高中数学选择性必修二 5.3.1.1 函数的单调性与导数

5.3.1.1函数的单调性与导数

共同基础•系统落实课前自主学习，基稳才能楼高

GONGTONGJICHUXITONGLUOSHI

要点导数与函数的单调性

在某个区间(0加内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:

导数函数的单调性

f(x)>0单调递增

(x)<0单调递减

/(x)=0常数函数

【重点小结】

(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类

似).

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的xd(a,b)都有f'(x)20且在(a,b)内的任一非空子区间上f'(x)不

恒为0.

【基础自测】

1.判断正误(正确的画“，错误的画“X”)

(1)函数兀0在定义域上都有，(x)<o,则函数式x)在定义域上单调递减.()

(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.()

(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.()

(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点/(x)=0,不影响函数在此区间的单调性.()

【答案】(1)X(2)X(3)V(4)V

2.函数y=/(x)的图象如图所示，则()

A.f(3)>0

B.⑶<0

C.f(3)=0

D./(3)的符号不确定

【答案】B

【解析】由图象可知，函数人》在(1,5)上单调递减,则在(1,5)上有/U)<0,所以(3)<0.

3.导函数y=/'(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)的图象可能是()

44

ABCD

【答案】D

【解析】•/当x>0时，/(x)>0,当x<0时，f(x；1<0,函数«r)在(0,+8)上是增函数，在(一8,0)上是

减函数，故选D.

4.命题甲：对任意b),有，(x)>0；命题乙：/U)在(a,6)内是单调递增的，则甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】例如取_Ax)=V(—则Xx)：%3在(-1,1)内是单调递增的，但/(x)=3f>0(-1GV1),故甲

是乙的充分不必要条件.

题型一导函数与原函数图象间的关系

【例1】(1)设函数兀V)在定义域内可导，段)的图象如图所示，则导函数，(X)的图象可能为()

【答案】⑴D

【解析】(1)由式X)的图象可知，y=y(x)在(-8,0)上是增函数，因此在x<0时，有/'(x)>0(即全部在x轴上

方)，故排除A,C.从原函数图象上可以看出，在区间(0,xi)上原函数是增函数，f(x)>0；在区间(xi,及)

上原函数是减函数，/(x)<0;在区间(右，+8)上原函数是增函数，/(尤)>0,故排除B,故选D.

(2)(多选题)设/(x)是函数段)的导函数，将y=/(x)和)，=/(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，正确

的是()

【答案】⑵ABC

【解析】(2)A,B,C均有可能；对于D,若Ci为导函数，则y=/(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，

则y=/(x)应为减函数，也不符合，D不可能，故选ABC.

【方法归纳】

函数与导数图象间的关系

判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注

意以下两个方面：

(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a,6)内，若/'(x)>0,则y=«x)在(。，6)上单调递

增；如果/(x)<0,则y=/(x)在这个区间上单调递减；若恒有，(x)=0,则)，=/(x)是常数函数，不具有单

调性.

（2）导数与函数图象的关系

函数值增加得越来越快函数值增加得越来越慢

，（x）＞0且越来越大，（x）＞0且越来越小

函数值减少得越来越快函数值减少得越来越慢

，（x）＜0且越来越小，（x）＜0且越来越大

绝对值越来越大绝对值越来越小

【跟踪训练1】（1）函数y=/U）的导函数y=/（x）的图象如图所示，则函数y=/（x）的图象可能是（)

【答案】⑴D

【解析】（1）当，（x）＜0时，函数兀v）单调递减，当，（x）＞0时，函数兀0单调递增，则由导函数y=/（x）的

图象可知：式外先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A、C,且，（0）＞0,所以在

x=0附近函数应单调递增，排除B.故选D.

【答案】（2）D

【解析】（2）当x＞0时，y=x-f（x）^［0,4上恒大于等于零=邛（x）-0,在［0,加上恒成立，故式力在［0,h］

上递增，当xWO时，，（x）W0在（-8,0］上恒成立，故/U）在（-8,0］上递减，只有D满足，故选D.

题型二用导数研究不含参数的函数单调性

【例2】判断下列函数的单调性

(l)/(x)=x2—Inx；

(2)兀1)=*

(3加x)=/+：.

【解析】(1)函数y(x)的定义域为(o,+8)

「，、C1(g-l)(g+1)

fST卞x

因为x>0,所以g+l>0

令/(x)>0,解得x>堂

所以函数./U)在pg,+8)上单调递增，

令，(x)<0,解得0a

所以函数Nx)在(0,乎)上单调递减.

