高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (15)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（15）

一、单项选择题（本大题共10小题，共50.0分）

1.如图，棱长为1的正方体4BCD中，P为线段AB1的中

点，M,N分别为线段AC1和棱BiG上任意一点，贝U2PM+&MN的

最小值为（）

A.立

2

B.V2

C.V3

D.2

2.四个同样大小的球。1，。2，。3，。4两两相切，点用是球。1上的动点，则直线02M与直线。3。4所成

角的余弦值的取值范围为（）

A.[0,^]B.[0,言]c.[0,i]D.[0,刍

3.已知平面四边形A8CO中，NA=NC=90。，BC=CD,再将△ABD沿着BO翻折成三棱锥

4一BCD的过程中，直线AB与平面BCD所成角均小于直线A。与平面8C£＞所成角，设二面角

A-BC-D,4一CD-B的大小分别为a、。，则

C.存在a+夕=TTD.存在a+0＞兀

4.三棱锥S-4BC中，SA,SB,SC两两垂直，且$4=S8=SC=1,则该三棱锥的体积为（）

A.iB.|C.；D.1

632

5.己知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图的面积为（）

A.V3B.遗C.立D.在

224

6.如图，矩形ABC。中,AB=1,4D=&，将沿着8。折成d&BD,使

得4点在平面ABC。上的射影在4BC。内部，设二面角4一8。一。的平

面角为a,4C与面58所成角为/7,4&80=y,则a,.,y的大小关系

为（）

A.a>y>p

B.a>p>y

C.Y>P>a

D.y>a>£

7.已知正方体的棱长为1,平面a过正方体的个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,

则该正方体在平面a内的正投影面积是（）

A.竽B.V3C.V2D岑

8.在三棱锥P-4BC中，AB=BC=5,AC=6,尸在底面ABC内的射影。位于直线AC上，且

AD=2CD,PD=4.设三棱锥P-4BC的每个顶点都在球。的球面上，则球Q的半径为（）

ABQ5后D,2

,8*6•86

9.我国古代数学名著微书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆

台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为/尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中

积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于

1。寸）（）

A.3寸B.4寸C.5寸D.6寸

10.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）、

A.87r

B.97r

41忸程图

C.—71

4

D.V417T

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

11.在正方体ABC。中，E是棱CG上一点，且二面角C一4B—E的正切值为虺，则（）

2

A.4到平面A5E的距离是。到平面A3E的距离的企倍

B.异面直线AE与BC所成角的余弦值为4

5

C.直线8E与平面80。1公所成角的大小等于二面角C-4B-E的大小

D.在棱A8上一定存在一点尸，使得GF〃平面BOE

三、填空题（本大题共9小题，共45.0分）

12.如图，三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,

点M,N分别是49,BC的中点，则异面直线AMCM所成的角的余

弦值是•—二

13.已知正三棱柱（上、下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为2,若它的6个顶

点都在体积为座7r的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形的边长为.

3

14.已知三棱锥4一BCD内接于球。，AB=AD=AC=BD=V3,^BCD=60°,则球。的表面

积为.

15.在四面体ABC。中，BD=AC=2五,AB=BC=AD=2,AD±BC,则四面体ABCD的外接

球的体积为.

16.如图所示，在三棱柱中,4必_L底面ABC,AB=BC=44],_________-C）

^ABC=90。，点E,F分别是棱AB,的中点，则直线EF和BQ的

夹角是.\J

17.如图，等腰直角三角形A8E的斜边AB为正四面体力-BCD的侧棱，直角边AE绕斜边AB旋转,

在旋转的过程中，有下列说法：

①四面体E-BCD的体积有最大值和最小值;

②存在某个位置，使得AEJLBD；

③设二面角D-AB-E的平面角为d则02NDAE.

正确命题的序号是.

18.在棱长为6的正方体力BCD-&B1C1D1中，M是BC的中点，点尸是面。。加久所在的平面内的

动点，且满足乙4PD=ZMPC,则《=,三棱锥P-BCC的体积最大值是

19.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（单位：cm3）,表面积是

（单位：cm2）

20.平行六面体4BC0-为当口劣中，底面ABCC是边长为1的正方形，441=丧■，乙4〃。=

=120°,则对角线BDi的长度为.

