数学学习诊断与教学改进

专题讲座

小学生数学学习的诊断与教学改进

范存丽北京教科院基教研中心

王晓松北京市朝阳区实验小学

一、诊断的对象

1.诊断对象

诊断对象分为群体和个体。诊断的群体可以是多个国家的学生，也可以是单独一

个国家、一个省市、一个地区、一所学校或者一个班级的学生。例如：PISA测

查2009年有65个国家或地区参加。

诊断的对象也可以是一名学生。诊断单个学生的数学学习情况。

2.诊断内容

针对不同的诊断对象，我们通常的诊断内容包括：数学学习情况和学生的成就水

平。

（1）数学学习情况

诊断数学学习情况可以做全面诊断，也可以做专项诊断。

全面诊断：

北京市从2003年开始也进行了学科质量监测，北京的测试项目主要测试目标为

学生的数学学业水平是否达到了课程标准的要求。测试的框架主要围绕两个维

度，也就是数学学习的内容和数学能力。数学内容包括：数与代数、空间与图形、

统计与概率、实践活动四个领域。数学能力包括：知识技能、数学思考和解决

问题三个方面。

①市级

下面是全市测查中各领域得分率情况图。从图中可以看出北京市三年级数学在

内容领域各部分中“统计与概率”部分得分率最高，“空间与图形”最低。得分

率由高向低依次为“统计与概率”、“数与代数”、“实践与综合”、“空间与

图形”。四部分的得分率都在91%以上，但四部分仍存在显著差异。

下图呈现了北京市学生在内容领域各部分的得分率分布情况。“数与代数”、

“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合”四个领域均有50%达到优

秀水平，均有75%达到良好水平。其中“统计与概率”约有95%以上学生的得

分率处于96%以上。从每个部分的得分率离散程度来看，学生在“数与代数”