(2)函数式尤)的定义域为(一8,2)U(2,+8)

,e\x~2)~exe'(x-3)

f(x)=(X—2)2=正工7

因为xG(-8,2)u(2,+°°),所以e'O,(X-2)2>0

令，(x)>0,得x>3,所以函数段)在(3,+8)上单调递增;

令/(x)<0,得x<3,又xW(—8,2)U(2,+8)

所以函数/U)在(一8,2)和(2,3)上单调递减.

(3)函数兀0的定义域为(一8,0)U(0,+8)

31

f(X)--3A2—3(^—^)

令f(x)>0,得x<—1或x>l,

所以函数y(x)在(一8,—1)和(1,+8)上单调递增；

令，(x)<0得一1<X<1且x#0,

所以函数7U)在(-1,0)和(0,1)上单调递减.

【方法归纳】

用导数判断函数单调性的步骤

(1)确定函数凡r)的定义域；

(2)求导函数，(x);

(3)解不等式/(x)>0(或/(x)<0);

(4)写出结论.

【跟踪训练2]⑴已知函数外)=xlnx,xG(0,5),下列判断正确的是()

A.在(0,5)上是增函数

B.在(0,5)上是减函数

C.在(0,3上是减函数，在(，5)上是增函数

D.在(0,J上是增函数，在(，5)上是减函数

【答案】⑴C

【解析】(1)由7(x)=xlnx,可得，(x)=lnx+x*=lnx+l.由，(x)>0且xC(0,5),可得［<v<5；由/'(x)<0,

可得0<x$,所以函数兀o在(0,3上是减函数，在(，5)上是增函数，故选C.

(2)函数式x)=sinx—x在(0,兀)上单调.(填“递增”、“递减”).

【答案】(2)递减

【解析】(2)因为y(x)=sinx—x,x£(0,兀)

所以(x)=cosx—l<0.

所以函数/U)=sinx—x在(0,兀)上单调递减.

题型三用导数研究含参函数的单调性

【例3】已知函数#外二却2—(〃+l)x+lnx,a>0,试讨论函数K0的单调性.

【解析】函数的定义域为(0,+8),

/(x)=ox-(r/+l)+-=----—=----------f~>

①当0<4<1时，->1,

.••xG(0,l)和《，+8)时，/*)>0；

XG0,£)时，f(x)<0,

...函数4x)在(0』)和g,+8)上单调递增，在(1,力上单调递减；

②当。=1时，5=1,(x)》0在(0,+8)上恒成立，

...函数兀0在(0,+8)上单调递增；

③当a>l时，.,.xe(o,：)和(1,+8)时，f(x)>o；

xwR1)时，/(x)<0,

...函数火X)在(o,0和(I,+8)上单调递增，在己，1)上单调递减，综上，当0<〃<1时，函数次X)在(0,1)和

色，十8)上单调递增，在0,力上单调递减；

当”=1时，函数人X)在(0,+8)上单调递增；

当A1时，函数ZU)在(0,5和(1,+8)上单调递增，在七，1)上单调递减.

【变式训练】本例中的条件“。>0”改为“aGR”，结果如何？

【解析】a>0时，讨论同上；当aWO时，1<0,

.,.xG(0,l)时，f(x)>0,xG(l,+8)时，f(X)<O,

.•.函数段)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

综上，当aWO时，函数兀0在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；当0<“<1时，函数共X)在(0,1)和6，

+8)上单调递增，在(1,5)上单调递减；当。=1时，函数y(x)在(0,+8)上单调递增；

当”>1时，函数人划在［0,9和(1,+8)上单调递增，在1)上单调递减.

【方法归纳】

在讨论含有参数的函数单调性时，若/(X)中的参数不容易判断其正负时，需要对参数进行分类，分类的标

准：

(1)按导函数是否有零点分大类；

(2)在大类中再按导数零点的大小分小类；

(3)在小类中再按零点是否在定义域中分类.

【跟踪训练3】已知函数yU)=e，(e，一〃)一次工，讨论人幻的单调性.

【解析】函数/U)的定义域为(一8,十8),

f'(x)=eA(ex-a)+ev-eA—/=2e2—aev—a2

=(2e'+〃)(eX-a).

①若。=0,则yu)=e巴在(-8,+8)上单调递增.

②若〃>0,则由/(x)=0得x=lna

当xW(—8,Ina)时，f(x)<0；

当xe(lna,+8)时，f(x)>0.

故兀0在(-8,Ea)上单调递减,

在(Ina,+8)上单调递增.