四、解答题（本大题共10小题，共120.0分）

21.如图，在四棱锥S-4BCD中，已知四边形ABC。是边长为迎的正方形，点S在底面ABC。上的

射影为底面ABCO的中心点。，点尸在棱S。上，且ASAC的面积为1.

（1）若点P是5。的中点，求证：平面SCD平面PAC；

（2）在棱50上是否存在一点P使得二面角P-AC-。的余弦值为?？若存在，求出点P的位置;

若不存在，说明理由.

22.在菱形ABCD中，"DC=j,AB=a,0为线段8的中点(如图1).将44。。沿A0折起到△AOD'

的位置，使得平面A。。'1平面48cO,M为线段BD'的中点(如图2).

(I)求证：0D'1BC；

(U)求证：CM〃平面4。。'；

(DI)当四棱锥A-4BC。的体积为争寸，求a的值.

23.已知四棱柱4BC0-A'B'C'D'中，底面ABC。为菱形，AB=2,AA'=4,NBA。=60。，E为BC

中点，C'在平面A8CO上的投影H为直线AE与OC的交点.

(1)求证：BDLA'Hi

(2)求直线即与平面BCC'B'所成角的正弦值.

24.图1是由矩形AOEBRt囱4BC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,

AFBC=60。将其沿4B,BC折起使得BE与BF重合，连接。G如图

图2

(1)证明：图2中的4C,G,D四点共面，且平面ABC1平面BCGE；

(2)求图2中的四边形ACG。的面积.

25.如图，已知正三棱锥P-4BC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面A8C内的正投影为

点。，O在平面PAB的正投影为点E,连接PE并延长交A8于点G.

(1)证明G是A8的中点；

(2)在答题卡第(21)题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体

PDEF的体积.

26.如图，正方体48。。一冬8也1。1的棱长为a,E,F分别为A8,BC上的点，且4E=BF=X.

(1)当x为何值时，三棱锥&-BEF的体积最大？

(2)求异面直线4E与&F所成的角的取值范围.

27.如图，在四棱锥P-4BCC中，底面ABC。为正方形，△PAD为等边三角形，平面P40L平面

PCD.

(1)证明：平面PAD1平面A8C。；

(2)若AB=2,Q为线段的中点，求三棱锥Q-PCD的体积.

28.如图，AB为半圆。的直径，点C为半圆上一点，=a平面ABC，。为PA中点，

PA=2AB=4.

(1)求证：BC1PC；

(2)求直线BD与平面PBC所成角的正弦值.

29.如图，三棱柱4BC-ABiG的底面是等边三角形，为在底面ABC上的射影为△ABC的重心G.

(1)已知证明：平面ABC11平面为B1C；

(2)已知平面与平面48c所成的二面角为60。，G到直线AB的距离为a,求锐二面角

BLAC-G的余弦值.

30.如图，圆锥P。中，AB是圆。的直径，且48=4,C是底面圆。上一点，且AC=2g,点。

为半径。8的中点，连PD

（I）求证：PC在平面APB内的射影是PZ）；

（口）若。4=4,求底面圆心。到平面PBC的距离.

【答案与解析】

1.答案：。

解析：

主要考查考查棱柱的结构特征，考查平面内两点之间线段，最短考查计算能力，空间想象能力，是

中档题.

取4c中点£,过M作MF1面4B1GD1，可得当MN1BiG时,最小.再根据2PM+&MN》2AAr

即可求出答案.

解：取AC中点E,过M作MF1面为B1GD1，

易得力M=AAPM=AAEM=90°,AP=AE=^AC,

故A4PM三ZkAEM,故PM=EM,

而对固定的点M,当MNJ.B1C1时，MN最小.

此时由MF1面为B1GD1，

可知为等腰直角三角形，MF=4N,

2

故2PM+&MN=2(PM+yM/V)

=2(EM+MF)>244i=2.

当MN1BiG时取等号，

故选。.

2.答案：C

解析:

本题考查异面直线所成角的求法，考查线面垂直的判定和性质，以及计算

能力，属于中档题.。1。2。3。4是正四面体，设边长为2r,过。1作。1。，底:朱

面。2。3。4,运用线面垂直的性质，即可得到所成角的最大值，再由大圆的

切线计算可得所成角的最小值.