部分的得分率差异最小，前5%与后5%的学生得分率相差约20%。相对而言，

在“统计与概率”部分内，学生的得分率存在较明显的向高分段集中的趋势（上

横线与盒子下沿线基本重叠，都在96%以上），表明在测试群体中，多数学生

的得分率向较高的方向趋近。学生在“空间与图形”部分的得分率差异最大，前

5%与后5%的学生得分率相差近35%,说明北京市三年级学生在“空间与图

形”领域出现两极分化，导致总得分率低于其他领域的总得分率。

（注：上图为盒式图，每个小图由一个盒子与上下两条短横线、中间一条长竖

线组成，呈现出得分率的集中与离散趋势。将北京市学生的得分率按从高到低的

顺序排序，上短横线表示排名位于5%的学生所对应的得分率；盒子上沿横线表

示排名为25%的学生对应的得分率，盒子中位线表示排名位于50%的学生对应

的得分率，盒子下沿横线表示排名为75%的学生对应的得分率；下短横线表示

排名位于95%的学生对应的得分率。图中，盒子中位线大体描述了相应群体学

生得分率的平均水平，而上下两条短横线间距离（长竖线）在一定程度上描述了

学生得分率离散程度的大小。如果图中的横线少于上述五条，则说明有两条或两

条以上横线重叠的情况，意味着重叠横线间所代表区域内学生得分率分布非常集

中。下同）

②班级

下面是一个班同学一次期末考试数学的情况。横轴表示班内各位同学的数学测试

总分，纵轴为这些学生在本次测试中数与代数领域的得分情况。中间的竖线是全

班的平均分，中间的横线是全班数与代数部分的平均分。这样就分成四个部分，

可以看到尹伊等同学数与代数部分得分率很高，总分也较高；马越和乔紫薇等同

学虽然总分不高但数与代数部分得分率很高，可以建议他们总结经验，用于提高

其他部分的学业水平；李心怡等同学虽然数与代数部分得分率不高,但总分较高,

可以建议他们提高数与代数部分的学业水平；还有的同学数与代数部分得分率不

高，总分也不高。

③学生个体

对于学生个体而言，给出学生个体诊断报告单。如下图是一名学生在一次全市测

试中数学学习情况的报告单，从中可以看到这名学生在内容领域的统计与概率部

分的测试成绩高于全市平均水平，而数与代数、空间与图形和实践活动的测试成

绩低于全市平均水平。在能力领域中，知识技能和解决问题部分的得分低于全市

平均水平，数学思考部分略高于全市平均水平。

专项诊断：

专项诊断可以做的内容有很多，如数感、空间观念、解决问题等。也可以专门测

学生对数的意义的理解，测查学生解决问题的方式等。

如考察数感时，可以根据课标中描述的数感的具体表现：

•理解数的意义；（认识数）

•能用多种方法来表示数；（表示数）

•能在具体的情境中把握数的相对大小关系；（估算）

•能用数来表达和交流信息；（运用数）

•能为解决问题而选择适当的算法；（数量关系）

•能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。（验算、反思）

考察理解数的意义时，有多种题目，如

3600是（）。

①36个一②36个十

③36个百④36个千

能为解决问题而选择适当的算法题目举例：

暑假期间，爸爸、妈妈带小明去博物馆参观。

学生门票多少元？小明全家购买门票需要多少元？

学生可以用多种方法解决问题，如可以用画图的方法来解决，两张全价票用两个

圆来表示，一张半价票用一个半圆来表示。再将各票的价格合起来就得到全家购

买门票所需钱数。

能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释题目

举例：

估一估，把积大于500的算式的序号写在下面的圈

里。

①5.77X91②80*6.1

③49.5X9@55.8X9.5

（2）学业成就水平

在测查中，还可以看学生的学业成就水平，从中看到这名学生的优势与不足，为

他的进一步学习指引方向。

在分类理论中，Solo（可观察的学生学习成果的结构）分类理论是影响比较大

的。它将学生的学习水平分为五个层次。

•前结构水平：学生不能对问题做出任何有意义的反应。

•单一结构水平：学生仅能对一个相关信息或线索做出反应，或只能作出一步

反应。

•多元结构水平：学生可以使用两个或两个以上的相关因素对问题做出反应，

但不能把这些因素做出有机整合，所以反应可能包括一些彼此分离的线索。

・关联水平：学生的回答反映他们能够从整体上把握刺激题目的要求，并将各

种相关信息整合成有机整体。

•扩展抽象水平：学生可以使用外部系统的资料，主要特点是：会归纳问题，

在归纳中概括考虑了新的和更抽象的特征。

在课程标准中使用了“了解（认识）"、“理解”、“掌握”、“灵活应用”四

个层次来刻画知识技能目标。

了解（认识）：能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征（或意义）；

能根据对象的特征，从具体情境中辨认出这一对象。

理解：能描述对象的特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和

联系。

掌握：能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中。

灵活运用：能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数

学任务。