③若。<0,则由fr(1)=0得x=ln(—/).

当XG(-8,in(一初时,f(x)<0；

当xe(ln(—9，+8)时，/(x)>0.

故/(x)在(一8,ln(一上单调递减，

在(ln(—彳)，+8)上单调递增.

【易错辨析】讨论函数单调性时忽略定义域致错

【例4】已知函数"v)=自，判断函数人x)的单调性.

【解析】函数_/u)的定义域为(o,i)u(i,+8),

zInx—1

j(/二(lnx)2・

由f(x)—0,可得x=e.

则当0<x<l或l<x<e时，

f(x)<o,y(x)为减函数;

当x>e时，f(x)>0,7U)为增函数.

夯基提能•落实素养课后层级训练，步步提升能力

HANGJITINENGLUOSHISUYANG

一、单选题

1.已知/(X)是定义在R上的函数，那么"/")在R上单调递减”是“存在%eR,使得<(%)<0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】

根据函数的单调性和导数的关系即可判断充分条件成立，通过举反例/(x)=x“可以证明必要条件不成立，

由此即可得到结果.

【解析】

因为F(X)在/?上单调递减，所以f'(x0)MO在R上恒成立，故存在x°eR,使得广(%)<0成立；

反之，若/0)=/，则/呢%)=41，存在使得尸(%)<0,而/(X)在R上既不是增函数也不是减函

数；所以/(x)是定义在R上的函数，那么"/(x)在R上单调递减”是"存在XoWR,使得/(/)<()"的充分不

必要条件.

故选：A.

2.设函数,/•*)=1门-3改2在(1,”)上单调递减，则实数a的取值范围是()

A.(0,1]B.[1,+co)C.(0,1)D.

【答案】B

【分析】

根据题意，容易判断r(x)2-arW0在(1,田)上恒成立，进而分离参数转化为最值问题，最后求出答案.

X

【解析】

由题意，r(x)=1-依40在。,3)上恒成立，则在(1,行)上恒成立，因为-Ve(O,l),所以a21.

XXX

故选：B.

3.设函数在R上存在导数尸(x),对任意的xeR有/'(x)>x,若一女，贝必的取

值范围是()

A.(7,0]B.(-00，；C.(0,(D.

【答案】B

【分析】

构造函数g(x)=f(x)-]/,可得g(x)有,进而求解不等式即可.

【解析】

由题意xeR,/,(x)>x,构造函数g(x)

则g'(x)=r(x)-x>0,得g(x)在R上单

得g(l-劝—g伏)20,即g(l—4Ng伏),

根据函数g(x)在R上单调递增，

所以女的取值范围是18，；

故选：B

)

y

B.

Ox

【答案】D

【分析】

先判断函数为偶函数，再根据导数判断出函数的单调性后可得正确的选项.

【解析】

f(X)=^――的定义域为(9,0)U(o,+w),

IxI

而”一)=彳£=/(力，故/(X)为偶函数，故排除AC,

IxI

当x>0时，f(x)=C^,则/⑴=0—,

XX

设5(无)=(%-1)/-(％+1”7,x>0,

则S，(x)=x(/+er)>0,故S(x)在(0,+?)上为增函数，

而S⑴=-2«一|<0,5出=/—：>0,故5(幻在(0,+?)上存在一个零点七,

且I<%<2,

当X€(0,x())时，f(x)<0；当xe(%,+oo)时，f'(x)>0,

故/(x)在(0,%)上为减函数，在(瓦,+8)上为增函数，

故选：D.

5.函数/(x)=2020x+sin2x,若满足/(/+x)+/(lT)20恒成立，则实数f的取值范围为()

A.[2,+00)B.[l,+oo)C.1-8,,D.

【答案】C

【解析】

0/(-%)=-2020x-sin2x=-f(x),且fr(x)=2020+2cos2x>0,

团函数/(x)为单调递增的奇函数.

于是，f(x2+x)+f(lT)20可以变为f(x2+x)...—/(lT)=/(t-l),

.(1A2333

BpX2+X>z—1,0Z<X2+X+1，ffijx2+X4-1=x+—+—>—9可知实数fK：,

{2；444

故实数r的取值范围为1-83.

故选：c.

6.已知定义在R上的可导函数/(x),对任意的实数x,都有/")-/(-x)=4x,且当xe(O,y)时，

f'(x)>2恒成立，若不等式”a)-/(l-a)22(2a-l)恒成立，则实数。的取值范围是()

A.[-p°)B.网二,8,；)D.[；,+8)

【答案】D

【分析】

由题意可得.f(x)-x=/(-x)-(-x),令尸(x)=/(x)-2x,根据奇偶性的定义，可得F(x)为偶函数，利用导

数可得尸(x)的单调性,将题干条件化简可得/3)-2。*川-a)-2(1-°),即尸(a)*尸(1—a),根据F(x)的

单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.