解：如图。1。2。3。4是正四面体，设边长为2r,°《二也口7404

过01作01。_L底面。2。3。4，可得。为底面的中心，0^

由。2。-LO3O4,可得。2。1。3。4，

则M在直线。1。2上，

可得直线02M与直线。3。4垂直，即有所成角的余弦值为0,

过。2作大圆的切线，设切点为M,可得02M与01。2成30。的角，

由。27〃。3。4，可得。3。4与。2M成60°的角，

即有所成角的余弦值为右

则直线02M与直线。3。4所成角的正弦值的取值范围为[0b].

故选C.

3.答案：A

解析：

本题考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，直线与平面所成角和二面角，考查了学生的空间想

象能力，属于较难题.

作出直线AB、与平面所成角，利用题目条件得力B>4D,再作HMJ.BC,HN1DC,利用

线面垂直的判定和线面垂直的性质，结合二面角的定义得=a/ANH=£,再利用48>4。得

HM>HN,最后解直角三角形，得结论.

解：如下图：

在三棱锥4-BCD中，作4Hl平面BC。于“，连接B4、DH,

则8”、。”分别是AB、AO在平面BCD内的射影，

因此乙1BH,乙4DH分别是AB、AD与平面BCQ所成角.

因为直线AB与平面BCD所成角均小于直线AD与平面BCD所成角,

所以AB>AD.

过”作HNd.DC,垂足分别为M、N,连接4M、AN.

因为4"1平面BCD,BCu平面BCD,所以4H1BC.

又因为HM1BC,AH1BC,HMCtAH=H,

HMu平面AHM,AHu平面AHM,所以BC_L平面AHM,

而/Mu平面AHM,因此8C1AM.

由HM1BC,BC1AM得44MH是二面角4-BC-。的平面角.

同理可得，N4NH二面角4一CO—B的平面角，

即44MH=a,/.ANH=/?.

在^CBC中，因为BC=CD,

若8。的中点为。，连接CO,则C。是8。边上的中线.

又因为4B>4D,所以点H在CO的左侧（如图所示），因此"M>HN.

又因为在RtZUVM中，tana=警；在RtAAVN中，tan^=需，

HMHN

所以tana<tan/?.

又因为a,0为锐角，所以a<£.

故选A.

4.答案：A

解析：

本题考查棱锥的体积计算，属于基础题.

由题意，VS_ABC=VC-SAB>SA,SB,SC两两垂直，且S4=SB=SC=1可得结论.

解：三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC两两垂直，且£4=SB=SC=1,

•••SAC\SB=S,SA、SBu平面SAB,SC1平面SAB,

•••丹-ABC=%-SAB=\^SA-SB-SC=\.

故选A.

5.答案：D

解析：

本题考查斜二测法画直观图，属于基础题.

由已知中正△4BC的边长为2,可得正AABC的面积，进而根据△力BC的直观图△4B'C'的面积

s'=Ws,可得答案.

4

解：•.•正△ABC的边长为2,

.•.正△ABC的面积S=—x22=V3，

4

设44BC的直观图4A'B'C'的面积为S',

则及=①5=立、遮=渔.

444

故选。.

6.答案：A

解析：

本题考查二面角，线面角，难度较大

过4作BD的垂线4E交8。于E,延长AE,交BC于F,利用面面垂直确定从在底面BCD中的位

置，同时得到二面角的平面角和直线与平面所成角，可以判定有关角的三角函数的大小，进而利用

三角函数的性质得到相应角的大小关系.

解：如图所示，过A作的垂线AE交BO于E,延长AE,交BC于F,

连接&E,则&EJ.BD,

A1E,4Eu面AEDArE=E,AE±BD

则平面&EF1BD,

・•・平面&EF1平面BCD,交线为EF,

设&在平面38上的射影为0,则。在直线EF上,

又・,•已知4点在平面A8CD上的射影在△BCD内部，

•1•0在线段E尸内部，

连接0C,贝此&E。为二面角4一B0-C的平面角，N4iE0=a；

乙41co为&C与平面8CQ所成角，乙4传。=/?,

由已知得乙41BD—/.A1BE—/.ABE—乙ABD—y.