对于了解的解释，其中举例一词很重要。学生能举例子来说明，是很好的一种解

决问题的方式。在北京市教学质量监控与反馈中，我们曾经通过问卷与测试得分

对应的方式进行分析，发现学生用举例子或画图方式解决问题的，数学测试得分

率较高。

在北京市教学质量监控与反馈中，根据学生的学业成就表现，区分出合格水平、

良好水平和优秀水平。不同水平的学生针对具体知识点有不同的表现。如在数与

代数部分，针对估算，合格水平的学生能结合具体情境进行估算，良好水平的学

生在此基础上能解释估算的过程，优秀水平的学生还能自觉地运用估算检验口算

与笔算的结果是否正确。针对解决问题，合格水平的学生能正确地解决简单的问

题，良好水平的学生能运用不同的方法解决问题，优秀水平的学生能灵活运用不

同方法解决问题，并对方法和结果的合理性作出正确的判断。

二、诊断的方式

北京市义务教育教学质量分析与反馈项目中，采用的研究方法包括问卷调查（包

括学生问卷调查、教师问卷调查、校长问卷调查）、测试卷测试和教学实际观摩

（包括教学视导和教学叙事）等方式。在测试数据收集以后，就需要确定比较的

标准。就比较的标准来说我们可以和课程标准比较，和另一群体比较，这个群体

可以是上一年级的群体，也可以是同一年级的群体。还可以进行不同题目作答情

况比较，可以比较得分率也可以比较解决问题的策略，另外我们还可以对影响教

学质量的因素进行分析。

1.和标准比较

在一个测试中，使用同一测试工具的一级群体（如全市测查中全市这个整体，全

校测查中年级这个整体，全班测查中全班这个整体）的情况一般通过和标准的比

较来进行观察。也是标准参照测验，参照课程标准或者已经确立的学业质量标准。

北京市2008年五年级数学学科学业水平测试是与课标进行比较，例如，2008

年五年级数学学科学业测试的平均分为84.1分，学生的整体学业水平达到了

《课程标准》的要求。北京市五年级学生学业成就水平总体达到了《方案》的良

好水平，学生主要集中在良好及优秀水平。

北京市2009年三年级学生学业水平测试也是参照课程标准来执行。北京市三

年级学生学业成就水平为优秀水平的学生占54%,良好水平的学生占35%,这

两部分学生共占学生总数的89%o三年级学生数学测试合格率为98%,良好率

为89%，优秀率为54%o

2.和群体比较

(1)在上一级群体中的位置

测查中反映二级群体的情况可以通过和上一级群体比较的方式。如某个区测试结

果如何，可以通过与全市情况进行比较而得到。如下图，通过比较优秀率、良好

率、合格率发现，测试区总体成绩好于北京市平均水平，优秀率比全市总体高

11.9%,良好率高5.3%,及格率高0.9%,几乎所有学生达到合格水平。

(2)和同级群体的比较

测查中还可以通过和同级群体的比较来看这个群体的情况。如某班成绩可以通过

和其他班级的比较来看，男生成绩可以通过和女生的比较来看等。

3.不同题目作答情况比较

（1）得分率

可以根据不同题目的得分率来对群体或个人进行反馈。

通过不同题目得分率的比较诊断学生的数学学业水平。如下面两个题目，在一个

群体中，第一个题目的得分率是93%,第二个题目的得分率为85%。从中可以

看出，这个群体中的学生运用灵活策略解决问题的能力较强，而审题能力尚需提

高。

（2）解决问题的策略

可以根据学生解决问题的策略对群体或个人进行反馈。如在北京市2009年三年

级教学质量分析与反馈中，根据学生解决问题的策略对全市情况作出反馈：

①学生解决问题时能够真正从问题出发，思考问题的本质。如借书的问题，在过

去的教学中，几乎所有学生都会用统一模式解决问题。阅卷过程中发现，学生用

多种方法解决问题。从中看到了取消按类别教学解决问题的良好效果。

②学生基本概念扎实。通过对测试卷结果的分析，发现学生能够运用概念解决问

题。如让学生用多种方法表示数的题目，此题的核心概念是位值制概念，同样的

点子放的位置不同，表示的数的大小也不同。学生自主联想到计数器，运用概念

解决问题。在教学中教师关注概念的本质进行教学，使学生理解概念，学生才会

运用概念解决问题。

③学生解决问题的策略灵活多样。在阅卷过程中，看到学生解决问题的策略灵活

多样。如求图形周长的题目，学生们用数的方法解决问题，数的方法是一个通用

的方法，通用的方法是好方法。有些学生运用平移的方法，学生想到转化，能用

运动的方式解决问题，对学生空间观念的培养很有益处。有些学生自己构建一个

转化后的图形，有较好的数学建模的意识。从中看到了解决问题策略多样化的良

好效果。

④学生能够自主运用基本数学工具解决问题。观察学生解决问题的策略及学生问

卷调查结果发现，很多学生自主运用画图的策略、举例子的策略等基本策略解决

问题。如考察长方形特征的题目，主要看学生能否辨别反例，学生的正确率达到

88%o

有些学生能够自主运用熟悉的数学工具解决问题。如解决方向与位置的题目，学

生主动在参照物处画出坐标系，对辨别方向发挥了很好作用。主动运用恰当的数

学工具解决问题是提高学生解决问题能力的一个有效措施。

4.影响因素分析

学生学习的动机、学习习惯等因素都会影响到学生的数学学业成绩。下面通过北

京市2009年三年级教学质量分析与反馈中的一些结果作以说明。

(1)学生学习动机对学生学业成就的影响

关于学生的学习动机对学生学业成就的影响是多方面的，下面列举的一些具有典

型性的因素对学生学业成就的影响，应当引起我们的关注。

学生希望自己接受教育的程度:

希望自己接受教育的程度不同本次数学测试得分率差异显著。希望自己得到大学

以上教育、大学教育、高中教育的学生的得分率分别为94.2%、92.5%、

90.2%,可以看出，学生自己希望得到的教育程度越高，数学测试得分率越高。

学生对数学学习的喜爱程度：

吕欢数学学习的学生得分率为94.2%,不喜欢数学学习的学生得分率为

89.1%,相差约5个百分点。

学生数学学习效果的自我评价:

认为自己数学学得好的学生得分率为95.3%,认为自己数学学得不好的学生得

分率为86.9%,相差6个百分点。

学生对数学老师的喜爱程度：

亲其师而信其道，喜欢自己数学老师的学生得分率比不喜欢自己数学老师的学生

得分率高约2个百分点。

学生对数学教师教学的评价:

认为数学老师的课讲得好的学生得分率比认为老师的课讲得不好的学生的得分

率高约3个百分点。

(2)学生课外学习对学生学业成就的影响

课外学习是学生获取数学知识的重要途径，如课外阅读、看电视、参加课外活动

等对学生学业成就都有着较大的影响，但如何把握这些获取数学知识的途径呢，

以下调查给我们很多有益的启示。

学生课外阅读的数量：

阅读课外书的数量不同数学测试得分率有着较为明显的差异，随着阅读课外书数

量的增加，学生的数学测试得分率有所提升。

学生与家里人谈论学校学习情况的频率:

与家里人交流在学校学习情况的频率不同，学生的数学测试得分率有所不同。经

常谈的学生的得分率比从不谈的学生的得分率高出6个百分点。

学生参加课外休闲活动的数量：

2009年1月至6月末，学生参加过以下活动的数量：

①看电影或各类剧目②参观博物馆③听音乐会④长途或短途旅游

学生参加课外活动的数量越多，基本上学生的本次数学测试成绩越高。

学生完成作业的方式：

完成作业的方式对学生数学测试成绩有明显影响。方式为“自己独立完成”的学

生得分率最高，为94.4%；其次是“与其他同学商量着完成”，得分率为

91.7%；最差的方式为“参照答案或看别人的作业”，得分率为84.7%o

(3)学生学习负担与压力对学生学业成就的影响

学生的学习压力:

对数学学习感觉压力较大的学生得分率最高，为94.5%；学习感觉没有压力的

学生得分率最低，为90.3%。相差约4个百分点，可以看出适度的学习压力对

学生学业成就水平有一定影响。但从图中也可以看出，北京市有65%的学生认

为学习压力较大，常常感觉有些吃力、学习压力很大，常常感觉无法承受，这一

点应引起我们的重视。

学生完成作业的时间：

学生平均每天用于完成学校布置的家庭作业的时间长短与学生的数学测试成绩

有一定关系。0至1小时内差异不明显，1小时以上的学生得分率较低。

(4)学生学习习惯对学生学业成就的影响

计算题的验算习惯:

做完计算题后学生是否有验算的习惯以及验算的方式如何对学生的数学测试成

绩有一定影响。不验算的学生得分率最低，用原来的方法再算一遍的学生得分率

略高些，得分率最高的是用另外的方法验算或者通过估算进行验算的学生。

解决实际问题时学生习惯使用的方式：

解答稍难一些的数学问题时，学生一般采取的办法对学生的数学测试成绩影响显

著。画图解决问题或举例子解决问题的学生得分率最高，用给出的数据凑算式的

学生得分率较低，直接用脑思考不会就放弃的学生得分率最低。

遇到问题时解决问题的方式:

在数学学习中遇到问题时，学生最常采用哪一种方式解决对数学测试成绩影响显

著。自己看课本或查找资料解决问题的学生得分率最高，与同学讨论解决问题的

学生得分率也很高，其次是与家长讨论解决问题的，最后是有问题直接向老师

请教的。基本上求助的人对学生而言越权威学生主动思考问题的空间越小，被动

听取他人意见的倾向越强，学生的数学测试成绩也越低。

学生改错题的习惯：

数学题错了，学生改错的做法不同对学生的数学测试成绩产生一定影响。自己主

动寻找错误的原因后及时改错的学生得分率明显高于问别人