【解析】

由/(x)-/(—x)=4x,得f(x)-2x=f(-x)-2(-x),

记尸(x)=f(x)-2x,则有F(x)=F(-x),即F(x)为偶函数，

又当xe(0,一)时，f"(x)=尸(幻一2>0恒成立，

所以尸(刈在(0,”)上单调递增，

所以由/(。)一/(1一。)22(2。—1),得/(a)-2aN/(l-a)-2(l-a),

即F(a)>b(1-a)oF(\a|)..F(|1—a|),

所以⑷…即a2±i+/_2a,解得a.g,

故选：D.

7.下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在(-8,0)上单调递增的是()

-x+e*

A.f(x)=xcosxB.f(x)=―e--

C./(x)=3x-2sinxD.f(x)=x3-x

【答案】C

【分析】

根据函数的奇偶性和导函数，逐项分析各函数即可得出答案.

【解析】

选项A中，尸(x)=cosx-xsinx.J'(x)在(…⑼上不恒非负，选项A错误；

选项B中，==/(》)，所以f(x)的图像不关于原点对称，选项B错误;

选项C中，/(-x)=-3x-2sin(-x)=-/W>即/(x)为奇函数，图像关于原点对称

又/'(x)=3-2cosx,x<0时，/'(x)>0恒成立

所以〃x)在(—,0)上单调递增，选项C正确;

选项D中，/'(旬=3--1当x<0时，f(x)在-8,-#上为单调增函数在一号,0上为单调减函数,

\/\7

选项D错误.

故选：C.

巴x>a

8.已知函数〃x)=e，'-'若存在三个不相等的实数占，%X,,使得/&)=/(々)=/(电)，则实数

x+l,x<a,

«的取值范围是()

A.B.(-U)C.[0,1)D.(0,1]

【答案】B

【分析】

构造函数)，=三，求导后判断其在(9,1)上单调递增，在(1，­)上单调递减，从而做出图像分析交点情况可

得出答案.

【解析】

解：

.•e(l-x)

..y=--------

e*

当x<l时，y>0,>=片单调递增；

e

AV

当%>1时，y<0,y=-7单调递减；

e

故当X=1时，函数y==取得最大值1,由此可作出f(x)的图像.

e

存在三个不相等的实数为，%,x3,使得/(5)=/(々)=/(玉)等价于一条垂直于y轴的直线，与f(x)的图

像有三个不同的交点.

当时，如图，最多有两个交点，不符合题意.

所以。的取值范围

故选：B

二、多选题

9.若则下列结论一定正确的是()

A.0<—<yB.ea—a<eh—b

ab

C.2W<4hD.4“<2〃

【答案】BC

【分析】

对选项A,利用作差法比较即可判断A错误，对选项B,首先构造/(x)=e*-x,再根据/(x)的单调性即可

判断B正确，对选项C,根据2"<2%，2”<4",即可判断C正确，对选项D,利用特殊值即可判断D错误.

【解析】

因为l<e"<e",所以e°<e"</,即6>a>0.

对选项A,1一!=岁，因为b>a>0,所以1一:=字>0,

abababab

即！>2,故A错误.

ab

对选项B,设/(x)=e'—x,f\x)=ex-\,

因为xe(O,M)时，r(x)>0,所以.f(x)为增函数，

因为匕>4>0,所以/(。)</9)，即e"-a</-6,故B正确.

对选项C,因为6>。>0,所以2"<2"，

又因为2"<4〃，所以2"<4J故C正确.

对选项D,因为b>a>0,当6=2,a=l时，半=2”，

故D错误.

故选：BC

10.如果函数y=/(x)在区间I上是增函数，且丛。在区间I是减函数，那么称函数.v=f(x)是区间I上

X

的"缓增函数"，区间I叫做“缓增区间”.则下列函数是区间［1,向上的“缓增函数"的是()

A./(x)=eAB./(x)=lnx

C./(x)=d-2x+3D./(x)=-x2+2\/3x+3

【答案】CD

【分析】

根据题意依次判断选项中函数/(X)和)，=£?在区间［1,若］上的单调性即可得到答案.