由已知矩形A8C£＞中ZB=1,AD=\[2,

BD=V3>

»/21r-

：.siiiZABD—=.cosZABD(anZABDv2,

s/3瓜

11

/..1L,BE=AB<<»^AI3E--=BF=ABtunABAF

：.DEW」=迥,EF=BEm"BE=

x/33瓜瓜代

tauNAiBE=tauNABE=>

0

逅

,,“A0小召ZEAE1=

⑶"A=<<=

。。OCOC-FC^FC式

tan44i8E>tanZ-A^O,

・•・y=Z-A^BE>乙4传。=p,

,/ArnA。、一。、A。.A。./.「c

UIIIZHIEO=——->——>——>——=taiiZ/l/(),

EOEFCFOC

・・・a=N&EO>乙41co=£(%0的大小比较可以省略),

1

/1口八EO」EFv/61

^=^.£0=—<—=-^=-.

11

COS'=-*>-=COSC,

瓜2

・•・a>y,

综上所述，a>丫>0,

故选A.

7.答案：B

解析：

本题考查了平面投影的形状与面积的计算问题，是中档题.

正方体4BCD-4B1GD1三个面在平面a内的正投影是三个全等的菱形，

可以看成两个边长为迎的等边三角形，由此求出正方体在平面a内的正投影面积.

解：棱长为1正方体4BC0-48也1。1的三个面

在平面a内的正投影是三个全等的菱形(如图所示)

可以看成两个边长为方的等边三角形，

所以正方体4BCD-&B1C1D1在平面a内的正投影面积是

S=2X1Xyj2XV2X曰=V3.

故选B.

8.答案：A

解析：

本题考查三棱锥的外接球的结构特征，以及线面垂直的性质的应用，属于中档题.

解：•••AB=BC,

4BC外接圆的圆心历在80上，设此圆的半径为r,

•••B0=4,

(4-r)2+32=r2,解得r=g，

8

-0D=0C-CD=3-2=1,

・・・DM=Jl2+(4-r)2=—,

8

设QM=a,易知QM1ABC,贝ijQM〃PC,

,:QP=QB,

・•.J(PD—a)2+DM?=yja24-r2,即(4—a)2+爱=a2+

vo4f>4

解得Q=1,

•••球Q的半径R=QB=寸=®.

8

故选A.

9.答案：A

解析：

本题考查柱、锥、台体的体积，由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积,

除以盆口面积得答案.

由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.

•••积水深9寸，

.•.水面半径为“14+6）=10（寸），

则盆中水的体积为!兀X9（62+102+6X10）=5887r（立方寸）.

・•.平地降雨量等于半=3（寸）.

7TX142'

故选A.

10.答案：c

解析：

与球有关的组合体问题，--种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位

置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面

的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对

角线长等于球的直径.

解：如图所示，

在长方体ABCD-4当的2中，AD=AAt=2,AB=1,点M,N，M分别为其所在棱的中点,

则三视图对应的几何体为三棱锥a-AMD,

很明显△AMD是以40为斜边的直角三角形，且当NN】_L平面4BCD,

故外接球的球心O在直线NN1上，

以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0,),8(0,1,2),

设。(0,1,九)，

由|O4|=|OB1|有：M+八2=12+12+(九—2)2,解得：h=

22

设外接球半径为R,则：/?=l+/l=l+^=Ji,

1616

外接球的表面积s=R2=27r.

4

故选C.

11.答案：ACD

解析：

本题主要考查点、直线、平面的位置关系，属于难题.

根据点、直线、平面的位置关系，对选项逐一判断即可.

解：如图1所示，不妨设正方体的棱长为2,

在正方体-418道1。1中，4B1平面BCCiBi，

所以EB14B,CB1AB,

所以二面角C-AB-E的平面角为NEBC,即tan/EBC=—=—.

