高一（下）期末数学试卷

高一（下）期末数学

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）

1,若stria<0且tana>0,贝!]口是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.已知向量瓦?=G，苧），反5则NA8C=（）

A.30°B,45°C.60°D,120°

3.函数/（%）=（V3sinx+cosx）（V3cosx—sin%）的最小正周期是（）

A.]B.nC.yD.2兀

4.样本Qi，久2…,*n）的平均数为元，样本（为,n）的平均数为歹（元大克）■若样本

。1，*2…,…，%n）的平均数2=aT+（1—a）歹，其中0<a<：则小机

的大小关系为（）

A.n<mB.n>mC.n—mD.不能确定

5.在A4BC中，已知a=x,b=2,B=45°,如果三角形有两解，则尤的取值范围

是（）

A.2<x<2V2B.x<2V2C.V2<x<2D.0<%<2

6.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒,若一名行

人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）

B.|C.|D4

7.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是

（）

A.至少有一个红球与都是红球

B,至少有一个红球与都是白球

C.至少有一个红球与至少有一个白球

D.恰有一个红球与恰有二个红球

8.函数y=Asin(a)x+9)(Z>0,\(p\<7i,a)>0)的部分图

象如图所示，则()

A.y=2sin(2x--)

B.y=2sin(2x-

C.y=2s讥(％+-)

6

D.y=2sin(x+~)

9.已知函数f(%)=sin2等+js出3%—*3>0),xER,若f(%)在区间(兀,2兀)内没

有零点，则3的取值范围是()

A.(0,|]B.(0i]U[|,l)C.(0,|]D.(0,|]U[i|]

10.已知力为虚数单位，复数Z满足z(3-i)=2+i,则下列说法正确的是()

A.复数z的模为2

B.复数z的共飘复数为一>3

C.复数z的虚部为?

D.复数z在复平面内对应的点在第一象限

11.一道竞赛题，A,B,C三人可解出的概率依次为gi若三人独立解答，则仅

N34

有1人解出的概率为()

A—R—r1—D1

A24624J24DI

第II卷(非选择题)

二、单空题(本大题共5小题，共25.0分)

12.设向量为=(x,x+1),3=(1,2)，且11]，则％=.

13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4,现用分层抽样的方法

从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取

名学生.

14.在锐角三角形ABC中，若sina=2s讥Bs讥C,则tanAtanBtanC的最小值

是.

15.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面相互平行；

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②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直;

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不

垂直.

其中所有真命题的序号是.

16.如图所示，在直三棱柱中，AACB=

90°,4%=2,AC=BC=1,则异面直线力iB与AC

所成角的余弦值是.

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.已知|砧=4,㈤=3,(2a-36)-(2a+b)=61.

(1)求胃与3的夹角为。；

(2)求|日+3|；

⑶若荏=五，AC^b，作三角形ABC,求A/IBC的面积.

18.设/1(x)=2V3sin(7r—x)sinx—(sinx—cosx')2■

(I)求/(久)的单调递增区间；

(11)把丫=/(%)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得

到的图象向左平移方个单位，得到函数y=g。)的图象，求g《)的值.

19.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且咨+争=%.

abc

(I)证明：sinAsinB=sinC；

(II)若庐+c2-a2=|he,求tanB.

20.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否

则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为点|,|,且

各轮问题能否正确回答互不影响.

(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率.

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21.某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩(均为整数)分

成六段：

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]后得到如图所示频率分步直方

图.

(1)根据频率分步直方图，分别求众数，第50百分位数；

(2)用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的

样本，求在［70,90)分数段抽取的人数；

(3)若甲成绩在［70,80),乙成绩在［80,90),求在(2)的条件下，甲、乙至少一人被

抽到的概率.

22.如图，四棱锥P—力BCD中，PAABCD,ABA.AD,BC〃4D,点E在线段

A。上，且C£7/4B.