【解析】

对选项A,〃x)=e，在［1,6］单调递增，

设g(x)=/H=C,g，(x)=*R,

XXX

g(x)为增函数,故A错误；

对选项B,〃x)=lnx在［1,6］单调递增，

设/7(x)=§=(，〃(x)=l^A,

xe［l,百］,〃(尤)>0,/?(x)为增函数，故B错误；

对选项C,“司=/一2；1+3在［1,6］单调递增，

设&(x)=〃x)=苫_2+▲,k，(x)=x23,

xe［l,百］,&'(x)<0,k(x)为减函数,故C正确;

对选项D,7(Mu-d+zGx+B在［1,6］单调递增，

设q(x)==-x+2拒+»,q\x)=-\--^,

"(x)<0,q(x)为减函数，故D正确.

故选：CD

11.已知函数f(x)=e'cosx,则下列有关/(x)的叙述正确的是()

7T

A.在x=0处的切线方程为y=x+lB.在一万,0上是单调递减函数

C.x=?是极大值点D.在-法上的最小值为0

【答案】ACD

【分析】

求出导函数，利用导数的几何意义可判断A；利用导数与函数单调性之间的关系可判断B；利用极大值点的

定义可判断C；利用极值以端点值可判断D.

【解析】

/(X)=e*cosx,f(x)=ex8sx-e"sinx=ex(cosx-sinx),

A,"0）=1,/'（0）=1-0=1,

所以函数在X=o处的切线方程为y-l=x-0,即y=x+i,A正确；

B,/'(x)=e*(cosx-sinx),当xe-y,0时，则cosx>sinx,

/.cosx-sinx>0,「.ra)〉。，所以函数在一于。上是单调递增函数，B错误;

C,f(x)=ex(cosx-sinx),当xw0,?时,cosx>sinx,/f(x)>0；

当xw—时，cosx<sinx,/'(X)<O;

7C~\「44

所以函数在0,-上单调递增；在上单调递减；

L4J|_42J

所以尤=£是极大值点，c正确；

4

D,由B、C可知，当xe时，Z(x)>0,函数单调递增；

■7TTT

当xe时，尸(司<0,函数单调递减；

TC71

所以函数在一万,万上的最小值为0,D正确.

故选：ACD

第H卷(非选择题)

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三、填空题

12.已知函数/(x)=x+alnx+V在(0,1)上存在单调递增区间，则“的取值范围是.

【答案】(弓，1)

【分析】

由f(x)在(0,1)上存在单调递增区间，,/''(x)"在(0,1)有解，则求解即可.

【解析】

因为/(x)=x+alnx+,在(0,1)上存在单调递增区间，

所以尸(力=]+且_驾=、+匕-2片却在(0,1)有解,

XXX

令g(x)=x2+OX-2672,则g(0)=-2a之<0,g⑴=1+白一2片>0

得」<6Z<1

2

故答案为：13』]

13.已知函数"x)="sinx-次在(-兀,0)上单调递增，则实数。的取值范围.

【答案】1

【分析】

首先求导/'3=«飞山x+，8$光-4,根据题意得到xw(f,0),e*sinx+e*cosx—a20恒成立，再利用导

数求解最值即可得到答案.

【解析】

/(x)=elsinx-av,/'(x)=e*sinx+e*cosx-a,

因为函数/(x)=e*sinx-or在(-兀,0)上单调递增，

所以xe(一肛0),e，sinx+e*cosx—aN0恒成立，

即XG(-万,0),a4e*(sinx+cosx)恒成立,

设g(x)=，(sinx+cosx),

g'(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx,

xe卜乃g,x)<0,g(x)为减函数，

x《go),g［x)>0,g(x)为增函数，

所以g(x)而“={-£)=-”，EPa<_3.

fw

故答案为：-oo,-e2

I.

14.若函数〃X)=；/-2/+6+10在区间［7,4］上具有单调性，则a的取值范围是.

【答案】(口,一16］32，位)

【分析】

对函数“X)求导，将函数/(力在区间［T,4］上具有单调性，转化为f'(x)在区间［T,4H亘大于0,或恒小于

0,进而求出。的取值范围

【解析】

f\x')=2x2-4x+a,函数/(x)在区间［-1,4］上具有单调性等价于r(x)=2d-4x+aV0或

/'(x)=2/—4x+a20在卜1,4］上恒成立，

222

则a<(-2x+4x%n或a2(-2/+人)…,设g(x)=-2x+4x=-2(x-l)+2,

当x=l时，g(x)取得最大值,g(x)1rax=g(l)=2,当x=4时,g(x)取得最小值,g(xL=g(4)=-16

所以。4-16或aN2.

故答案为