2BC

所以CE=V2,

A项，如图1所示，过点名作Bi/J.BE于点名，过点C作C“2，BE于点力，

因为48_1平面BCGBi，

所以&Hi1AB,CH21AB,

所以由线面垂直的判定定理可以判断Bi/1平面ABE,CH21平面ABE,

因为△BBS…EC%

所以皿=丝1=近，

入v

“ICH2EC

所以当到平面ABE的距离是C到平面A8E距离的或倍，

故A项正确；

B项，因为BC〃4D,

所以直线BC与直线AE所成的角的大小等于直线AO与直线AE所成的角的大小,

即4DAE或的补角，

因为DE=J22+(V2)2=V6>AE=J22+22+(V2)2=V10>

所以COSND4E

2ADAE

22+(VTO)2-(V6)2

2x2xV10

_710

------,

5

所以直线8c与直线AE所成的角余弦值为叵，

5

故B项错误;

C项，如图1,在棱441上取点G,使得AG=CE,连接EG交平面BDD$1于点。,

所以&G=QE,

因为&G〃GE,

所以四边形为GEQ是平行四边形，

所以EG〃4G，

因为41clJ■平面BDD1B1，

所以EG_L平面8。。1当，

所以直线BE与平面BDCiBi所成的角即为4EB。，

在正方体力BCD-由对称性可得OE=：EG=341cl=&，

.fdcOEV2V3

Ws.nz™=-=j—=-

所以cos4EBO=Vl-sin2zEBO=—.

3

所以tan/EBO=变幽=立，

COSZ.EBO2

所以直线BE与平面BOD1/所成角的大小等于二面角C-4B-E的大小。

故C项正确.

。项，如图2,在棱AB上取点凡连接CF交

BD于点K,使得分=票=学，

CFCQ2

所以△CKECFCX,

所以NCEK=zCCjF,

所以EK〃C/,

因为EKu平面BDE,C/'C平面BDE,

所以GF〃平面BOE,

所以在棱AB上一定存在一点凡使得GF〃平面BDE。

故。项正确。

故选ACD.

山D\A\Di

解析：

本题考查异面直线所成的角的求法，属中档题.

根据异面直线成角的定义以及余弦定理求解即可.

解：如图所示，连接ON的中点K,连接MK,CK.

■：M为A。的中点，

MK//AN,

NKMC为异面直线AMCM所成的角.

•••AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为8c的中点,

由勾股定理易求得AN=DN=CM=2V2.

•••MK=V2.

在Rt0CKN中，CK=J(V2)2+I2=V3.

在国CKM中，由余弦定理，得

(企)2+(2«)2-(旧产_7

乙

cosKMC=2xV2x2V2-8

A

M

B

N

13.答案：V3

解析：

本题主要考查外接球的性质，考查正三棱柱的性质，考查学生的思维能力和推理能力，属中档题.

求出球的半径，转化求解三棱柱的高，然后求解底面边长.

解：体积为随兀的球的半径为：$3=迺=五,

333

由题意，可知球的球心是正三棱柱的上下底面中心的连线的中点.

正三棱柱的高为2,

可得：底面中心到正三角形顶点的距离为：1,

底面三角形的高为：|.

三角形的边长为：^a=~.

22

解得：a=V3.

故答案为V5.

14.答案：

解析：

本题考查球。的表面积的求法，几何体的外接球与几何体的关系，为中档题.

画出图形，求出△BCD的外接圆的半径，求出A到底面BC。的距离，然后得外接球的半径，即可求

解表面积.

解：如图所示:

底面△BCD中，BD=V3»NBC。=60。,

取6为4BCD的外接圆的圆心，

vABAD=AC=BD=g,三棱锥A-BCD内接于球。，

•••AG1平面BCD,并且经过球的球心O,

则4G='JAB2-GB2=V2.

设球的半径为R,

OB2=OG2+GB2,即R2=（/-R）2+1，

解得R=逗,

4

・••球。的表面积为：4九/?2=4兀X（乎）2=1兀.

故答案为：!?r.

15.答案：

解析：

本题主要考查球的体积公式，四面体的外接球，线面垂直的判定，属于中档题.

根据题意画出图形，根据线面垂直判定定理证明BC,平面A8。可得

求出O即为外接球的球心，利用球体积公式即可.

解：如图:

D

BD=AC=2V2,AB=BC—AD=2,

AB1BC,

vBC1AD,ABdAD=D,ABc-TfflABD,ADABD,

BC，平面ABD,

■:BDu平面ABD,

BCJ.BD,

•••CD=V8T4=2V3,

取CC中点O,连接OB,OA,

则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

则。4=OB=OC=OD=6,

则该四面体的外接球球心为0,

则球的体积为x(4),1V/37T.

故答案为.