(1)求证：CE1平面PAD;

(2)若P4=AB=1,40=3,CD=V2,求四棱锥P-4BCC的体积.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：sina<0,a在三、四象限；tana>0,a在一、三象限.

故选：C.

由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值

大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我

们解的是不等式组.

记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正

弦，三切值，四余弦，它们在上面所述的象限为正

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查用向量的数量积求夹角，属于基础题.

由向量瓦I,能的坐标便可求出瓦？•品，及|瓦？布|的值，再根据向量夹角余弦公式

求解即可.

【解答】

解：+=\BA\=\BC\=1，

・•・cosZ-ABC==氏=―,

又0。<乙ABC<180°,

•••/.ABC=30°,

故选A.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档.

利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期.

【解答】

解：函数/'(久)=(V3sinx+cosx)(V3cosx-sinx~)=2sinxcosx+V3(cos2x—sin2x)=

sin2x+y/3cos2x=2sin(2x+；),

•••T=n,

故选8.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

通过特殊值判断a的范围，是否满足题意即可得到选项.

本题考查众数、中位数、平均数，考查计算能力，特殊值法是解题的常用方法.

【解答】

法一：不妨令九=4,m=6,设样本(%1，%2…,％i)的平均数为元=6,

样本(当，>2,…,%)的平均数为9=4,

所以样本(%1，久2…,与1，月,丫2,…,％n)的平均数2=ax+(1-a)9=6a+(1—a)4=

4x6+6x4

10'

解得a=04,满足题意.

法二：依题意九元+my=(m+n)[ax+(1—a)y],

•••n(x—y)=(m+Ti)a(x—y),%Wy,

九一、

cc=---6(°/c，二1),m,n6N»+r,

n+mv27十

•••2n<m+

••・n<m.

故选：A.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握

正弦定理是解本题的关键，属于中档题.

由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的

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范围即可.

【解答】

解：由4C=6=2,要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与8A

有两个交点，

当2=90。时，圆与AB相切；

当4=45。时交于B点，也就是只有一解，

•••45°<X<135°,且4K90°,即如<si也4<1,

2

由正弦定理以及asinB=bsinA,可得：a=x=竺妙=2asinA,

sinB

■■2y/2sinAe(2,2&),

•••久的取值范围是(2,2a),

故选：A.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查概率的计算，考查几何概型，属于基础题.

将问题转化为行人在灯变红后25秒内来到该路口，即可求出至少需要等待15秒才出

现绿灯的概率.

【解答】

解：•••红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，

•,•行人在灯变红后25秒内来到该路口，

至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为第=|.

408

故选&

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了互斥事件和对立事件，关键是对概念的理解，是基础的概念题.

分析出从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同的情况，然后利用

互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案.

【解答】

解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几

种：

3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球.

选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；

选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；

选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红

球1个白球”与“1个红球2个白球”；

选项。中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立.

故选。.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查由y=Asin{atx+⑴）的部分图象确定其解析式，属于基础题.

根据已知中的函数y=Asin（3久+9）的部分图象，求出满足条件的A,co,值，可得

答案.

【解答】

解：由图可得函数的最大值为2,最小值为-2,

故A=2,设原函数的最小正周期为T.

则二=二+二，

236

所以T=71,3=2,

故y=2sin（2x+（p）.

将2）代入可得2s讥g+0）=2,

则'彳）7T+,=[7T+2""，k€Z,

即户=+2kk.k€Z,

6

因为|如<兀，则,一[,

结合各选项可知A选项正确.

故选A.

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9【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题.

化简可得函数/Xx）=^sin（3x-'），由/'（乃二。，可得sin®%—?）=0,解得久=

24勺

二1任（兀,2兀）（keZ），因此3任（就）u（j,5u吟,令u…=（f）u（|,+8）,即可得

出答案.

