高中数学：圆锥曲线复习题及答案

圆锥曲线复习题

1.如图，。为坐标原点，点尸为抛物线Ci：x1=2py（p>0）的焦点，且抛物线Cl上点P

处的切线与圆0-.?+/=1相切于点Q.

（1）当直线尸。的方程为x-y-奁=0时，求抛物线Ci的方程；

（2）当正数p变化时，记Si,S2分别为△FP。，△FOQ的面积，求其的最小值.

【分析】（1）设点尸的坐标为PQo,等），利用导数的几何意义以及切线方程，得到关

于刈和p的方程，求出p即可得到答案：

（2）求出点尸处的切线方程，利用直线与圆相切，得到勺4=4x02+4p2,联立方程组，

求出点。的坐标，由弦长公式求解|「。|,再求出点尸到切线的距离，从而表示出Si，52,

由基本不等式求解暑的最小值，即可得到名的最小值.

2

S2S2

【解答】解：（1）设点P（&，第），

2

由/=2py,可得丫=丽，/=5,

因为直线PQ的斜率为1,

所以,=1,且Xo-要一a=0,解得p=2a,

P乙P

所以抛物线方程/=4&y；

2

（2）因为点P处的切线方程为丫一袋=驾。一％0）,即2&尤一2py—%02=o,

乙pP

XQ2

又切线与圆O：/+y2=1相切，则圆心到切线的距离1

22

y/4XQ+4p

化简得沏4=4%（）2+4P2,

2

2xox—2py—x0=0

x2+y2=l解得Q（亲黄常

%o4=4x2+4P2

(0

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所以|PQI=«T/|&-2l=1+等”&一刍=史等“哈|,

xo、PxoPx0

点F（0,6到切线的距离d=72T|=回:+口2

22

j4x0+4p

所以s1=知Q|d岩企耍”笔马・信行=空餐”唁I，

S2另1"1%1=扁，

242

由x（）4=4x0+4P2,可得4P2=x0—4x0>0,即|xo|>2,

12+%。2q222|桁|（p2+Ko2）Qo2-2）

4P2

x0V2p

（XO4-4X（）2+4*02）（工02—2）=X02（久02_2）=x02_44

422X（）2_4+3>2V2+3,

2（X0-4X0）—2（X0-4）-2

y2—AA----------------------

当且仅当------=--—时等号成立，即％（）2=4+2企，此时p=，2+2或,

z

2x0-4

所以等的最小值为2e+3,

S2

c2

所以号的最小值为12企+17.

52

【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解，导数几何意义，直线与圆位置关系，弦长

公式的应用以及利用基本不等式求解最值，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于难题.

%2y2

2.如图，椭圆Ci：言•+京•=l（a>b>0）的一个顶点为P（0,-1）,离心率为三./i，fe

是过点P且互相垂直的两条直线，其中，人交圆C2：/+），2=4于A,B两点，/2交椭圆

C1于另一点D.

（I）求椭圆Ci的方程;

,求直线/|的方程.

【分析】（I）利用顶点坐标求出b的值，由离心率得到a和c的关系，结合c2=«2-b2,

求出a,b,即可得到椭圆的标准方程;

（II）由题意设直线Z1和1\的方程，利用点到直线的距离公式求出直线/1被圆7+），2=4

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所截的弦AB的长，联立直线/2与椭圆的方程，得到韦达定理，利用弦长公式求出|QP|,

从而由△ABO面积得到关于k的方程，求解即可得到答案.

【解答】解：(I)由已知椭圆的一个顶点为P(0,-1),则%=1,且

又离心率为则2=结合c2=a2-序,

2a2

解得a=2,b—1,

故椭圆的方程是h+y2=1；

(II)因为直线/1U2,且都过点尸(0,-1),

则设直线A：y=kx-1,即心:-y-1=0,

1

设直线，2：y=-7K；x—l=>x+fcy+fc=0,

所以圆心(0,0)到直线/i的距周为d=——，

帚

则直线/1被圆?+/=4所截的弦4B=2斥衣=2不^2,

胸

fx+ky+k=0

由|久2=>k2x2+4x2+Skx=0,

6+y2=i

所以X。+Xp=—尧

则IDPI

（必+4）卜+4

竽，解得％=±1,

故SAABD=京4引•|DP|

r+4r+4

所以直线的方程为x-y-1=0或x+y+l=0.

【点评】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与

圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设

而不求”的方法进行研究，属于中档题.

12

3.如图，已知G：(x-1)2+(y+1)2=4和抛物线C2；X=4y,P(x0,%)是圆C\上一

点，〃是抛物线C2上一点，尸是抛物线C2的焦点.

(1)当直线PM与圆Ci相切，且|PM|=|FM时，求助的值；

(2)过P作抛物线C2的两条切线出，PB,A,B分别为切点，求证：存在两个助，使

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久A/f2y2

【分析】（1）焦点F坐标为（0,1）,设一）,得|PM，由抛物线定义得|FM|=等+1,

由|PM|=|FM,解得XM，进而可得M点坐标，再根据PM与准线y=-1垂直，求出刈

的值.

1

2

（2）设P（xo>）'0），则（X。—+（y04-I）=彳，设直线PA方程为y-yf）—k\（x-xo）>

代入抛物线的方程，由于相切可得△=（）,即好—七沏+%=0①，同理得直线PB方程

底一七瓶+为=。②，然后求出直线AB的方程，计算出SMPB，利用函数的单调性，即

证明结论.

【解答】解：（1）焦点F坐标为（0,1）,

设MQM，孕），则|PM|=J（x“-l）2+（孕+1）2—上,

由抛物线定义，M到焦点距离等于到抛物线准线旷=-1的距离，

可得|FM|=学+1,

由|PM|=|FM,得J（XM-+（率+1尸一±=争+1

_13

所以=2或=2，

所以M&,m）或M（|,磊），

此时PM与准线y=-1垂直，

所以X0=,或%0—1-

（2）证明：P（%0»加），则（%0—1）2+（y（）+1）2=,

设直线方程为y-网=%（X-X0）,代入/=4y,

得了-4幻x-4（yo-幻刈）=0，

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所以△=16/+16（yo-kixo）=0,

整理得好一的%0+yo=0,①

=

同理，直线PB方程为y-yo=k2（x-xo）,有心—k2xQ+y00②，

由①②知，&i，&2是方程F-h：o+y（）=0的两根，

所以由+攵2=与），k\ki=yo,

由切线意义知，在7-4攵ix-4（为-心即）=0中，XA+XA=4%,则％=2年，

所以A（2k「fci）,同理8（2^2，唠,偌8=

z、/％v