16.答案：三

解析:

本题考查了通过建立空间直角坐标系和向量的夹角公式求异面直线的夹角，属于基础题.通过建立

空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出.

解：如图所示，建立空间直角坐标系.

由于4B=BC=44i，不妨取4B=2,

则E(O,1,0),尸(0,0,1),(2,0,2).

：.EF=(0,-1,1).跖=(2,0,2).

cos<>=型吼.=-7^==

'1\EF\IBCJV2.V82

••・异面直线E尸和BC1的夹角为全

故答案为全

17.答案：①②③

解析：解：由等腰直角三角形ABE绕斜边AB旋转，

所以E的轨迹为以AB中点为圆心，尊为半径的圆，设点&；

所以4E',BE'为圆锥的母线；

设正四面体4-BCD的棱长为2,

①/-8CD=3^-E-BCD'^&BCD=，八E-BC。；

设F为0c的中点，则AB与平面BCD所成线面角为

cosZ-ABF=—<—,Z.ABF>+

324

所以以AB为旋转轴，所以当E'在AB尸平面内时，如一BCD达到最大值和最小值；故①成立

②方法1：因为8。与旋转轴AB所成的夹角为:，母线4门与旋转轴A8所成夹角为今

所以4&与刖所成角范围为《一3谭+勺,即邑，勺，

343T-J./

又因为线线角的取值范围不为钝角，所以AE'与8。所成角为［卷,受故②成立;

②方法2：利用对称性与平行，找到线线角.

因为。B与力E'所成的夹角可看做8。与BE”所成的夹角（E'E〃为直径），

设正四面体棱长为2,所以80=2,BE"=V2,DE"e[V3-A/2,V3+V2]，

所以当。£'=历时，BD1BE"；所以此时故②成立

③做AB中点0,连接。O,DE',DOVAB,OE'1AB；

所以/DOE'为二面角。-AB-E的平面角为6,

比较三角形。OE'与三角形DAE',DE'=DE',DA2=DO2+OA2,AE'2=AO2+OE'2-,

所以cosNDOE'<cosZ-DAE'；

所以WOE'得。2皿4£故③成立.

综上，①②③均成立.

因为等腰直角三角形ABE绕斜边AB旋转，所以E的轨迹为以AB中点为圆心，与1为半径的圆，设

点E'；所以4E',BE'为圆锥的母线；结合逐项讨论判断即可

本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，注意定理的条

件是解题的关键，将旋转问题转化为圆、圆锥、母线问题；属于压轴题.

18.答案:2；24

解析:

本题考查了空间儿何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可.

解：•••在棱长为6的正方体4BCD-41B1G4中，"是BC的中点，点P是面DCGD1所在的平面内的

动点,且满足N4P。=乙MPC,

AHpn

：・RtAAPD~ARtAMPC,/.—=—=2,

MCPC

即PD=2PC,过P作PO_LDC于O,设DO=x,PO=h,

・•・y/x24-h2=27(6—x)24-h2^

化简得：3h2=-3x2+48%-144,,

根据函数单调性判断:%=8时,3层最大值为48,

九大=4,

,••在正方体中PO1面BCD,

•••三棱锥P-BCD的体积最大值：ix|x6x6x4=24,

故答案为2；24.

19.答案：#；8+V5+V7

解析：

本题考查棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档.由已知中的三视图可得，该几何体

是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入楂锥体积公式和表面积公式可得答案.

解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

其直观图如下图所示:

底面ABCD的面积为2x2=4cm2,

高V。=V3c?n>

故该几何体的体积V=ix4xV3=延cm3,

33

侧面的面积为：x2x8=6cmZ,

VA=VD=2cm,OB=OC=y/Scm，VB=VC=2&cm，

侧面W48和侧面BCD的面积为92x2=2cmz,

侧面VBC底面上的高为夕cm,

故侧面W3C的面积为卜2、夕=夕512,

故几何体的表面积S=4+V5+2x2+V7=(8+6+⑺cm2,

故答案为竽，8+V3+V7.

20.答案：2

解析：

本题考查棱柱的结构特征，利用向量法即可。

对西=荷+丽一荏两边平方并化简得|西『=区方『+|西『+|四『+2而近一2而.