【解答】

2

解：函数/'（久）=sin—+-sin（i）x--=1-郎3*+-sinci）x--=—sin（wx--）,

八,2222222、/

由久久）=0,可得Sin（3x—9=0,则有％=竺咛，k&z,

4O）

•・,/（%）在区间（7T,2"）内没有零点，

K,TC~\.—n口

X=£（jl,27T）（fceZ），且3>0，

•••3呜加（|,（呜加..=职）呜+8）,

故选。.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了复数的四则运算，复数的概念，属于基础题.

化简复数z,然后依次判断各个选项即可.

【解答】

解：z（3—i）=2+3

则z=^=（2+i）（3+i）=l±l=3+L,

3-i10222

•，•\z\=/-+-=—,故A错；

11\442

复数Z的共辆复数为故5错；

复数Z的虚部为玄故C错；

复数z在复平面内对应的点为G，》，在第一象限，故。正确.

故选。.

11.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查相互独立事件的概率乘法公式，注意先按互斥事件分类，再按相互独立事件

的概率乘法公式进行计算，属于中档题.

根据题意，只有一人解出的试题的事件包含三个互斥的事件：A解出而其余两人没有

解出，8解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出，而三人解出答案是

相互独立的，进而计算可得答案.

【解答】

解：根据题意，只有一人解出试题的事件包含三个互斥的事件：

A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解

出，

而三人解出答案是相互独立的，

则P(只有一人解出试题)=3x(1—}x(1—*+(1—》x]x(1—])+(1—》x(1—

1、111

—)X—=一,

3，424

故选：B.

12.【答案】一|

【解析】

【分析】

本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题.

根据向量垂直的充要条件便可得出五-b=0,进行向量数量积的坐标运算即可得出关

于x的方程，解方程便可得出x的值.

【解答】

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M：vaIbf

••・五•b=0，

即%+2(%+1)=0,

2

・••X=——.

3

故答案为-

13.【答案】15

【解析】解：•・•高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4,

・••高二在总体中所占的比例是金=总

3+3+41U

•••用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，

•••要从高二抽取。X50=15,

10

故答案为：15

根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的

比例，得到要抽取的高二的人数.

本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这

就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题.

14.【答案】8

【解析】

【分析】

本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性.

结合三角形关系和式子sbiA=2sbiBs讥C可推出sMBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

进而得到+tanC=2tanBtanC,贝！kcmAtcmBtcmC=-2^tanBtanC^>,换元结合函

1-tanBtanC

数特性可求得最小值.

【解答】

解：由sizM=sin(7r—i4)=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

因为sinA=2sinBsinC,

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,①

由三角形ABC为锐角三角形，贝UcosB>0,cosC>0,

在①式两侧同时除以cosBcosC可得

tanB+tanC=ItanBtanC,

y,tanA=-tan(7r—A)=—tan(B+C)

tanB+tanC②，

1-tanBtanC

则tazMtaTiB比171c=—tanB+tanC•tanBtanC,

1-tanBtanC

^tanB+tanC=2tanBtanC^^

2

tanAtanBtanC——2(tanBtanC')

1-tanBtanC

令tanBtanC=t,由A,B,。为锐角,

可得>0,tanB>0,tanC>0,

由②式得1—tanBtanC<0,解得t>1,

2t22

tanAtanBtanC=

t2t

vl-1-d_h2_lf

乂/tq2)4

由1得，一：〈卷一：VO,

4t

因此tanAtanBtanC的最小值为8.

故答案为8.

15.【答案】②④

【解析】

【分析】

本题考查直线与直线的位置关系，面面垂直的判定和性质，属于基础题.

根据面面平行的判定定理可对①进行判断；

根据面面垂直的判定定理、面面垂直的性质定理可判断②④的正确性；

由于垂直于同一条直线的两条直线可以平行，可以相交或异面，由此能判断③的正确

性.

【解答】

解：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；

由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；

垂直于同一直线的两条直线不一定相互平行，

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如正方体中共顶点的三条棱，故③不对；

若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,

故④正确.

故答案为②④.

16.【答案】渔

6

【解析】

【分析】

本小题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.

