的图象;再将横坐标变为原来的倍,可得y=cos(2x+)的图象.或把函数y=cosx图象上所有的点横坐标变为原来的倍,得到y=cos2x的图象;再向左平移个单位长度,可得y=cos(2x+)的图象.故选:BC.11.已知实数a,b,c满足0<a<1<b<c,则()A.ba<ca B.logba>logca C.< D.sinb<sinc解:因为实数a,b,c满足0<a<1<b<c,则函数y=xa为单调递增函数,所以ba<ca,故选项A正确;不妨取,则logba=,logca=,所以logba<logca,故选项B错误;不妨取,则,,所以,故选项C正确;因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确定,故sinb和sinc无法比较大小,故选项D错误.故选:AC.12.高斯是德国著名数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[﹣2.1]=﹣3,[2.1]=2.已知函数f(x)=sin|x|+|sinx|,函数g(x)=[f(x)],则()A.函数g(x)的值域是{0,1,2} B.函数g(x)是周期函数 C.函数g(x)的图象关于x=对称 D.方程•g(x)=x只有一个实数根解:f(﹣x)=sin|﹣x|+|sin(﹣x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),所以f(x)是偶函数,而sin|x|不是周期函数,|sinx|为周期函数,对于x>0,当2kπ<x<π+2kπ时,f(x)=2sinx,当π+2kπ<x<2π+2kπ时,f(x)=0,所以g(x)=,k=0,±1,±2,…,故A正确,由f(x)是偶函数,则g(x)为偶函数,x>0时,f(x)成周期性,但起点为x=0,所以g(x)在(﹣∞,+∞)上不是周期函数,故B不正确;函数g(x)的图象关于x=0对称,不关于x=对称,故C不正确;,当x=0时,g(0)=0,当x=时,g()=1,与g(x)只有(0,0)交点即方程•g(x)=x只有一个实数根,故D正确.故选:AD.三、填空题(共4小题).13.函数f(x)=+lg(2﹣x)的定义域为[1,2).解:要使函数的解析式有意义,自变量x须满足:解得:1≤x<2.故函数的定义域为[1,2)故答案为[1,2)14.关于x的方程sinx+x﹣3=0的唯一解在区间(k﹣,k+)(k∈Z)内,则k的值为2.解:设f(x)=sinx+x﹣3,f()=sin+﹣3=sin﹣<0,f()=sin+﹣3=sin﹣=sin﹣sin>0,(,所以sin>sin).由零点定理知,f(x)在区间(,)内一定有零点,所以k=2.故答案为:2.15.已知a,b为正实数,且ab+a+3b=9,则a+3b的最小值为6.解:因为a,b为正实数,且ab+a+3b=9,所以a+3b=9﹣ab=9﹣,当且仅当a=3b时取等号,解得,a+3b≥6或a+3b≤﹣18(舍),则a+3b的最小值为6.故答案为:6.16.当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.若生物体内原有的碳14含量为A,按照上述变化规律,生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是y=A•,考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究,发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%,则可以推测该生物的死亡时间距今约3820年.(参考数据:lg2≈0.3)解:由题意知,y=A•,当y=62.5%A时,有62.5%A=A•,即=,∴===log28﹣log25=3﹣=3﹣≈,∴x=3820,∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年.故答案为:y=A•;3820.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在条件①=;②4sin2A=4cosA+1;③sinAcosAtanA=中任选一个,补充在下面的问题中,并求解.已知角A为锐角,_____.(1)求角A的大小;(2)求sin(π+A)cos(﹣A)的值.解:若选择条件①,(1)由于=,可得14sinA﹣7cosA=3sinA+4cosA,可得sinA=cosA,即tanA=1,因为A为锐角,可得A=;(2)sin(π+A)cos(﹣A)=(﹣sinA)cos(1010π+﹣A)=﹣sin2A=﹣.若选择②,(1)由于4sin2A=4cosA+1,4(1﹣cos2A)=4cosA+1,可得4cos2A+4cosx﹣3=0,解得cosA=,或﹣(舍去),因为A为锐角,可得A=.(2)sin(π+A)cos(﹣A)=(﹣sinA)cos(1010π+﹣A)=﹣sin2A=﹣.若选择③,(1)因为sinAcosAtanA=sin2A=,可得sinA=,或﹣,因为A为锐角,sinA>0,可得sinA=,可得A=;(2)sin(π+A)cos(﹣A)=(﹣sinA)cos(1010π+﹣A)=﹣sin2A=﹣.18.(12分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x||x﹣a|<1}.(1)当a=3时,求A∪B;(2)设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.解:由题意得,A={x|﹣1<x<3},B={x|a﹣1<x<a+1}.(1)a=3时,B={x|2<x<4},∴A∪B={x|﹣1<x<4}=(﹣1,4).(2)因为p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要不充分条件,则A⫋B,所以(等号不能同时成立),经验证a≠2,解之得0≤a<2,所以实数a的取值范围是[0,2).19.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象经过点(,),其最大值与最小值的差为4,且相邻两个零点之间的距离为.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[0,π]上的单调增区间.解:(1)由题意可得A=2,T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ),又图象经过点(,),所以f()=2sin(2×+φ)=,即sin(+φ)=,因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin(2x+).(2)令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z,再根据x∈[0,π],可得函数的单调增区间为[0,],[,π].20.(12分)已知定义在R上的函数f(x)=2x+k•2﹣x(k∈R).(1)若f(x)是奇函数,求函数y=f(x)+f(2x)的零点;(2)是否存在实数k,使f(x)在(﹣∞,﹣1)上调递减且在(2,+∞)上单调递增?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(﹣x)=﹣f(x),即2﹣x+k•2x=﹣2x﹣k•2﹣x,可得k=﹣1,所以f(x)=2x﹣2﹣x,令y=f(x)+f(2x)=2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x=0,即(2x﹣2﹣x)(1+2x+2﹣x)=0,所以2x﹣2﹣x=0,解得x=0,即函数y=f(x)+f(2x)的零点为x=0.(2)当k≤0时,函数f(x)=2x+k•2﹣x在R上单调递增,不符合题意;当k>0时,令t=2x,当x∈(﹣∞,﹣1)时,t∈(0,),当x∈(2,+∞)时,t∈(4,+∞),因为f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减且在(2,+∞)上单调递增,所以g(t)=t+在(0,)上单调递减且在(4,+∞)上单调递增,所以≤≤4,解得≤k≤16,故存在实数k∈[,16]使f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减且在(2,+∞)上单调递增.21.(12分)经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)、百公里耗油量W(单位:L)与速度v(单位:km/h)(40≤v≤120)的数据关系如表:v406090100120Q5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择Q(v)=0.5v+a,Q(v)=av+b,Q(v)=av3+bv2+cv.(1)请填写表格空白处的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;(2)已知某高速公路共有三个车道,分别是外侧车道、中间车道和内侧车道,车速范围分别是[60,90),[90,110),[110,120](单位:km/h),问:该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小?解:(1)填表如下:v406090100120Q5.268.3251015.6W13109.251013由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时,v都可取,三种模型都满足,且该函数模型应为增函数,所以第一种函数模型不符合,若选择第二种模型,代入(40,5.2),(60,6),得,解得,则Q(v)=0.04v+3.6,此时Q(90)=7.2,Q(100)=7.6,Q(120)=8.4,与实际数据相差较大,所以第二种模型不符合,经观察,第三种函数模型最符合
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