AB-2AB-

0

河+2ADAAr2AD-AB-2AAAB=2+l+l+2xlxgcoediaO-0-2x1xv^«»12(r=4，

故|西|=2

故答案为2.

21.答案：解：(1)因为点S在底面ABC。上的射影为。，所以SO_L平面A8CZ),

因为四边形ABCD是边长为近的正方形，所以4c=2,

又因为△SAC的面积为1,所以：x2xS0=l,S0=l,

所以SC=或，因为CD=疸，点P为S。的中点，

所以CPJ.SD,同理可得4P1SD,

因为4PCiCP=P,42,。「<3平面尸4(7,

所以SD1平面PAC,

又SOU平面SCD，

二平面5CDJ_平面PAC.

(2)连接OB,易得OB,OC,OS两两垂直，

分别以OB,OC,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则4(0,-1,0),C(0,l,0),。(-1,0,0),S(0,0,1),

假设存在P使二面角P-AC-。的余弦值为?，

设克=4历，0<2<1,

SD=(-1,0,-1)-所以W=(一-0,-4)，P(-A,0,l-2),

设平面PAC的一个法向量为元=(x,y,z),则打亚=°,

(五TC=0

因为存=(一;1,1,1-4),前=(0,2,0),

所以竺。，十°一'"=°,令z=X,得％=1-九元=(1-尢0,71),

(Ny—u

因为平面ACD的一个法向量为赤=(0,0,1)-

所以I3(元星>1=剧

_囚_/

V（i-a）2+A25”

化简得”2+24-1=0,解得4=：或-1（舍），

所以存在P点符合题意，点P为棱S。靠近S的三等分点.

解析：本题考查面面垂直的判定及二面角的求法，属于中档题.

（1）求得SC=&,即可证出CP1SD,同理可得API.SD,从而证得SD1平面PAC,即可证得平面

SCD1平面弘C;

（2）连接OB,易得OB,OC,OS两两垂直，分别以OB,OC,OS所在直线为x,y,z轴建立空间直

角坐标系，设豆=4历，0<A<1,先求得尸的坐标，再求出面PAC的一个法向量即可求解.

22.答案：（共14分）

（I）证明：因为在菱形A8CZ）中，^ADC=pO为线段CD的中点，

所以OD'J.AO.

因为平面40D'J■平面ABCO,

平面4。。'n平面4BC。=4。，00'u平面4。。，，

所以OD'_L平面48co.

因为BCu平面ABCO,

所以。£>'1BC.

（H）证明：如图，取P为线段4。的中点，连接OP,PM；

因为在△ABD'中，P,M分别是线段46,的中点，

所以PM〃4B,PM=^AB.

因为。为线段C。的中点（如图1）,菱形ABC。中，AB=DC=a,AB//DC,

所以0C=如0

所以。C〃4B,0C=^AB.

所以PM〃0C,PM=0C.

所以四边形OCMP为平行四边形，

所以CM〃0P,

因为CM仁平面40。'，OPu平面AO。，

所以CM〃平面4。。'；

(HI)解：由(I)知OD'1•平面ABCO.

所以。D'是四棱锥D'-4BC0的高.

因为V=工xS脖x0。'=理=3，

所以a=2.

解析：(I)证明0D'14。.推出0D'1平面4BC0.然后证明。£»'1BC.

(U)取P为线段4。的中点，连接。P,PM；证明四边形。为平行四边形，然后证明CM〃平面

AOD'；

(HI)说明。。'是四棱锥D'-4BC。的高.通过体积公式求解即可.

本题考查直线椭圆平面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以

及计算能力.

23.答案：(1)证明:连接4'C',vAA'HCC',AA'=CC',

.••四边形ACC'A是平行四边形，AC//A'C,

•••四边形ABCD是菱形，BD1AC,

•.BD1A'C,CH_L平面ABCD,C'H1BD,

又C'HnA'C=C,：.BD_L平面4'C'H,又a'Hu平面AC'H,

•••BDLA'H.