先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点久,得到异面直线所成的角，证得

&Q1BC1，在直角三角形中再利用三角函数的定义即可求解余弦值.

【解答】

解：•••A^CJ/AC,

••・异面直线与AC所成角为NB&G，

•••AACB=90°,AC1BC,

又AQ1QC,C1B1ClC]C=G，C1B1,CtCu平面CC//,

•••&G1平面cc//,

又BC\u平面CQB1B,

所以4G1BC「

易求力iB=V6,

cosZ-BA^C1==-^=—.

11

A1BV66

故答案为造.

6

17.【答案】解：(1)由(2百一33)•(24+3)=61，得引为产一4日不一3|石『=61，

,•,|初=4,|3|=3，代入上式求得心后=一6.

八a-b-61

••・cos6==——=——.

\a\\b\4X32

又ee[o,7r],e=120°.

(2)V|a+KI2=(a+K)2=|a|2+2a-K+|K|2

=42+2x(-6)+32=13,Ia+Z?I=V13.

(3)由(1)知NBAC=)=120°,

|AB|=|方|=4，|AC|=|b|=3，

］一一

•••S^ABC=51A。11ZB\sm^BAC

=|x3x4xsin120°=3V3.

【解析】⑴由，(2日一3万)•(2五+后)=61，可求得日不=一6，利用向量夹角公式可

得。；

(2)可先平方转化为向量的数量积.

(3)由(1)知Nb4c=0=120°,利用三角形面积公式可得答案；

本题考查向量的模、用数量积求向量夹角、三角形面积公式等知识，属中档题.

18.【答案】解：(I)v/(%)=2V3sin(7r—x)sinx—(sinx-cosx)2=2\/3sin2%—1+

sin2x=2V3-1c°s2x—1+sin2x

2

=sin2x—y/3cos2x+V3—1=2sm(2x—^)+V3—1,

令2kn—^<2%—^<2/CTT+g,求得kji--<x<k/r+—f

2321212

可得函数的增区间为即一套"兀+(j］，kGZ.

(11)把)/=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y=

2s讥(久―g)+g—1的图象；

再把得到的图象向左平移g个单位，得到函数y=g(x)=2s讥久+旧-1的图象，

g《)=2sin^+V3-1=V3.

【解析】(I)利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得

函数的增区间.

(兀)利用函数丫=〃讥(3久+0)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，从而求得9(5

的值.

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin⑷久+内的图象变换

规律，求函数的值，属于基础题.

19.【答案】(I)证明:在△砺中，「誓+誓=等

cosA,cosBsinC

•••由正弦定理得:--------1--------=-------，

sinAsinBsinC

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cosAsinB+cosBsinA_sin(A+B)

=1,

sinAsinBsinAsinB

sin(i4+B)=sinC.

・•.整理可得：sinAsinB=sinC,

(口)解：62+C2-。2=部由余弦定理可得四4=三/

114cosA3

则siziA=

sinA4’

cosB_sinConCOSB1

由(I)可得胃+1,即赤=

sinBsinC4f

・••tanB=4.

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，考查了转化

思想，属于中档题.

(I)利用正弦定理和两角和的正弦函数公式整理，即可证明.

(E)由余弦定理求出cosA,利用(I)的条件，求解tanB即可.

20.【答案】解:记“该选手正确回答第i轮问题”为事件4。=1,2,3),贝肝(&)=

442

(P(A2)=|,P(A3)=|.

(1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率为PG4M2Z3)=PG4I)PG42)P63)=：X|x(1—

2、_36

5)-125,

(2)该选手至多进入第二轮考核的概率为P(4+AtA2)=P(彳1)+P(&)P(42)=(1-

4、，4〜3、13

i)+^(1--)=-.

【解析】本题考查互斥、对立、独立事件概率的求解，属于基础题.

⑴记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为4。=1,2,3),由题意得P(4)=

I，「(4)=1，P(43)=|，则该选手进入第三轮才被淘汰的概率为P=