(2)解：•••2是8<7的中点，.,.8£=。£\

•••AB11CH,ACHE=NBAE,又乙CEB=乙BEA,

・••△ABE三4BCE,・•.BC=AB=2,

又CC'=4,CH1CH,

•••CH=VCC，2-CH2=2V3>

以H为原点，以为x轴，以HC'为z轴建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示,

(4,0,0),C(2,0,0),B(3,VX0),C'(0,0,2次)，

•••BD=(l,-V3,0)'BC=(-l,-V3,0)'CC'=(-2,0>2V3)»

设平面BCC®的法向量为片=(%>z)则y.呼=°,即［一”一吨二°,

•CC=01-2%+2v3z=0

令久=遮，可得£=(百，一1,1),

t、BDn2^3y/15

.•.cos<BD，兀>=丽=砺=丁’

直线8。与平面8CC®所成角的正弦值为卓.

解析：本题主要考查的是线线垂直及线面角的求法，属于中档题.

(1)利用线面垂直的判定定理证出801平面4C'H,再由线面垂直的性质即可证明线线垂直；

(2)建立适当空间坐标系，利用线面垂直的性质求出平面BCC'B'的法向量;；，再利用空间向量求解线

面角即可.

24.答案:⑴证明:由已知可得AD〃BE,CG//BE,即有4D〃CG,

则AC,CG确定一个平面，从而A,C,G,。四点共面；

由四边形A8EZ)为矩形，可得481BE,

由△力BC为直角三角形，可得力B1BC,

乂BCCBE=E,BCu平面8CGE,BEu平面BCGE,

可得4B_L平面BCGE,

ABu平面ABC,可得平面4BC_L平面BCGE；

(2)如图，取CG的中点M,连接EM,。”.

B

因为ABBCGE,所以DE1平面BCGE,故DE1CG.

由己知，四边形BCGE是菱形，且“BC=60",得EMJ.CG,

EMCtDE=E,EMu平面OEM,OEu平面DEM,故CG_L平面。EM,

因为CMu平面。EM,所以Z)M_LCG,

^.RtU\DEM<^,DE=1,EM=A/3.故DM=2.

所以四边形ACGD的面积为4.

解析：本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，注意运用平面

几何的性质，考查推理能力，属于中档题.

(1)运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理，即可

得证；

(2)取CG的中点连接先证出DM1CG,进而可求四边形4CG。的面积.

25.答案：解：(1)证明：TP-ABC为正三棱锥，且。为顶点

「在平面ABC内的正投影，/^\\

PD平面ABC,ABu平面ABC,\L；\

则PD1AB,长三二一六寸土;分。

又E为。在平面PAB内的正投影,

DEIffiPAB,ABu面P4B.则0E1AB,

PDODE=D,PD,DEu平面POE,

•••AB1平面PDE,连接PE并延长交AB于点G,

则AB1PG,

又P4=PB,

・•.G是AB的中点；

(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点凡尸即为E在平面PAC内的正投影.

•••正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，

PB1PA,PB1PC,

又EF//PB,所以EFJ.PA,EF1PC,PAdPC=P,PA,PCc5?®PAC,

因此EF1平面PAC,

即点F为E在平面PAC内的正投影.

连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为£»,

所以D是正三角形A8C的中心.

由(1)知I,G是A8的中点，所以。在CG上，故CL>=|CG.

由题设可得PC1平面PAB,北,平面?"，所以DE〃PC,

因此PE=:PG,DE=^PC.

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P4=6,

可得CE=2,PG=3V2,PE=2V2.

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.

所以四面体PDEF的体积V=1X£>£,XS^pEF=1x2x|x2x2=i.

解析：本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各

种位置、距离关系，属于较难题.

(1)根据题意分析可得PD1平面4BC,进而可得PD14B,同理可得DE14B,结合两者分析可得

AB1平面PDE,进而分析可得4BJ.PG,又由P4=PB,由等腰三角形的性质可得证明；

(2)由线面垂直的判定方法可得EF1平面PAC,可得F为E在平面PAC内的正投影.由棱锥的体积

公式计算可得答案.

26.答案:解:

3

一、〃11z、a/、一Q/。一%+%、7a

~~-x)-x-a=-(a—x)x<-(---)=-»

当x=］时，三棱锥Bl-BEF的体积最大.

(2)在AD上取点H使4H=BF=AE,

则HF〃C。〃&HF=CD=必当，A\H"B\F,

是异面直线&E与当尸所成的角，

22

在Rt△41AH中，AyH=Va+x>

22

在Rt^AiAE中，ArE=y/a